若以平衡位置为势能零点，则 系统势能
系统动能 由机械能守恒，即T+V＝常数，则
系统固有频率 表明；如取平衡位置为势能零点，则可以弹簧在平衡位置的长 度为原长计算弹性势能，而不考虑重力势能。只要写出系统的 动能和以平衡位置为零点的势能，即可确定系统的固有频率， 而不必列写系统的微分方程。
例16-4
③当λ＝1时，
，与阻尼大小无
关，这是共振时的一 个重要特征。
2
工程上利用此特点，通过实
验测定系统固有频率ωn。
2、弹簧端点作简谐运动引起的受迫振动
振动系统的简化模型如图所示。设台面光滑，端点A 的运动规律 则弹簧恢复力
微分方程
令
得
与激振力直接作用下的受迫振动形式相同。前述有关受迫
振动的讨论适用于此。
例16-8
图示为一测振仪的简图，其中物块 质量为m ，弹簧刚度为k 。测振仪 放在振动物体表面，并随物体而运 动。设物体的振动规律为
求测振仪中物块的运动微分方程及 其受迫振动规律。
解：测振仪随物体振动，则其弹簧悬挂点的运动规律为
取 t=0 时物块的平衡位置为坐标原 点，取x 轴如图。在任一瞬时t ，弹 簧的变形为
点，受力如图（b）。
阻力
或
微分方程为
化简得 令 代入上式得衰减振动微分方程的标准形式
2、微分方程的解
设
，代入式中，得特征方程
方程的两个根
通解
有三种可能情形：
★ 小阻尼情形
当
或
此时
时，称为小阻尼。
令 则 得运动方程
如图所示。由于振幅随时间不断衰减，故称为衰减振动。
衰减振动的周期
令
称为阻尼比。
则
周期Td较无阻尼自由振动的周期T 略有增加。阻尼对周期的 影响很小，可忽略不计，取Td≈T。
解：取摆角 为广义坐标，设其微振动规律为
圆柱体中心O1的速度 由运动学知，当圆柱体作纯滚动时， 角速度 系统动能
整理后得 系统的势能为重力势能，取圆柱在最低处时的圆心位置C 为 势能零点，则系统势能
圆柱体作微振动
由
3m 4
(R

r
)2

2 2 n

1 2
mg(R

r) 2
得
§16-3 单自由度系统有阻尼的自由振动
小阻尼时，共振频率近似等 于固有频率，共振振幅近似 与阻尼比成反比，即
③ 当λ ＞＞1时，阻尼对振幅 影响可忽略不计。
★ 相频特性
相频特性曲线如图所示。由图可知，
当有阻尼时，ε随频率比ω/ωn连续变化。 ①当λ＜＜1时，ε≈0，受迫振动位移 与激振力接近同位相。
②当λ ＞＞1时，ε≈π，受迫振动与激 振力接近反位相。
得系统的固有频率
例16-5
在如图示的振动系统中，摆杆AO对铰链O的转动惯量为J，在 A水平位置处于平衡，求系统微振动的固有频率。
解：取摆角 为广义坐标，设其变化规律为
系统动能
以平衡位置为势能零点，系统势能
由 得固有频率
1 2
J
2 2 n

1d 2 ) 2
例16-6 如图所示，质量为m ，半径为r 的圆柱体，在半径为R 的 圆弧槽上作无滑动的滚动。求圆柱体在平衡位置附近作微 小振动的固有频率。
解：物块在平衡位置时，弹簧静变形
以此位置为原点O，建立图示 坐标。物块受力如图，其运动 微分方程为
化简后得 系统的固有频率
当物块碰上弹簧时，取时间t=0，作为振动的起点。 则运动的初始条件： 初位移
初速度
得振幅及初位相
mm
物块的运动方程
例16-2
如图所示。在无重弹性梁的中部放置质量为m的物块，其 静挠度（静变形）为2mm。若将物块在梁未变形位置处无 初速释放，求系统的振动规律。
得 令 得微分方程的标准形式
与激振力直接作用下的受迫振动微分形式相同。
令
则
代入
注意到激振力幅值与其频率有关，得系统受迫振动的振幅 放大系数
幅频特性曲线如图所示
当λ≈0时，b ≈0 ，β ≈0 ； 当λ>>1时， β又逐渐减少， 当λ很大时，β≈1； 当λ=1时发生共振，此时转子 的转速称为临界转速。
物块的运动微分方程
注意到
，
，上式整理后，得
受迫振动规律为 此时激振力的力幅为H=ke，由式得
由于测振仪壳体也在运动，其振幅为e ，因而图中记录纸上
画出的振幅为物块相对于测振仪的振幅
。由式②
可知，当
时， ，有
，物块几乎不动，
记录纸上画出的振幅也就接近于被测物体的振幅。
例16-9
图为一无重刚杆。一端铰支，距铰支端 l 处有一质量为m 的质点，
解：此无重弹性梁相当于弹簧，其刚性系数
取重物平衡位置为坐标原点，x轴方向铅直向下，运动微 分方程为:
式中圆频率
在初瞬时t＝0，物块位于未变形的梁上，其坐标 x0＝－δst= － 2mm，初速v0=0，则
振幅
mm
初位相
系统的振动规律
mm
等效弹簧 并联和串联弹簧 ★ 并联弹簧 下图表示刚度分别为k1和k2的两个弹簧并联的两种形式，其分 析方法相同。
？
谈谈本专业内有关振动问题！？
§16-1 单自由度系统的自由振动
系统偏离平衡位置后，仅在恢复力作 用下维持的振动称为自由振动。
图示为单自由度系统自由振动的简化 模型，它是从实际振动系统中抽象出 的简图。设弹簧原长为lo ，刚度为k ， 物块质量为m ，静平衡时，弹簧变形 为δst（称静变形），有
以平衡位置为原点，建立图示坐标。 物块在一般位置的受力如图示，则其 振动微分方程为
距 2l 处有一阻尼器，其阻尼系数为c，A 端有一刚度为k 的弹簧，
并作用一简谐激振力
。刚杆在水平位置平衡，试列
出系统的振动微分方程，并求系统的固有频率ωn，以及当激振 力频率ω 等于ωn 时质点的振幅。
解：取摆角θ为广义坐标，系统平衡位置为坐标原点。 受力如图示。由刚体转动微分方程得
整理后得
令
当
平衡位置
因为平衡时 m1g m2g mg ks
则有
(m1 m2 m)y ky m2esin t
58
y
Ⅱ
（2）
Ⅰ
e Cφ O mg
m2g
m1g
F
或
y
k
y
m 2esin t
由平衡方程得
式中 为并联弹簧的等效弹簧刚度。 n个并联弹簧的等效刚度
★ 串联弹簧 图示为串联弹簧。 静平衡时，变形分别为 和 。
弹簧总伸长
等效弹簧刚度 n个弹簧串联，则有
例16-3
图为一摆振系统。杆重不计，球质量为m ，摆对轴O的转动 惯量为J，弹簧刚度为k，杆于水平位置平衡，尺寸如图。求 系统微小振动的运动微分方程及振动频率。
解：摆处于平衡位置时，弹簧已压缩
由平衡方程 有
以平衡位置为角坐标原点， 摆绕轴O的转动微分方程
得系统自由振动微分方程
固有频率
★可见，只要以平衡位置为坐标原点， 系统的运动微分方程具有标准形式。
§16-2 计算系统固有频率的能量法
对于单自由度的保守系统，固有频率可简便地由机械能守 恒定律求出，称为能量法。 设图示系统作简谐振动，则有
1、激振力直接作用下的受迫振动 ★ 振动微分方程 图为受迫振动系统的简化模型。 激振力 其中，H为最大激振力，ω为激振 力的圆频率。 以平衡位置为坐标原点，则 ：
令 整理化简后，得单自由度系统受迫振动微分方程的标准形式
★ 微分方程的解
方程的通解由两部分构成：对应的齐次方程的通解和该方程 的一个特解。 上式右端第一项为衰减振动，经过短暂时间，即趋于衰减， 称瞬态响应。最后得到持续的等幅振动，称稳态响应，即系 统的受迫振动 由式可知，受迫振动的频率等于激振力的频率。 将上式代入微分方程式，化简后得到受迫振动的振幅和位相差
式中 分别称为频率比、阻尼比和由最大激振力引起的弹簧的静变形。
★ 幅频特性
受迫振动的振幅与静变形之比称放大系数，即 当ζ一定，β与λ间的关系如图所示， 称为幅频特性曲线。由图可知：
①当λ＜＜1时，阻尼对振幅的影响 很小，可忽略不计。 ②共振区λ =0.75～1.25。在此区域 内阻尼对振幅有显著影响，λ≈1时， 振幅急剧增加出现峰值的现象，称 为共振。对应曲线峰值的频率，称 为系统的共振频率。
★ 临界阻尼情形
当
或
此时，
时，称为临界阻尼。 。微分方程的解为
不具有振动的特点，积分常数C1、C2由初始条件定。运动图 如图所示。
★ 大阻尼情形
当
或
时，称为大阻尼。
此时微分方程的解为
积分常数C1、C2由初始条件定。运动图如图所示。
例16-7
图为一弹性杆支持的圆盘，弹性杆扭转刚度为k1，圆盘对杆轴的 转动惯量为J。如圆盘外缘受到与转动速度成正比的切向阻力， 其衰减扭振的周期为Td。求圆盘所受阻力偶的矩与转动角速度的 关系。
57
解: 1. 将电动机和基础看成一质点系分析它的运动和受力情况
y
Ⅱ
e Cφ
O mg
Ⅰ m2g
m1g
F
弹性力 F k( y s) k(s y) (a)
应用
mi yCi Fy(e)
(b)
x
得 (m1 m2 ) y m( y 2esin t) (c) k(s y) (m1g m2g mg)
由于阻力作用，自由振动的振幅将逐渐衰减，最后趋于静止。 产生阻尼的原因很多，不同的阻尼具有不同的性质。以下仅讨 论阻力与速度成正比的粘性阻尼或称线性阻尼。即
式中负号表明阻力与速度方向相反，阻尼系数c 取决于阻尼 介质的性质和物体的形状。