一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．某厂家生产一种新型电子产品，制造时每件的成本为40元，通过试销发现，销售量(y 万件)与销售单价(x 元)之间符合一次函数关系，其图象如图所示．()1求y 与x 的函数关系式；()2物价部门规定：这种电子产品销售单价不得超过每件80元，那么，当销售单价x 定为每件多少元时，厂家每月获得的利润()w 最大？最大利润是多少？【答案】（1）2280y x =-+；（2）当销售单价x 定为每件80元时，厂家每月获得的利润()w 最大，最大利润是4800元．【解析】【分析】()1根据函数图象经过点()40,200和点()60,160，利用待定系数法即可求出y 与x 的函数关系式；()2先根据利润=销售数量(⨯销售单价-成本)，由试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克80元，结合电子产品的成本价即可得出x 的取值范围，根据二次函数的增减性可得最值．【详解】解：()1设y 与x 的函数关系式为()0y kx b k =+≠，函数图象经过点()40,200和点()60,160，{4020060160k b k b +=∴+=，解得：{2280k b =-=， y ∴与x 的函数关系式为2280y x =-+．()2由题意得：()()224022802360112002(90)5000w x x x x x =--+=-+-=--+． 试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克80元，且电子产品的成本为每千克40元，∴自变量x 的取值范围是4080x ≤≤．20-<，∴当90x <时，w 随x 的增大而增大，80x ∴=时，w 有最大值，当80x =时，4800w =，答：当销售单价x 定为每件80元时，厂家每月获得的利润()w 最大，最大利润是4800元．【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的应用，根据点的坐标利用待定系数法求出函数关系式是解题的关键，并注意最值的求法．2．（10分）（2015•佛山）如图，一小球从斜坡O 点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数y=﹣x 2+4x 刻画，斜坡可以用一次函数y=x 刻画．（1）请用配方法求二次函数图象的最高点P 的坐标；（2）小球的落点是A ，求点A 的坐标；（3）连接抛物线的最高点P 与点O 、A 得△POA ，求△POA 的面积；（4）在OA 上方的抛物线上存在一点M （M 与P 不重合），△MOA 的面积等于△POA 的面积．请直接写出点M 的坐标．【答案】（1）（2，4）；（2）（，）；（3）；（4）（，）． 【解析】试题分析：（1）利用配方法抛物线的一般式化为顶点式，即可求出二次函数图象的最高点P 的坐标；（2）联立两解析式，可求出交点A 的坐标；（3）作PQ ⊥x 轴于点Q ，AB ⊥x 轴于点B ．根据S △POA =S △POQ +S △梯形PQBA ﹣S △BOA ，代入数值计算即可求解；（4）过P 作OA 的平行线，交抛物线于点M ，连结OM 、AM ，由于两平行线之间的距离相等，根据同底等高的两个三角形面积相等，可得△MOA 的面积等于△POA 的面积．设直线PM 的解析式为y=x+b ，将P （2，4）代入，求出直线PM 的解析式为y=x+3．再与抛物线的解析式联立，得到方程组，解方程组即可求出点M 的坐标．试题解析：（1）由题意得，y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，故二次函数图象的最高点P的坐标为（2，4）；（2）联立两解析式可得：，解得：，或．故可得点A的坐标为（，）；（3）如图，作PQ⊥x轴于点Q，AB⊥x轴于点B．S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA=×2×4+×（+4）×（﹣2）﹣××=4+﹣=；（4）过P作OA的平行线，交抛物线于点M，连结OM、AM，则△MOA的面积等于△POA的面积．设直线PM的解析式为y=x+b，∵P的坐标为（2，4），∴4=×2+b，解得b=3，∴直线PM的解析式为y=x+3．由，解得，，∴点M的坐标为（，）．考点：二次函数的综合题3．在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax-a 为抛物线y=ax 2+bx+c （a 、b 、c 为常数，a≠0）的“衍生直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y 轴上的三角形为其“衍生三角形”．已知抛物线2234323y x x =--+与其“衍生直线”交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与x 轴负半轴交于点C ．（1）填空：该抛物线的“衍生直线”的解析式为 ，点A 的坐标为 ，点B 的坐标为 ；（2）如图，点M 为线段CB 上一动点，将△ACM 以AM 所在直线为对称轴翻折，点C 的对称点为N ，若△AMN 为该抛物线的“衍生三角形”，求点N 的坐标；（3）当点E 在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“衍生直线”上，是否存在点F ，使得以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E 、F 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2323y=；（-2，231,0）； （2）N 点的坐标为（0，3-3），（0，23+3）；（3）E （-1，43F （023）或E （-1，43），F （-4，1033） 【解析】【分析】（1）由抛物线的“衍生直线”知道二次函数解析式的a 即可；（2）过A 作AD ⊥y 轴于点D ，则可知AN=AC ，结合A 点坐标，则可求出ON 的长，可求出N 点的坐标；（3）分别讨论当AC 为平行四边形的边时，当AC 为平行四边形的对角线时，求出满足条件的E 、F 坐标即可【详解】（1）∵2234323y x x =--+，a=233-，则抛物线的“衍生直线”的解析式为2323y=x+-； 联立两解析式求交点2234323332323y=x+33y x x ⎧=--+⎪⎪⎨⎪-⎪⎩，解得x=-2y=23⎧⎪⎨⎪⎩或x=1y=0⎧⎨⎩， ∴A （-2，23），B （1,0）；（2）如图1，过A 作AD ⊥y 轴于点D ，在2234323y x x =--+中，令y=0可求得x= -3或x=1， ∴C （-3,0），且A （-2，23），∴AC=22-++2133=（23）（）由翻折的性质可知AN=AC=13，∵△AMN 为该抛物线的“衍生三角形”，∴N 在y 轴上，且AD=2，在Rt △AND 中，由勾股定理可得DN=22AN -AD =13-4=3，∵OD=23，∴ON=23-3或ON=23+3，∴N 点的坐标为（0，23-3），（0，23+3）；（3）①当AC 为平行四边形的边时，如图2 ，过F 作对称轴的垂线FH ，过A 作AK ⊥x 轴于点K ，则有AC ∥EF 且AC=EF ，∴∠ ACK=∠ EFH ，在△ ACK 和△ EFH 中ACK=EFH AKC=EHF AC=EF ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△ ACK ≌△ EFH ，∴FH=CK=1，HE=AK=∵抛物线的对称轴为x=-1，∴ F 点的横坐标为0或-2，∵点F 在直线AB 上，∴当F 点的横坐标为0时，则F （0），此时点E 在直线AB 下方， ∴E 到y 轴的距离为EH-OF=3=3，即E 的纵坐标为-3， ∴ E （-1，）； 当F 点的横坐标为-2时，则F 与A 重合，不合题意，舍去；②当AC 为平行四边形的对角线时，∵ C （-3,0），且A （-2，∴线段AC 的中点坐标为（-2.5，），设E （-1，t ），F （x ，y ），则x-1=2×（-2.5），y+t=∴x= -4，y=，×（-4），解得t=， ∴E （-1，），F （-4）； 综上可知存在满足条件的点F ，此时E （-1，）或E （-1，-3），F （-4，3）【点睛】本题是对二次函数的综合知识考查，熟练掌握二次函数，几何图形及辅助线方法是解决本题的关键，属于压轴题4．如图，已知直线y kx 6=-与抛物线2y ax bx c =++相交于A ，B 两点，且点A （1，－4）为抛物线的顶点，点B 在x 轴上。

（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P ，使△POB 与△POC 全等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点Q 是y 轴上一点，且△ABQ 为直角三角形，求点Q 的坐标。

【答案】解：（1）2y x 2x 3=--；（2）存在，P 1-1313-1）；（3）Q 点坐标为（0，-72）或（0，32）或（0，－1）或（0，－3）. 【解析】【分析】 （1）已知点A 坐标可确定直线AB 的解析式，进一步能求出点B 的坐标．点A 是抛物线的顶点，那么可以将抛物线的解析式设为顶点式，再代入点B 的坐标，依据待定系数法可解. （2）首先由抛物线的解析式求出点C 的坐标，在△POB 和△POC 中，已知的条件是公共边OP ，若OB 与OC 不相等，那么这两个三角形不能构成全等三角形；若OB 等于OC ，那么还要满足的条件为：∠POC=∠POB ，各自去掉一个直角后容易发现，点P 正好在第二象限的角平分线上，联立直线y=-x 与抛物线的解析式，直接求交点坐标即可，同时还要注意点P 在第二象限的限定条件.（3）分别以A 、B 、Q 为直角顶点，分类进行讨论，找出相关的相似三角形，依据对应线段成比例进行求解即可.【详解】解：（1）把A （1，﹣4）代入y ＝kx ﹣6，得k ＝2，∴y ＝2x ﹣6，令y ＝0，解得：x ＝3，∴B 的坐标是（3，0）．∵A 为顶点，∴设抛物线的解析为y ＝a （x ﹣1）2﹣4，把B （3，0）代入得：4a ﹣4＝0，解得a ＝1，∴y ＝（x ﹣1）2﹣4＝x 2﹣2x ﹣3．（2）存在．∵OB ＝OC ＝3，OP ＝OP ，∴当∠POB ＝∠POC 时，△POB ≌△POC ，此时PO 平分第二象限，即PO 的解析式为y ＝﹣x ．设P （m ，﹣m ），则﹣m ＝m 2﹣2m ﹣3，解得m （m 0，舍），∴P （2，2）． （3）①如图，当∠Q 1AB ＝90°时，△DAQ 1∽△DOB ，∴1DQ ADOD DB =，∴DQ 1＝52， ∴OQ 1＝72，即Q 1（0，-72）； ②如图，当∠Q 2BA ＝90°时，△BOQ 2∽△DOB ， ∴2OQ OB OD OB =，即2363OQ =， ∴OQ 2＝32，即Q 2（0，32）； ③如图，当∠AQ 3B ＝90°时，作AE ⊥y 轴于E ，则△BOQ 3∽△Q 3EA ， ∴33OQ OB QE AE =，即33341OQ OQ =- ∴OQ 32﹣4OQ 3+3＝0，∴OQ 3＝1或3，即Q 3（0，﹣1），Q 4（0，﹣3）．综上，Q 点坐标为（0，-72）或（0，32）或（0，﹣1）或（0，﹣3）．5．在平面直角坐标系中，抛物线223y x x =--+与x 轴交于A ，B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ．（1）请直接写出点A ，C ，D 的坐标；（2）如图（1），在x 轴上找一点E ，使得△CDE 的周长最小，求点E 的坐标；（3）如图（2），F 为直线AC 上的动点，在抛物线上是否存在点P ，使得△AFP 为等腰直角三角形？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）A （﹣3，0），C （0，3），D （﹣1，4）；（2）E （37-，0）；（3）P （2，﹣5）或（1，0）．【解析】 试题分析：（1）令抛物线解析式中y=0，解关于x 的一元二次方程即可得出点A 、B 的坐标，再令抛物线解析式中x=0求出y 值即可得出点C 坐标，利用配方法将抛物线解析式配方即可找出顶点D 的坐标；（2）作点C 关于x 轴对称的点C′，连接C′D 交x 轴于点E ，此时△CDE 的周长最小，由点C 的坐标可找出点C′的坐标，根据点C′、D 的坐标利用待定系数法即可求出直线C′D 的解析式，令其y=0求出x 值，即可得出点E 的坐标；（3）根据点A 、C 的坐标利用待定系数法求出直线AC 的解析式，假设存在，设点F （m ，m+3），分∠PAF=90°、∠AFP=90°和∠APF=90°三种情况考虑．根据等腰直角三角形的性质结合点A 、F 点的坐标找出点P 的坐标，将其代入抛物线解析式中即可得出关于m 的一元二次方程，解方程求出m 值，再代入点P 坐标中即可得出结论．试题解析：（1）当223y x x =--+中y=0时，有2230x x --+=，解得：1x =﹣3，2x =1，∵A 在B 的左侧，∴A （﹣3，0），B （1，0）．当223y x x =--+中x=0时，则y=3，∴C （0，3）．∵223y x x =--+=2(1)4x -++，∴顶点D （﹣1，4）．（2）作点C 关于x 轴对称的点C′，连接C′D 交x 轴于点E ，此时△CDE 的周长最小，如图1所示．∵C （0，3），∴C′（0，﹣3）． 设直线C′D 的解析式为y=kx+b ，则有：3{4b k b =--+=，解得：7{3k b =-=-，∴直线C′D 的解析式为y=﹣7x ﹣3，当y=﹣7x ﹣3中y=0时，x=37-，∴当△CDE 的周长最小，点E 的坐标为（37-，0）． （3）设直线AC 的解析式为y=ax+c ，则有：3{30c a c =-+=，解得：1{3a c ==，∴直线AC 的解析式为y=x+3．假设存在，设点F （m ，m+3），△AFP 为等腰直角三角形分三种情况（如图2所示）： ①当∠PAF=90°时，P （m ，﹣m ﹣3），∵点P 在抛物线223y x x =--+上，∴2323m m m --=--+，解得：m 1=﹣3（舍去），m 2=2，此时点P 的坐标为（2，﹣5）；②当∠AFP=90°时，P （2m+3，0）∵点P 在抛物线223y x x =--+上，∴20(23)2(23)3m m =-+-++，解得：m 3=﹣3（舍去），m 4=﹣1，此时点P 的坐标为（1，0）；③当∠APF=90°时，P （m ，0），∵点P 在抛物线223y x x =--+上，∴2023m m =--+，解得：m 5=﹣3（舍去），m 6=1，此时点P 的坐标为（1，0）． 综上可知：在抛物线上存在点P ，使得△AFP 为等腰直角三角形，点P 的坐标为（2，﹣5）或（1，0）．考点：二次函数综合题；最值问题；存在型；分类讨论；综合题．6．如图，抛物线y=ax2+bx过点B（1，﹣3），对称轴是直线x=2，且抛物线与x轴的正半轴交于点A．（1）求抛物线的解析式，并根据图象直接写出当y≤0时，自变量x的取值范围；（2）在第二象限内的抛物线上有一点P，当PA⊥BA时，求△PAB的面积．【答案】（1）抛物线的解析式为y=x2﹣4x，自变量x的取值范图是0≤x≤4；（2）△PAB的面积=15．【解析】【分析】（1）将函数图象经过的点B坐标代入的函数的解析式中，再和对称轴方程联立求出待定系数a和b；（2）如图，过点B作BE⊥x轴，垂足为点E，过点P作PE⊥x轴，垂足为F，设P（x，x2-4x），证明△PFA∽△AEB,求出点P的坐标，将△PAB的面积构造成长方形去掉三个三角形的面积．【详解】（1）由题意得，32 2a bba+-⎧⎪⎨-⎪⎩＝＝，解得14ab-⎧⎨⎩＝＝，∴抛物线的解析式为y=x2-4x，令y=0，得x2-2x=0，解得x=0或4，结合图象知，A的坐标为（4，0），根据图象开口向上，则y≤0时，自变量x的取值范围是0≤x≤4；（2）如图，过点B作BE⊥x轴，垂足为点E，过点P作PE⊥x轴，垂足为F，设P（x，x2-4x）,∵PA⊥BA∴∠PAF+∠BAE=90°,∵∠PAF+∠FPA=90°,∴∠FPA=∠BAE又∠PFA=∠AEB=90°∴△PFA∽△AEB,∴PF AFAE BE=，即244213x x x--=-，解得，x= −1，x=4（舍去）∴x2-4x=-5∴点P的坐标为（-1，-5），又∵B点坐标为（1，-3），易得到BP直线为y=-4x+1所以BP与x轴交点为（14，0）∴S△PAB=115531524⨯⨯+=【点睛】本题是二次函数综合题，求出函数解析式是解题的关键，特别是利用待定系数法将两条直线表达式解出，利用点的坐标求三角形的面积是关键．7．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D （8，8）.抛物线y=ax2+bx过A、C两点.(1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；(2)动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG最长?②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形?请直接写出相应的t值.【答案】(1)点A的坐标为（4，8）将A (4,8)、C（8，0）两点坐标分别代入y=ax2+bx得8=16a+4b0=64a+8b解得a=,b=4∴抛物线的解析式为：y=-x2+4x（2）①在Rt△APE和Rt△ABC中，tan∠PAE=PEAP=BCAB,即PEAP=48∴PE=AP=t．PB=8-t．∴点Ｅ的坐标为（4+t，8-t）.∴点G的纵坐标为：-（4+t）2+4(4+t）=-t2+8.∴EG=-t2+8-(8-t)=-t2+t.∵-＜0，∴当t=4时，线段EG最长为2.②共有三个时刻：t1=163， t2=4013，t38525．【解析】（1）根据题意即可得到点A的坐标，再由A、C两点坐标根据待定系数法即可求得抛物线的解析式；（2）①在Rt△APE和Rt△ABC中，由tan∠PAE，即可表示出点E的坐标，从而得到点G 的坐标，EG的长等于点G的纵坐标减去点E的纵坐标，得到一个函数关系式，根据函数关系式的特征即可求得结果；②考虑腰和底，分情况讨论．8．如图，已知抛物线y=ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，直线BD交抛物线于点D，并且D（2，3），tan∠DBA=12．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点M为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B、M、C、A，求四边形BMCA面积的最大值；（3）在（2）中四边形BMCA面积最大的条件下，过点M作直线平行于y轴，在这条直线上是否存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆？若存在，求出圆心Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=12x2+32x﹣2；（2）9；（3）点Q的坐标为（﹣2，4）或（﹣2，﹣1）．【解析】（1）如答图1所示，利用已知条件求出点B的坐标，然后用待定系数法求出抛物线的解析式．（2）如答图1所示，首先求出四边形BMCA面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出其最大值．（3）如答图2所示，首先求出直线AC与直线x=2的交点F的坐标，从而确定了Rt△AGF 的各个边长；然后证明Rt△AGF∽Rt△QEF，利用相似线段比例关系列出方程，求出点Q的坐标．考点：二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数定义，由实际问题列函数关系式，二次函数最值，勾股定理，相似三角形的判定和性质，圆的切线性质．9．如图，抛物线与x轴交于点A（，0）、点B（2，0），与y轴交于点C（0，1），连接BC．（1）求抛物线的函数关系式；（2）点N为抛物线上的一个动点，过点N作NP⊥x轴于点P，设点N的横坐标为t （），求△ABN的面积S与t的函数关系式；（3）若且时△OPN∽△COB，求点N的坐标．【答案】（1）；（2）；（3）（，）或（1，2）．【解析】试题分析：（1）可设抛物线的解析式为，用待定系数法就可得到结论；（2）当时，点N在x轴的上方，则NP等于点N的纵坐标，只需求出AB，就可得到S与t的函数关系式；（3）由相似三角形的性质可得PN=2PO．而PO=，需分和0＜t＜2两种情况讨论，由PN=2PO得到关于t的方程，解这个方程，就可得到答案．试题解析：（1）设抛物线的解析式为，把C（0，1）代入可得：，∴，∴抛物线的函数关系式为：，即；（2）当时，＞0，∴NP===，∴S=AB•PN==；（3）∵△OPN ∽△COB ，∴，∴，∴PN=2PO ． ①当时，PN===，PO==，∴，整理得：，解得：=，=，∵＞0，＜＜0，∴t=，此时点N 的坐标为（，）；②当0＜t ＜2时，PN===，PO==t ，∴，整理得：，解得：=，=1．∵＜0，0＜1＜2，∴t=1，此时点N 的坐标为（1，2）．综上所述：点N 的坐标为（，）或（1，2）．考点：1．二次函数综合题；2．待定系数法求二次函数解析式；3．相似三角形的性质．10．如图，抛物线y =ax 2+bx 经过△OAB 的三个顶点，其中点A （1，3），点B （3，﹣3），O 为坐标原点．（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；（2）若P （4，m ），Q （t ，n ）为该抛物线上的两点，且n ＜m ，求t 的取值范围； （3）若C 为线段AB 上的一个动点，当点A ，点B 到直线OC 的距离之和最大时，求∠BOC 的大小及点C 的坐标．【答案】（1）22353y x x =；（2）t ＞4；（3）∠BOC =60°，C （323 【解析】分析：（1）将已知点坐标代入y=ax 2+bx ，求出a 、b 的值即可； （2）利用抛物线增减性可解问题；（3）观察图形，点A ，点B 到直线OC 的距离之和小于等于AB ；同时用点A （13点B （3，﹣3）求出相关角度．详解：（1）把点A （1，3），点B （3，﹣3）分别代入y=ax 2+bx 得3=393a b a b⎧+⎪⎨-=+⎪⎩ ，解得23353a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴y=﹣2235333x x + （2）由（1）抛物线开口向下，对称轴为直线x=54， 当x ＞54时，y 随x 的增大而减小， ∴当t ＞4时，n ＜m ．（3）如图，设抛物线交x 轴于点F ，分别过点A 、B 作AD ⊥OC 于点D ，BE ⊥OC 于点E∵AC≥AD ，BC≥BE ， ∴AD+BE≤AC+BE=AB ，∴当OC ⊥AB 时，点A ，点B 到直线OC 的距离之和最大． ∵A （13B （33 ∴∠AOF=60°，∠BOF=30°， ∴∠AOB=90°， ∴∠ABO=30°．当OC ⊥AB 时，∠BOC=60°，点C 坐标为（323 点睛：本题考查综合考查用待定系数法求二次函数解析式，抛物线的增减性．解答问题时注意线段最值问题的转化方法．。