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2020-2021九年级数学二次函数的专项培优练习题及答案解析

2020-2021九年级数学二次函数的专项培优练习题及答案解析一、二次函数1.(6分)(2015•牡丹江)如图,抛物线y=x 2+bx+c 经过点A (﹣1,0),B (3,0).请解答下列问题:(1)求抛物线的解析式;(2)点E (2,m )在抛物线上,抛物线的对称轴与x 轴交于点H ,点F 是AE 中点,连接FH ,求线段FH 的长.注:抛物线y=ax 2+bx+c (a≠0)的对称轴是x=﹣.【答案】(1)y=-2x-3;(2).【解析】试题分析:(1)把A,B 两点坐标代入,求待定系数b,c ,进而确定抛物线的解析式;(2)连接BE ,点F 是AE 中点,H 是AB 中点,则FH 为三角形ABE 的中位线,求出BE 的长,FH 就知道了,先由抛物线解析式求出点E 坐标,根据勾股定理可求BE ,再根据三角形中位线定理求线段HF 的长.试题解析:(1)∵抛物线y=x 2+bx+c 经过点A (﹣1,0),B (3,0),∴把A,B 两点坐标代入得:,解得:,∴抛物线的解析式是:y=-2x-3;(2)∵点E (2,m )在抛物线上,∴把E 点坐标代入抛物线解析式y=-2x-3得:m=4﹣4﹣3=﹣3,∴E (2,﹣3),∴BE==.∵点F 是AE 中点,点H 是抛物线的对称轴与x 轴交点,即H 为AB 的中点,∴FH 是三角形ABE 的中位线,∴FH=BE=×=.∴线段FH 的长.考点:1.待定系数法求抛物线的解析式;2.勾股定理;3.三角形中位线定理.2.如图,已知抛物线2y ax bx c =++经过A (-3,0),B (1,0),C (0,3)三点,其顶点为D ,对称轴是直线l ,l 与x 轴交于点H .(1)求该抛物线的解析式;(2)若点P 是该抛物线对称轴l 上的一个动点,求△PBC 周长的最小值;(3)如图(2),若E 是线段AD 上的一个动点( E 与A 、D 不重合),过E 点作平行于y 轴的直线交抛物线于点F ,交x 轴于点G ,设点E 的横坐标为m ,△ADF 的面积为S . ①求S 与m 的函数关系式;②S 是否存在最大值?若存在,求出最大值及此时点E 的坐标; 若不存在,请说明理由.【答案】(1)2y x 2x 3=--+.(2)3210. (3)①2S m 4m 3=---.②当m=﹣2时,S 最大,最大值为1,此时点E 的坐标为(﹣2,2). 【解析】 【分析】(1)根据函数图象经过的三点,用待定系数法确定二次函数的解析式即可.(2)根据BC 是定值,得到当PB+PC 最小时,△PBC 的周长最小,根据点的坐标求得相应线段的长即可.(3)设点E 的横坐标为m ,表示出E (m ,2m+6),F (m ,2m 2m 3--+),最后表示出EF 的长,从而表示出S 于m 的函数关系,然后求二次函数的最值即可. 【详解】解:(1)∵抛物线2y ax bx c =++经过A (-3,0),B (1,0), ∴可设抛物线交点式为()()y a x 3x 1=+-.又∵抛物线2y ax bx c =++经过C (0,3),∴a 1=-. ∴抛物线的解析式为:()()y x 3x 1=-+-,即2y x 2x 3=--+. (2)∵△PBC 的周长为:PB+PC+BC ,且BC 是定值. ∴当PB+PC 最小时,△PBC 的周长最小. ∵点A 、点B 关于对称轴I 对称, ∴连接AC 交l 于点P ,即点P 为所求的点.∵AP=BP ,∴△PBC 的周长最小是:PB+PC+BC=AC+BC.∵A (-3,0),B (1,0),C (0,3),∴AC=32,BC=10. ∴△PBC 的周长最小是:3210+.(3)①∵抛物线2y x 2x 3=--+顶点D 的坐标为(﹣1,4),A (﹣3,0),∴直线AD 的解析式为y=2x+6∵点E 的横坐标为m ,∴E (m ,2m+6),F (m ,2m 2m 3--+) ∴()22EF m 2m 32m 6m 4m 3=--+-+=---.∴()22DEF AEF 1111S S S EF GH EF AG EF AH m 4m 32m 4m 32222∆∆=+=⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅=⋅---⋅=---.∴S 与m 的函数关系式为2S m 4m 3=---. ②()22S m 4m 3m 21=---=-++,∴当m=﹣2时,S 最大,最大值为1,此时点E 的坐标为(﹣2,2).3.如图,已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴相交于A (﹣1,0),B (3,0)两点,与y 轴相交于点C (0,﹣3). (1)求这个二次函数的表达式;(2)若P 是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点,PH ⊥x 轴于点H ,与BC 交于点M ,连接PC .①求线段PM 的最大值;②当△PCM 是以PM 为一腰的等腰三角形时,求点P 的坐标.【答案】(1)二次函数的表达式y=x 2﹣2x ﹣3;(2)①PM 最大=94;②P (2,﹣3)或(2﹣). 【解析】 【分析】(1)根据待定系数法,可得答案;(2)①根据平行于y 轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标,可得二次函数,根据二次函数的性质,可得答案;②根据等腰三角形的定义,可得方程,根据解方程,可得答案. 【详解】(1)将A ,B ,C 代入函数解析式,得09303a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩,解得123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩,这个二次函数的表达式y=x 2﹣2x ﹣3; (2)设BC 的解析式为y=kx+b , 将B ,C 的坐标代入函数解析式,得303k b b +=⎧⎨=-⎩,解得13k b =⎧⎨=-⎩, BC 的解析式为y=x ﹣3,设M (n ,n ﹣3),P (n ,n 2﹣2n ﹣3), PM=(n ﹣3)﹣(n 2﹣2n ﹣3)=﹣n 2+3n=﹣(n ﹣32)2+94, 当n=32时,PM 最大=94; ②当PM=PC 时,(﹣n 2+3n )2=n 2+(n 2﹣2n ﹣3+3)2, 解得n 1=0(不符合题意,舍),n 2=2, n 2﹣2n ﹣3=-3, P (2,-3);当PM=MC 时,(﹣n 2+3n )2=n 2+(n ﹣3+3)2,解得n 1=0(不符合题意,舍),n 2(不符合题意,舍),n 3, n 2﹣2n ﹣, P (,综上所述:P (2,﹣3)或(,2﹣). 【点睛】本题考查了二次函数的综合题,涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰三角形等知识,综合性较强,解题的关键是认真分析,弄清解题的思路有方法.4.如图,过()A 1,0、()B 3,0作x 轴的垂线,分别交直线y 4x =-于C 、D 两点.抛物线2y ax bx c =++经过O 、C 、D 三点.()1求抛物线的表达式;()2点M 为直线OD 上的一个动点,过M 作x 轴的垂线交抛物线于点N ,问是否存在这样的点M ,使得以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形?若存在,求此时点M 的横坐标;若不存在,请说明理由;()3若AOC V 沿CD 方向平移(点C 在线段CD 上,且不与点D 重合),在平移的过程中AOC V 与OBD V 重叠部分的面积记为S ,试求S 的最大值.【答案】(1)2413y x x 33=-+;(2)32或3322+或3322-;(3)13. 【解析】 【分析】(1)利用待定系数法求出抛物线的解析式;(2)由题意,可知MN ∥AC ,因为以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形,则有MN =AC =3.设点M 的横坐标为x ,则求出MN =|43x 2﹣4x |;解方程|43x 2﹣4x |=3,求出x 的值,即点M 横坐标的值;(3)设水平方向的平移距离为t (0≤t <2),利用平移性质求出S 的表达式:S 16=-(t ﹣1)213+;当t =1时,s 有最大值为13. 【详解】(1)由题意,可得C (1,3),D (3,1).∵抛物线过原点,∴设抛物线的解析式为:y =ax 2+bx ,∴3931a b a b +=⎧⎨+=⎩,解得43133a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,∴抛物线的表达式为:y 43=-x 2133+x . (2)存在.设直线OD 解析式为y =kx ,将D (3,1)代入,求得k 13=,∴直线OD 解析式为y 13=x . 设点M 的横坐标为x ,则M (x ,13x ),N (x ,43-x 2133+x ),∴MN =|y M ﹣y N |=|13x ﹣(43-x 2133+x )|=|43x 2﹣4x |. 由题意,可知MN ∥AC ,因为以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形,则有MN =AC =3,∴|43x 2﹣4x |=3.若43x 2﹣4x =3,整理得:4x 2﹣12x ﹣9=0,解得:x 32+=或x 32-= 若43x 2﹣4x =﹣3,整理得:4x 2﹣12x +9=0,解得:x 32=,∴存在满足条件的点M ,点M 的横坐标为:32或32+或32-. (3)∵C (1,3),D (3,1),∴易得直线OC 的解析式为y =3x ,直线OD 的解析式为y 13=x . 如解答图所示,设平移中的三角形为△A 'O 'C ',点C '在线段CD 上. 设O 'C '与x 轴交于点E ,与直线OD 交于点P ; 设A 'C '与x 轴交于点F ,与直线OD 交于点Q .设水平方向的平移距离为t (0≤t <2),则图中AF =t ,F (1+t ,0),Q (1+t ,1133+t ),C '(1+t ,3﹣t ).设直线O 'C '的解析式为y =3x +b ,将C '(1+t ,3﹣t )代入得:b =﹣4t ,∴直线O 'C '的解析式为y =3x ﹣4t ,∴E (43t ,0). 联立y =3x ﹣4t 与y 13=x ,解得:x 32=t ,∴P (32t ,12t ). 过点P 作PG ⊥x 轴于点G ,则PG 12=t ,∴S =S △OFQ ﹣S △OEP 12=OF •FQ 12-OE •PG 12=(1+t )(1133+t )12-•43t •12t 16=-(t ﹣1)213+当t =1时,S 有最大值为13,∴S 的最大值为13.【点睛】本题是二次函数压轴题,综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、函数图象上点的坐标特征、平行四边形、平移变换、图形面积计算等知识点,有一定的难度.第(2)问中,解题的关键是根据平行四边形定义,得到MN =AC =3,由此列出方程求解;第(3)问中,解题的关键是求出S 的表达式,注意图形面积的计算方法.5.如图,抛物线21222y x x =-++与x 轴相交于A B ,两点,(点A 在B 点左侧)与y 轴交于点C.(Ⅰ)求A B ,两点坐标.(Ⅱ)连结AC ,若点P 在第一象限的抛物线上,P 的横坐标为t ,四边形ABPC 的面积为S.试用含t 的式子表示S ,并求t 为何值时,S 最大.(Ⅲ)在(Ⅱ)的基础上,若点,G H 分别为抛物线及其对称轴上的点,点G 的横坐标为m ,点H 的纵坐标为n ,且使得以,,,A G H P 四点构成的四边形为平行四边形,求满足条件的,m n 的值.【答案】(Ⅰ)(2,0),2,0)A B ;(Ⅱ)222)42(022)S t t =-+<<,当2t =时,42S =最大;(Ⅲ)满足条件的点m n 、的值为:2324m n =-=,或1524m n ==-,或124m n =-= 【解析】 【分析】(Ⅰ)令y=0,建立方程求解即可得出结论;(Ⅱ)设出点P 的坐标,利用S=S △AOC +S 梯形OCPQ +S △PQB ,即可得出结论;(Ⅲ)分三种情况,利用平行四边形的性质对角线互相平分和中点坐标公式建立方程组即可得出结论. 【详解】解:(Ⅰ)抛物线2122y x x =-++,令0y =,则212022x x -++=,解得:x =x =∴((,A B(Ⅱ)由抛物线2122y x x =-++,令0x =,∴2y =,∴()0,2C , 如图1,点P 作PQ x ⊥轴于Q , ∵P 的横坐标为t ,∴设(),P t p ,∴212,,22p t PQ p BQ t OQ t =-++===,∴()()11122222AOC PQB OCPQ S S S S p t t p =++=++⨯+⨯⨯V V 梯形 1122t pt pt t =++-=++21222t t ⎫=-+++⎪⎪⎭22t t =-+<<,∴当t =时,S =最大(Ⅲ)由(Ⅱ)知,2t =,∴)2,2P,∵抛物线212222y x x =-++的对称轴为22x =, ∴设2122,2,2G m m H n ⎛⎫⎫-++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭以,,,A G H P 四点构成的四边形为平行四边形,()2,0A , ①当AP 和HG 为对角线时,∴()2112111222,2022222222m m m n ⎛⎫⎛⎫=++=-+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ∴2324m n =-=, ②当AG 和PH 是对角线时,∴(()2112112122,2022222222m m m n ⎫⎛⎫=-+++=+⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭, ∴215,24m n ==-, ③AH 和PG 为对角线时,∴(()2121112122,2202222222m m m n ⎛⎫⎛⎫-=+-+++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ∴32124m n =-=, 即:满足条件的点m n 、的值为:234m n ==,或52154m n ==-,或3214m n == 【点睛】此题是二次函数综合题,主要考查了坐标轴上点的特点,三角形的面积公式,梯形的面积公式,平行四边形的性质,中点坐标公式,用方程的思想解决问题是解本题的关键.6.如图,抛物线y=﹣(x ﹣1)2+c 与x 轴交于A ,B (A ,B 分别在y 轴的左右两侧)两点,与y 轴的正半轴交于点C ,顶点为D ,已知A (﹣1,0).(1)求点B ,C 的坐标;(2)判断△CDB 的形状并说明理由;(3)将△COB 沿x 轴向右平移t 个单位长度(0<t <3)得到△QPE .△QPE 与△CDB 重叠部分(如图中阴影部分)面积为S ,求S 与t 的函数关系式,并写出自变量t 的取值范围. 【答案】(Ⅰ)B(3,0);C(0,3);(Ⅱ)CDB ∆为直角三角形;(Ⅲ)22333(0)221933(3)222t t t S t t t ⎧-+<≤⎪⎪=⎨⎪=-+<<⎪⎩.【解析】 【分析】(1)首先用待定系数法求出抛物线的解析式,然后进一步确定点B ,C 的坐标. (2)分别求出△CDB 三边的长度,利用勾股定理的逆定理判定△CDB 为直角三角形. (3)△COB 沿x 轴向右平移过程中,分两个阶段: ①当0<t≤32时,如答图2所示,此时重叠部分为一个四边形; ②当32<t <3时,如答图3所示,此时重叠部分为一个三角形. 【详解】解:(Ⅰ)∵点()1,0A -在抛物线()21y x c =--+上,∴()2011c =---+,得4c =∴抛物线解析式为:()214y x =--+,令0x =,得3y =,∴()0,3C ; 令0y =,得1x =-或3x =,∴()3,0B .(Ⅱ)CDB ∆为直角三角形.理由如下:由抛物线解析式,得顶点D 的坐标为()1,4.如答图1所示,过点D 作DM x ⊥轴于点M ,则1OM =,4DM =,2BM OB OM =-=.过点C 作CN DM ⊥于点N ,则1CN =,1DN DM MN DM OC =-=-=. 在Rt OBC ∆中,由勾股定理得:22223332BC OB OC =+=+=;在Rt CND ∆中,由勾股定理得:2222112CD CN DN =+=+=;在Rt BMD ∆中,由勾股定理得:22222425BD BM DM =+=+=.∵222BC CD BD +=,∴CDB ∆为直角三角形.(Ⅲ)设直线BC 的解析式为y kx b =+,∵()()3,0,0,3B C ,∴303k b b +=⎧⎨=⎩, 解得1,3k b =-=,∴3y x =-+,直线QE 是直线BC 向右平移t 个单位得到,∴直线QE 的解析式为:()33y x t x t =--+=-++;设直线BD 的解析式为y mx n =+,∵()()3,0,1,4B D ,∴304m n m n +=⎧⎨+=⎩,解得:2,6m n =-=, ∴26y x =-+. 连续CQ 并延长,射线CQ 交BD 交于G ,则3,32G ⎛⎫⎪⎝⎭. 在COB ∆向右平移的过程中:(1)当302t <≤时,如答图2所示:设PQ 与BC 交于点K ,可得QK CQ t ==,3PB PK t ==-.设QE 与BD 的交点为F ,则:263y x y x t=-+⎧⎨=-++⎩. 解得32x t y t=-⎧⎨=⎩, ∴()3,2F t t -. 111222QPE PBK FBE F S S S S PE PQ PB PK BE y ∆∆∆=--=⋅-⋅-⋅ ()221113333232222t t t t t =⨯⨯---⋅=-+. (2)当332t <<时,如答图3所示:设PQ 分别与BC BD 、交于点K 、点J .∵CQ t =,∴KQ t =,3PK PB t ==-.直线BD 解析式为26y x =-+,令x t =,得62y t =-,∴(),62J t t -. 1122PBJ PBK S S S PB PJPB PK ∆∆=-=⋅-⋅ ()()()211362322t t t =---- 219322t t =-+. 综上所述,S 与t 的函数关系式为:2233302219333222t t t S t t t ⎧⎛⎫-+<≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪=-+<< ⎪⎪⎝⎭⎩.7.如图,已知抛物线经过点A (-1,0),B (4,0),C (0,2)三点,点D 与点C 关于x 轴对称,点P 是线段AB 上的一个动点,设点P 的坐标为(m ,0),过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ,交直线BD 于点M .(1)求该抛物线所表示的二次函数的表达式;(2)在点P 运动过程中,是否存在点Q ,使得△BQM 是直角三角形?若存在,求出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由;(3)连接AC ,将△AOC 绕平面内某点H 顺时针旋转90°,得到△A 1O 1C 1,点A 、O 、C 的对应点分别是点A 、O 1、C 1、若△A 1O 1C 1的两个顶点恰好落在抛物线上,那么我们就称这样的点为“和谐点”,请直接写出“和谐点”的个数和点A 1的横坐标.【答案】(1)y=-21x 2+32x+2;(2)存在,Q (3,2)或Q (-1,0);(3)两个和谐点,A 1的横坐标是1,12. 【解析】【分析】(1)把点A (1,0)、B (4,0)、C (0,3)三点的坐标代入函数解析式,利用待定系数法求解;(2)分两种情况分别讨论,当∠QBM=90°或∠MQB=90°,即可求得Q 点的坐标. (3)(3)两个和谐点;AO=1,OC=2,设A 1(x ,y ),则C 1(x+2,y-1),O 1(x ,y-1),①当A1、C1在抛物线上时,A1的横坐标是1;当O1、C1在抛物线上时,A1的横坐标是2;【详解】解:(1)设抛物线解析式为y=ax2+bx+c,将点A(-1,0),B(4,0),C(0,2)代入解析式,∴0a b c016a4b c 2c=-+⎧⎪=++⎨⎪=⎩,∴1 a23 b2⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,∴y=-21x2+32x+2;(2)∵点C与点D关于x轴对称,∴D(0,-2).设直线BD的解析式为y=kx-2.∵将(4,0)代入得:4k-2=0,∴k=12.∴直线BD的解析式为y=12x-2.当P点与A点重合时,△BQM是直角三角形,此时Q(-1,0);当BQ⊥BD时,△BQM是直角三角形,则直线BQ的直线解析式为y=-2x+8,∴-2x+8=-21x2+32x+2,可求x=3或x=4(舍)∴x=3;∴Q (3,2)或Q (-1,0);(3)两个和谐点;AO=1,OC=2,设A 1(x ,y ),则C 1(x+2,y-1),O 1(x ,y-1),①当A 1、C 1在抛物线上时, ∴()2213yx x 22213y 1(x 2)x 2222⎧=-++⎪⎪⎨⎪-=-++++⎪⎩, ∴x 1y 3=⎧⎨=⎩, ∴A 1的横坐标是1;当O 1、C 1在抛物线上时,()2213y 1x x 22213y 1(x 2)x 2222⎧-=-++⎪⎪⎨⎪-=-++++⎪⎩, ∴1x 221y 8⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩, ∴A 1的横坐标是12;【点睛】本题是二次函数的综合题,考查了待定系数法求二次函数的解析式,轴对称-最短路线问题,等腰三角形的性质等;分类讨论思想的运用是本题的关键.8.如图①,在平面直角坐标系xOy 中,抛物线y=ax 2+bx+3经过点A(-1,0) 、B(3,0) 两点,且与y 轴交于点C.(1)求抛物线的表达式;(2)如图②,用宽为4个单位长度的直尺垂直于x 轴,并沿x 轴左右平移,直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于P 、 Q 两点(点P 在点Q 的左侧),连接PQ ,在线段PQ 上方抛物线上有一动点D ,连接DP 、DQ.①若点P 的横坐标为12-,求△DPQ 面积的最大值,并求此时点D 的坐标; ②直尺在平移过程中,△DPQ 面积是否有最大值?若有,求出面积的最大值;若没有,请说明理由.【答案】(1)抛物线y=-x 2+2x+3;(2)①点D ( 31524,);②△PQD 面积的最大值为8【解析】分析:(1)根据点A 、B 的坐标,利用待定系数法即可求出抛物线的表达式;(2)(I )由点P 的横坐标可得出点P 、Q 的坐标,利用待定系数法可求出直线PQ 的表达式,过点D 作DE ∥y 轴交直线PQ 于点E ,设点D 的坐标为(x ,-x 2+2x+3),则点E 的坐标为(x ,-x+54),进而即可得出DE 的长度,利用三角形的面积公式可得出S △DPQ =-2x 2+6x+72,再利用二次函数的性质即可解决最值问题; (II )假设存在,设点P 的横坐标为t ,则点Q 的横坐标为4+t ,进而可得出点P 、Q 的坐标,利用待定系数法可求出直线PQ 的表达式,设点D 的坐标为(x ,-x 2+2x+3),则点E 的坐标为(x ,-2(t+1)x+t 2+4t+3),进而即可得出DE 的长度,利用三角形的面积公式可得出S △DPQ =-2x 2+4(t+2)x-2t 2-8t ,再利用二次函数的性质即可解决最值问题.详解:(1)将A (-1,0)、B (3,0)代入y=ax 2+bx+3,得:309330a b a b -+⎧⎨++⎩==,解得:12a b -⎧⎨⎩==, ∴抛物线的表达式为y=-x 2+2x+3.(2)(I )当点P 的横坐标为-12时,点Q 的横坐标为72, ∴此时点P 的坐标为(-12,74),点Q 的坐标为(72,-94). 设直线PQ 的表达式为y=mx+n ,将P(-12,74)、Q(72,-94)代入y=mx+n,得:17247924m nm n⎧-+⎪⎪⎨⎪+-⎪⎩==,解得:154mn-⎧⎪⎨⎪⎩==,∴直线PQ的表达式为y=-x+54.如图②,过点D作DE∥y轴交直线PQ于点E,设点D的坐标为(x,-x2+2x+3),则点E的坐标为(x,-x+54),∴DE=-x2+2x+3-(-x+54)=-x2+3x+74,∴S△DPQ=12DE•(x Q-x P)=-2x2+6x+72=-2(x-32)2+8.∵-2<0,∴当x=32时,△DPQ的面积取最大值,最大值为8,此时点D的坐标为(32,154).(II)假设存在,设点P的横坐标为t,则点Q的横坐标为4+t,∴点P的坐标为(t,-t2+2t+3),点Q的坐标为(4+t,-(4+t)2+2(4+t)+3),利用待定系数法易知,直线PQ的表达式为y=-2(t+1)x+t2+4t+3.设点D的坐标为(x,-x2+2x+3),则点E的坐标为(x,-2(t+1)x+t2+4t+3),∴DE=-x2+2x+3-[-2(t+1)x+t2+4t+3]=-x2+2(t+2)x-t2-4t,∴S△DPQ=12DE•(x Q-x P)=-2x2+4(t+2)x-2t2-8t=-2[x-(t+2)]2+8.∵-2<0,∴当x=t+2时,△DPQ的面积取最大值,最大值为8.∴假设成立,即直尺在平移过程中,△DPQ面积有最大值,面积的最大值为8.点睛:本题考查了待定系数法求二次(一次)函数解析式、二次(一次)函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及二次函数的最值,解题的关键是:(1)根据点的坐标,利用待定系数法求出二次函数表达式;(2)(I)利用三角形的面积公式找出S△DPQ=-2x2+6x+72;(II)利用三角形的面积公式找出S△DPQ=-2x2+4(t+2)x-2t2-8t.9.对于某一函数给出如下定义:若存在实数m,当其自变量的值为m时,其函数值等于﹣m,则称﹣m为这个函数的反向值.在函数存在反向值时,该函数的最大反向值与最小反向值之差n称为这个函数的反向距离.特别地,当函数只有一个反向值时,其反向距离n为零.例如,图中的函数有4,﹣1两个反向值,其反向距离n等于5.(1)分别判断函数y=﹣x+1,y=1x-,y=x2有没有反向值?如果有,直接写出其反向距离;(2)对于函数y=x2﹣b2x,①若其反向距离为零,求b的值;②若﹣1≤b≤3,求其反向距离n的取值范围;(3)若函数y=223()3()x x x mx x x m⎧-≥⎨--<⎩请直接写出这个函数的反向距离的所有可能值,并写出相应m的取值范围.【答案】(1)y=−1x有反向值,反向距离为2;y=x2有反向值,反向距离是1;(2)①b=±1;②0≤n≤8;(3)当m>2或m≤﹣2时,n=2,当﹣2<m≤2时,n=4.【解析】【分析】(1)根据题目中的新定义可以分别计算出各个函数是否有方向值,有反向值的可以求出相应的反向距离;(2)①根据题意可以求得相应的b的值;②根据题意和b的取值范围可以求得相应的n的取值范围;(3)根据题目中的函数解析式和题意可以解答本题.【详解】(1)由题意可得,当﹣m=﹣m+1时,该方程无解,故函数y=﹣x+1没有反向值,当﹣m=1m-时,m=±1,∴n=1﹣(﹣1)=2,故y=1x-有反向值,反向距离为2,当﹣m=m2,得m=0或m=﹣1,∴n=0﹣(﹣1)=1,故y=x2有反向值,反向距离是1;(2)①令﹣m =m 2﹣b 2m ,解得,m =0或m =b 2﹣1,∵反向距离为零,∴|b 2﹣1﹣0|=0,解得,b =±1;②令﹣m =m 2﹣b 2m ,解得,m =0或m =b 2﹣1,∴n =|b 2﹣1﹣0|=|b 2﹣1|,∵﹣1≤b ≤3,∴0≤n ≤8;(3)∵y =223()3()x x x m x x x m ⎧-≥⎨--<⎩, ∴当x ≥m 时,﹣m =m 2﹣3m ,得m =0或m =2,∴n =2﹣0=2,∴m >2或m ≤﹣2;当x <m 时,﹣m =﹣m 2﹣3m ,解得,m =0或m =﹣4,∴n =0﹣(﹣4)=4,∴﹣2<m ≤2,由上可得,当m >2或m ≤﹣2时,n =2,当﹣2<m ≤2时,n =4.【点睛】本题是一道二次函数综合题,解答本题的关键是明确题目中的新定义,找出所求问题需要的条件,利用新定义解答相关问题.10.已知抛物线2(5)6y x m x m =-+-+-.(1)求证:该抛物线与x 轴总有交点;(2)若该抛物线与x 轴有一个交点的横坐标大于3且小于5,求m 的取值范围;(3)设抛物线2(5)6y x m x m =-+-+-与y 轴交于点M ,若抛物线与x 轴的一个交点关于直线y x =-的对称点恰好是点M ,求m 的值.【答案】(1)证明见解析;(2)1?<?m?3<;(3)56m m ==或【解析】【分析】(1)本题需先根据判别式解出无论m 为任何实数都不小于零,再判断出物线与x 轴总有交点.(2)根据公式法解方程,利用已有的条件,就能确定出m 的取值范围,即可得到结果.(3)根据抛物线y=-x 2+(5-m )x+6-m ,求出与y 轴的交点M 的坐标,再确定抛物线与x 轴的两个交点关于直线y=-x 的对称点的坐标,列方程可得结论.【详解】(1)证明:∵()()()222454670b ac m m m ∆=-=-+-=-≥∴抛物线与x 轴总有交点.(2)解:由(1)()27m ∆=-,根据求根公式可知, 方程的两根为:257m m x ()-±-= 即1216x x m =-=-+, 由题意,有 3<-m 6<5+1<?m 3∴<(3)解:令 x = 0, y =6m -+∴ M (0,6m -+)由(2)可知抛物线与x 轴的交点为(-1,0)和(6m -+,0),它们关于直线y x =-的对称点分别为(0 , 1)和(0, 6m -),由题意,可得:6166m m m 或-+=-+=-56m m ∴==或【点睛】本题考查对抛物线与x 轴的交点,解一元一次方程,解一元一次不等式,根的判别式,对称等,解题关键是熟练理解和掌握以上性质,并能综合运用这些性质进行计算.11.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax 2+bx ﹣3(a≠0)与x 轴交于点A (﹣2,0)、B (4,0)两点,与y 轴交于点C .(1)求抛物线的解析式;(2)点P 从A 点出发,在线段AB 上以每秒3个单位长度的速度向B 点运动,同时点Q 从B 点出发,在线段BC 上以每秒1个单位长度的速度向C 点运动,其中一个点到达终点时,另一个点也停止运动,当△PBQ 存在时,求运动多少秒使△PBQ 的面积最大,最大面积是多少?(3)当△PBQ 的面积最大时,在BC 下方的抛物线上存在点K ,使S △CBK :S △PBQ =5:2,求K 点坐标.【答案】(1)y=38x 2﹣34x ﹣3(2)运动1秒使△PBQ 的面积最大,最大面积是910(3)K 1(1,﹣278),K 2(3,﹣158)【解析】 【详解】试题分析:(1)把点A 、B 的坐标分别代入抛物线解析式,列出关于系数a 、b 的解析式,通过解方程组求得它们的值;(2)设运动时间为t 秒.利用三角形的面积公式列出S △PBQ 与t 的函数关系式S △PBQ =﹣910(t ﹣1)2+910.利用二次函数的图象性质进行解答; (3)利用待定系数法求得直线BC 的解析式为y=34x ﹣3.由二次函数图象上点的坐标特征可设点K 的坐标为(m ,38m 2﹣34m ﹣3).如图2,过点K 作KE ∥y 轴,交BC 于点E .结合已知条件和(2)中的结果求得S △CBK =94.则根据图形得到:S △CBK =S △CEK +S △BEK =12EK•m+12•EK•(4﹣m ),把相关线段的长度代入推知:﹣34m 2+3m=94.易求得K 1(1,﹣278),K 2(3,﹣158).解:(1)把点A (﹣2,0)、B (4,0)分别代入y=ax 2+bx ﹣3(a≠0),得423016430a b a b --=⎧⎨+-=⎩, 解得3834a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,所以该抛物线的解析式为:y=38x 2﹣34x ﹣3;(2)设运动时间为t 秒,则AP=3t ,BQ=t . ∴PB=6﹣3t .由题意得,点C 的坐标为(0,﹣3). 在Rt △BOC 中,. 如图1,过点Q 作QH ⊥AB 于点H .∴QH ∥CO , ∴△BHQ ∽△BOC , ∴HB OC BGBC=,即Hb 35t=,∴HQ=35t . ∴S △PBQ =12PB•HQ=12(6﹣3t )•35t=﹣910t 2+95t=﹣910(t ﹣1)2+910.当△PBQ 存在时,0<t <2 ∴当t=1时,S △PBQ 最大=910. 答:运动1秒使△PBQ 的面积最大,最大面积是910; (3)设直线BC 的解析式为y=kx+c (k≠0). 把B (4,0),C (0,﹣3)代入,得403k c c +=⎧⎨=-⎩, 解得3k 4c 3⎧=⎪⎨⎪=-⎩,∴直线BC 的解析式为y=34x ﹣3. ∵点K 在抛物线上.∴设点K 的坐标为(m ,38m 2﹣34m ﹣3).如图2,过点K 作KE ∥y 轴,交BC 于点E .则点E 的坐标为(m ,34m ﹣3).∴EK=34m ﹣3﹣(38m 2﹣34m ﹣3)=﹣38m 2+32m .当△PBQ 的面积最大时,∵S △CBK :S △PBQ =5:2,S △PBQ =910. ∴S △CBK =94. S △CBK =S △CEK +S △BEK =12EK•m+12•EK•(4﹣m ) =12×4•EK =2(﹣38m 2+32m )=﹣34m 2+3m . 即:﹣34m 2+3m=94.解得 m 1=1,m 2=3.∴K 1(1,﹣278),K 2(3,﹣158).点评:本题是二次函数的综合题型,其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数解析式和三角形的面积求法.在求有关动点问题时要注意该点的运动范围,即自变量的取值范围.12.已知,如图,抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点为(1,9)M ,经过抛物线上的两点(3,7)A --和(3,)B m 的直线交抛物线的对称轴于点C .(1)求抛物线的解析式和直线AB 的解析式.(2)在抛物线上,A M 两点之间的部分(不包含,A M 两点),是否存在点D ,使得2DAC DCM S S ∆∆=?若存在,求出点D 的坐标;若不存在,请说明理由.(3)若点P 在抛物线上,点Q 在x 轴上,当以点,,,A M P Q 为顶点的四边形是平行四边形时,直接写出满足条件的点P 的坐标.【答案】(1)抛物线的表达式为:228y x x =-++,直线AB 的表达式为:21y x =-;(2)存在,理由见解析;点P (6,16)-或(4,16)--或(17,2)+或(17,2).【解析】 【分析】(1)二次函数表达式为:y=a (x-1)2+9,即可求解; (2)S △DAC =2S △DCM ,则()()()()()21112821139112222DAC C A S DH x x x x x x =-=-++-++=--⨯V ,,即可求解;(3)分AM 是平行四边形的一条边、AM 是平行四边形的对角线两种情况,分别求解即可. 【详解】解:(1)二次函数表达式为:()219y a x =-+, 将点A 的坐标代入上式并解得:1a =-, 故抛物线的表达式为:228y x x =-++…①, 则点()3,5B ,将点,A B 的坐标代入一次函数表达式并解得: 直线AB 的表达式为:21y x =-; (2)存在,理由:二次函数对称轴为:1x =,则点()1,1C , 过点D 作y 轴的平行线交AB 于点H ,设点()2,28D x x x -++,点(),21H x x -,∵2DAC DCM S S ∆∆=, 则()()()()()21112821139112222DAC C A S DH x x x x x x =-=-++-++=--⨯V , 解得:1x =-或5(舍去5), 故点()1,5D -;(3)设点(),0Q m 、点(),P s t ,228t s s =-++, ①当AM 是平行四边形的一条边时,点M 向左平移4个单位向下平移16个单位得到A ,同理,点(),0Q m 向左平移4个单位向下平移16个单位为()4,16m --,即为点P , 即:4m s -=,6t -=,而228t s s =-++, 解得:6s =或﹣4, 故点()6,16P -或()4,16--; ②当AM 是平行四边形的对角线时,由中点公式得:2m s +=-,2t =,而228t s s =-++, 解得:17s =±,故点()17,2P +或()17,2-;综上,点()6,16P -或()4,16--或()17,2+或()17,2-. 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用,涉及到一次函数、平行四边形性质、图形的面积计算等,其中(3),要注意分类求解,避免遗漏.13.如图,已知抛物线的图象与x 轴的一个交点为B (5,0),另一个交点为A ,且与y 轴交于点C (0,5)。

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