o
x
h
x 0, h
所求体积为 V
h 0


r h
x
2
dx

1 3

r
2h
6
例3 计算由曲线 y=x2 与 x=y2 所围成的平面 图形绕 y 轴旋转一周而成的立体的体积。
解：如图所示
Vy V1 V2 1 ydy
1

y
4dy

3
0
0
10
V1
V2
b
b
(2)a kf (x)dx k a f (x)dx
b
c
b
(3)a f (x)dx a f (x)dx c f (x)dx
4、结论
若f (x)为偶函数，则 a f (x) 2 a f (x)
-a
0
若f (x)为奇函数，则 a f (x) 0 -a
3
◆旋转体的定义
还有其他方法吗？
22
2020/1/2
23
2
11
2020/1/2
12
问题的提出
返回
13
旋转体概念
返回
14
旋转体实例圆锥
返回
15
旋转体实例圆柱
返回
16
旋转体体积推导
返回
17
体积例题 3
返回
18
体积例题 2
返回
19
体积例题 5
返回
20
基本初等函数的导数公式 1.若f (x) c f '(x) 0
2.若f (x) xn f ' (x) nxn-1(n R)
返7 回
◆练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式
1 y x3, x 1, y 0
绕x轴旋转一周
Vx
1

x
6dx

1
0
7
2 y x3, y 1, x 0
绕x轴旋转一周
y=x3 x1
1
Vx
1
dx
0
1

x6dx

6
0
7
y=x3
x
1
8
◆练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式
示例：圆锥、圆柱、球等的形成过程（演示）。
旋转体的定义：旋转体就是由一个平面图形饶 这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直 线叫做旋转轴。
可选取适当坐标系，使旋转轴为x轴或y轴
最基本的情形是曲边梯形绕x轴或y轴旋转的情形。
（演示）。
4
◆旋转体的体积计算公式
1、旋转轴为 x 轴（演示） 由x=a , x= b ，y=0, y=f (x) （f (x)>0)所围成
d x2dy
c
d g( y)2 dy
c
c
x=g5(y)
◆旋转体的体积计算公式
例2 连接坐标原点 O 及点 P( h , r) 的直线，直
线 x=h及 x轴围成一个直角三角形，将它绕 x
轴旋转构成一个底半径为 r，高为 h的圆锥，计
y
算圆锥的体积。
P(h,r)
解 ：如图所示
直线OP的方程为 y r x ，
1 x ln a
8.若f (x) ln x f '(x) 1
21
x
定积分与平面图形的面积
例1 计算由 y2 2x 和 y x 4 所围
成的图形的面积。
解 A A1 A2

2 0

2x (
2x ) dx

8 2
2x (x 4) dx
18
的曲边梯形绕 x 轴旋转一周而成的旋转体的
体积为 Vx
b y2dx
a
b f (x)2 dx
a
2、旋转轴为 y 轴（演示）
y=f (x)
由y= c , y= d , x=0, x=g (y) （ g (y)>a 0)所围b 成
的曲边梯形绕 y 轴旋转一周而成的旋转体的体
d
积为 Vy
绕x轴旋转一周
V 2
1

x2 1 2 dx 22
2 1
0

2 x4dx
32 2 3 2


0
15
10
◆练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式
2
绕y轴旋转一周
1
2
2
2
2
Vy

0
y dy 1
y 1 dy
3
定积分的应用 ----旋转体的体积
2
1
1、微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）
b a
f
(x)dx

F(x)
|ba

F (b)

F(a)
其中F(x) 是被积函数f(x)的原函数。
2、定积分的几何含义：
2
3、定积分基本性质
b
b
b
(1)a ( f (x) g(x))dx a f (x1
绕y轴旋转一周
y
Vy
1

0
3 y 2 dy 3
5
5 y x3, x 1, x轴
绕y轴旋转一周
1
Vy

0
3 y 2 dy 2
5
y
y=x3 1
y=x3
9
1
◆练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式
3.若f (x) sin x f '(x) cos x
4.若f (x) cos x f '(x) -sin x
5.若f (x) ax f ' (x) ax ln a
6.若f (x) ex f ' (x) ex
7.若f (x) loga x

f '(x)