专题七 数学方法（5） 微元法
【重要方法点津】
在物理学的问题中，往往是针对一个对象经历某一过程或出于某一状态来进行研究，而此过程或状态中，描述此研究对象的物理量有的可能是不变的，而更多的则可能是变化的，对于那些变化的物理量的研究，有一种方法是将全过程分为很多短暂的微小过程或将研究对象的整体分解为很多微小局部，这些微小过程或者是微小的局部常被称为“微元”，而且每个微元所遵行的规律是相同的，取某一微元加以分析，然后在将微元进行必要的数学方法或物理思想处理归纳出适用于全过程或者是整体的结论，这种方法被称为“微元法”。
微元法是物理学研究连续变化量的一种常用方法。
微元可以是一小段线段、圆弧、一小块面积、一个小体积、小质量、一小段时间……，但应具有整体对象的基本特征。
这样，我们只需分析这些“元过程”，然后再将“元过程”进行必要的数学方法或物理思想处理，进而使问题得到求解。
利用“微元法”可以将非理想模型转化为理想模型，将一般曲线转化为圆甚至是直线，将非线性变量转化为线性变量甚至是恒量，充分体现了“化曲为直”、“化变为恒”的思想。
应用“微元法”解决物理问题时，采取从对事物的极小部分（微元）入手，达到解决事物整体的方法，具体可以分以下三个步骤进行：（1）选取微元用以量化元事物或元过程；
（2）把元事物或元过程视为恒定，运用相应的物理规律写出待求量对应的微元表达式；（3）在微元表达式的定义域内实施叠加演算，进而求得待求量。
微元法是采用分割、近似、求和、取极限四个步骤建立所求量的积分式来解决问题的。
【典例讲练突破】
【例1】
设某个物体的初速度为0v ，做加速度为a 的匀加速直线运动，经过时间t ，则物
体的位移与时间的关系式为2012
x v t at =+，试推导。
【总结】这是我们最早接触的微元法的应用。
总结应用微元法的一般步骤：（1）选取微元，时间t ∆极短，认为速度不变，“化变为恒”，（2）写出所求量的微元表达式，微元段的意义是位移，写出位移表达式i i x v t =∆，（3）对所求物理量求和，即对微元段的位移求和，
i i x x v t =∑=∑∆。
v拉水平面上的物体A，【练1】如图所示，人用绳子通过定滑轮以不变的速度
当绳子与水平方向成θ角时，求物体A的速度。
【例2】真空中放置的平行金属板可以用作光电转换装置，如图所示。
光照前两板都不带电。
以光照射A板，则板中的电子可能吸收光的能量而逸出。
假设所有逸出的电子都垂直于A板向B板运动，忽略电子之间的相互作用。
保持光照条件不变。
a和b为接线柱。
已知单位时间内从A板逸出的电子数为N，电子逸出时的最大动能为E km。
元电荷为e。
(1)求A板和B板之间的最大电势差U m，以及将a、b短接时回路中的电流I短。
(2)图示装置可看作直流电源，求其电动势E和内阻r。
(3)在a和b之间连接一个外电阻时，该电阻两端的电压为U。
外电阻上消耗的电功率设为P；单位时间内到达B板的电子，在从A板运动到B板的过程中损失的动能之和设为ΔE k。
请推导证明:P=ΔE k。
(注意：解题过程中需要用到、但题目没有给出的物理量，要在解题中做必要的说明)
v竖直向上抛出一质量为m的球，若运动过程中受到【练2】从地面上以初速度
的空气阻力与其速率成正比关系，球运动的速率随时间变化规律如图所示，t1时
v，且落地前球已经做匀速运动．求：刻到达最高点，再落回地面，落地时速率为
1
（1）球从抛出到落地过程中克服空气阻力所做的功；
（2）球抛出瞬间的加速度大小；
（3）球上升的最大高度H．
【例3】如图所示，一个半径为R的带电圆环，带电荷量为+Q，带电圆环的中心为O，在通过O点与圆面垂直的直线上有一点A，距离O点为L，A点有一带电荷量为+q的点电荷，求该点电荷受到的电场力．
【拓展】如果在A点不放点电荷，求A点的电场强度的大小和方向。
【练3】一半径为R的绝缘球壳上均匀地带有电荷量为+Q的电荷，另一电荷量为+q的点电荷放在球心O上，由于对称性，点电荷所受的力为零．现在球壳上挖去半径为r(r R
)的一个小圆孔A，此时置于球心的点电荷所受电场力的大小为________(已知静电力常量为k)，方向是________．
【例4】如图所示，一水平放置的光滑平行导轨上放一质量为m 的金属杆，导轨间距为L ，导轨的一端连接一阻值为R 的电阻，其他电阻不计，磁感应强度为B 的匀强磁场垂直于导轨平面.现给金属杆一个水平向右的初速度0v ，然后任其运
动，导轨足够长，试求金属杆在导轨上向右移动的最大距离是多少？
【练4】如图所示，间距为l 的两条足够长的平行金属导轨与水平面的夹角为θ，导轨光滑且电阻忽略不计。
场强为B 的条形匀强磁场方向与导轨平面垂直，磁场区域的宽度为1d ,间距为2d 。
两根质量均为m 、有效电阻均为R 的导体棒a 和b 放在导轨上，并与导轨垂直。
(设重力加速度为g)
(1)若a 进入第2个磁场区域时，b 以与a 同样的速度进入第1个磁场区域．求b 穿过第1个磁场区域过程中增加的动能ΔEk 。
(2)若a 进入第2个磁场区域时，b 恰好离开第1个酷场区域，此后a 离开第2个磁场区域时．B 又恰好进入第2个磁场区域且a 、b 在任意一个磁场区域或无磁场区域的 运动时间均相等.求a 穿过第2个磁场区域过程中，两导体棒产生的总焦耳热Q
(3)对于第(2)问所述的运动情况，求a 穿出第k 个磁场区域时的速率v.。