(2)若{an}，{bn}分别是公比为q1，q2的等比数列，则数列 {an·bn}是公比为q1q2的等比数列． (3)数列{an}是各项均为正数的等比数列时，数列{lg an}是 公差为lg q的等差数列．
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题型一 等比数列性质的应用
【例1】 已知数列{an}为等比数列． (1)若an>0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，求a3＋a5的值； (2)若a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求数列{an}的通项公式． [思路探索] 应用等比数列的性质：a2a4＝a32，a4a6＝a52， a1a3＝a22，化简已知，可求解． 解 (1)法一 ∵an>0，∴a1>0，q>0. 又∵a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36， ∴a1q·a1q3＋2a1q2·a1q4＋a1q3·a1q5＝36， 即a12q4＋2a12q6＋a12q8＝36，
有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两 项的积(若有中间项则等于中间项的平方)，即 a1·an＝a2·_a_n_－_1_
＝ak·_a_n－__k_＋_1_＝
(n 为正奇数)．
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3．等比数列的“子数列”的性质
若数列{an}是公比为q的等比数列，则 (1){an}去掉前几项后余下的项仍组成公比为_q_的等比数列； (2)奇数项数列{a2n－1}是公比为_q_2的等比数列； 偶数项数列{a2n}是公比为_q_2的等比数列； (3)在数列{an}中每隔k(k∈N*)取出一项，按原来顺序组成新 数列，则新数列仍为等比数列且公比为qk＋1.
(1)若{an}是公比为q的等比数列，则 ①{c·an}(c是非零常数)是公比为q的等比数列； ②{|an|}是公比为|q|的等比数列；
③数列a1n是公比为q1的等比数列；
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④{anm}(m是整数常数)是公比为qm的等比数列． 特别地，若数列{an}是正项等比数列时，数列{anm}(m是实 数常数)是公比为qm的等比数列．
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∴a12q4(1＋2q2＋q4)＝36，即a12q4(1＋q2)2＝36， ∴a1q2(1＋q2)＝6， ∴a3＋a5＝a1q2＋a1q4＝a1q2(1＋q2)＝6. 法二 ∵a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36， ∴a32＋2a3a5＋a52＝36， ∴(a3＋a5)2＝36，∴a3＋a5＝6. (2)∵a22＝a1a3代入已知，得a23＝8，∴a2＝2. 设前三项为2q，2,2q，则有2q＋2＋2q＝7.
第2课时 等比数列的性质及应用
【课标要求】 1．理解等比数列的性质并能应用． 2．了解等比数列同指数函数间的关系． 3．会用等比数列的性质解题． 【核心扫描】 1．等比数列的性质及应用．(重点) 2．等比数列与等差数列的综合应用．(重点) 3．与函数、方程、不等式等结合命题．(难点)
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a3＝4， a7＝16，
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或aa37＝＝146. ，
∵{an}是递增等比数列，∴a7>a3. ∴取 a3＝4，a7＝16，∴16＝4q4，∴q4＝4. ∴a11＝a7·q4＝16×4＝64.
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(2)由 a3a5＝a24，得 a3a4a5＝a34＝8. 解得 a4＝2. 又因为 a2a6＝a3a5＝a24， 所以 a2a3a4a5a6＝a54＝25＝32.
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：如果等比数列{an}中，m＋n＝2k(m，n，k∈N*)， 那么am·an＝ak2是否成立？反之呢？ 提示：如果等比数列的三项的序号成等差数列，那么对应
的项成等比数列．
事实上，若m＋n＝2k(m，n，k∈N*)， 则am·an＝(a1·qm－1)·(a1·qn－1)＝a12·qm＋n－2＝a12(qk－1)2＝ak2. 在等比数列{an}中，若am·an＝ap·aq＝ak2，不一定有m＋n ＝p＋q＝2k，如非零常数列．
整理，得 2q2－5q＋2＝0，∴q＝2 或 q＝21.
∴ aq＝1＝21，
a1＝4， 或q＝21.
∴an＝2n－1 或 an＝23－n
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在等比数列的有关运算中，常常涉及到 次数较高的指数运算．若按常规解法，往往是建 立a1，q的方程组，这样解起来很麻烦，通过本例 可以看出：结合等比数列的性质进行整体变换， 会起到化繁为简的效果．
由条件得a－d＋a＋a d2＝16， a＋a＋d＝12，
自学导引
1．等比数列的项与序号的关系以及性质
设等比数列{an}的公比为q. (1)两项关系：an＝_a_m_q_n_－_m_(m，n∈N*)． (2)多项关系：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则aman＝_a_p_a_q. (3)若m，n，p(m，n，p∈N*)成等差数列时，am，an，ap成等比数 列． 2．等比数列的项的对称性
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名师点睛
1．等比数列的单调性
(1)当q>1，a1>0或0<q<1，a1<0时，等比数列{an}是递增数列． (2)当q>1，a1<0或0<q<1，a1>0时，等比数列{an}是递减数列． (3)当q＝1时，等比数列{an}是常数列． (4)当q<0时，等比数列{an}是摆动数列． 2．等比数列的运算性质
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题型二 灵活设项求解等比数列
【例2】有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等 比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与 第三个数的和是12，求这四个数． [思路探索] 根据等差数列和等比数列的性质，设出未知 数，结合题中条件求解即可． 解 法一 设四个数依次为 a－d，a，a＋d，a＋ad2，
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【变式1】 (1)在递增等比数列{an}中，a1a9＝64，a3＋a7＝ 20，求a11的值．
(2)已知数列{an}成等比数列．若a3a4a5＝8，求a2a3a4a5a6的 值．
解 (1)在等比数列{an}中， ∵a1·a9＝a3·a7， ∴由已知可得：a3·a7＝64与a3＋a7＝20联立得：