2019·江苏卷(数学) 1.A1[2019·江苏卷] 已知集合A={-1,0,1,6},B={x|x>0,x∈R},则A∩B= . 1.{1,6} [解析] 由题易知A∩B={1,6}.
2.L4[2019·江苏卷] 已知复数(a+2i)(1+i)的实部为0,其中i为虚数单位,则实数a的值是 . 2.2 [解析] (a+2i)(1+i)=a-2+(a+2)i.因为该复数的实部为0,所以a=2.
3.L1[2019·江苏卷] 图1-1是一个算法流程图,则输出的S的值为 .
图1-1 3.5 [解析] 由图可得,x=1,S=0+ = ;x=2,S= +1= ;x=3,S= + =3;x=4,S=3+2=5,退出循环,输出的S的值为5.
4.B1[2019·江苏卷] 函数y= - 的定义域是 . 4.[-1,7] [解析] 由题意可得7+6x-x2≥0,即x2-6x-7≤0,解得-1≤x≤7,故该函数的定义域是[-1,7].
5.I2[2019·江苏卷] 已知一组数据6,7,8,8,9,10,则该组数据的方差是 . 5. [解析] 这组数据的平均数为 =8,所以方差为 = .
6.K2[2019·江苏卷] 从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务,则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是 .
6. [解析] 3名男同学记为A,B,C,2名女同学记为D,E.
基本事件有(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E),共10个,其中至少有1名女同学的基本事件有7个,故所求概率为 .
7.H6[2019·江苏卷] 在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x2- =1(b>0)经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程是 . 7.y=± x [解析] 将(3,4)代入双曲线方程可得b= ,所以该双曲线的渐近线方程是y=± x.
8.D2[2019·江苏卷] 已知数列{an}(n∈N*)是等差数列,Sn是其前n项和.若a2a5+a8=0,S9=27,则S8的值是 . 8.16 [解析] 设数列{an}的公差为d,由S9=9a5=27,得a5=3,从而3a2+a8=0,即3(a5-3d)+(a5+3d)=0,解得d= a5=2,所以S8=S9-a9=S9-(a5+4d)=27-11=16. 9.G7[2019·江苏卷] 如图1-2,长方体ABCD -A1B1C1D1的体积为120,E为CC1的中点,则三棱锥E-BCD的体积是 .
图1-2 9.10 [解析] 因为 三棱锥 - 长方体= 矩形 = · 矩形 · = ,
所以V三棱锥E-BCD= V长方体= ×120=10.
10.E6、H2[2019·江苏卷] 在平面直角坐标系xOy中,P是曲线y=x+ (x>0)上的一个动点,则点P到直线x+y=0的距离的最小值是 . 10.4 [解析] 方法一:由已知可设P ,x>0,
所以点P到直线x+y=0的距离d= = ≥ =4,当且仅当2x= ,即x= 时取等号, 故点P到直线x+y=0的距离的最小值为4. 方法二:作直线x+y=0的平行线x+y+C=0(图略),当直线x+y+C=0与曲线y=x+ (x>0)相切于点P时,点P到直线
x+y=0的距离最小.由 得2x2+Cx+4=0,所以Δ=C2-32=0,解得C=±4 .因为x>0,所以y>0,所以C<0,
则C=-4 ,则所求距离的最小值为 =4. 11.B11[2019·江苏卷] 在平面直角坐标系xOy中,点A在曲线y=ln x上,且该曲线在点A处的切线经过点(-e,-1)(e为自然对数的底数),则点A的坐标是 .
11.(e,1) [解析] 设切点A(x0,ln x0),因为y'=(ln x)'= ,所以该曲线在点A处的切线的斜率k= ,又切线过点(-e,-1),所
以k= = ,即x0ln x0=e,解得x0=e,所以点A的坐标是(e,1).
12.F3[2019·江苏卷] 如图1-3,在△ABC中,D是BC的中点,E在边AB上,BE=2EA,AD与CE交于点O.若
· =6 · ,则 的值是 .
图1-3 12. [解析] 如图所示,过D作DF∥CE,交AB于点F.因为D是BC的中点,所以F是BE的中点. 又BE=2EA,所以EF=EA,所以AO=OD,所以 = = ( + ). 又 = - = - , 所以 · =6 · =6× ( + )· - = - + · , 即 =3 ,所以 = .
13.C5、C6、C7[2019·江苏卷] 已知 =- ,则sin 的值是 . 13. [解析] 由 = - =- ,得3tan2α-5tan α-2=0,解得tan α=2或tan α=- . sin = (sin 2α+cos 2α)= - = -
,
将tan α=2或tan α=- 代入得sin = .
14.B3、B4、B9[2019·江苏卷] 设f(x),g(x)是定义在R上的两个周期函数,f(x)的周期为4,g(x)的周期为2,且f(x)是奇函数.当x∈(0,2]时,f(x)= - - ,g(x)= - 其中k>0.若在区间(0,9]上,关于x的方程f(x)=g(x)有8个不同的实数根,则k的取值范围是 . 14. [解析] 当x∈(0,2]时,y=f(x)= - - 等价于(x-1)2+y2=1(y≥0).结合f(x)是周期为4的奇函数,可作出f(x)在(0,9]上的图像,如图所示.
因为当x∈(1,2]时,g(x)=- ,且g(x)的周期为2, 由图可知,当x∈(1,2]∪(3,4]∪(5,6]∪(7,8]时,f(x)与g(x)的图像有2个交点. 由题知,f(x)与g(x)的图像在区间(0,9]上有8个交点,所以当x∈(0,1]∪(2,3]∪(4,5]∪(6,7]∪(8,9]时,f(x)与g(x)的图像有6个交点. 又当x∈(0,1]时,y=g(x)=k(x+2)表示的直线恒过定点(-2,0),且斜率k>0. 结合g(x)的周期为2及f(x)的图像可知, 当x∈(2,3]∪(6,7]时,f(x)与g(x)的图像无交点, 所以当x∈(0,1]∪(4,5]∪(8,9]时,f(x)与g(x)的图像有6个交点. 由f(x)与g(x)的周期性可知,当x∈(0,1]时,f(x)与g(x)的图像有2个交点. 当线段y=k1(x+2)(00,所以k1= (此时恰有1个交点);当线段y=k2(x+2)(0结合图像分析可知,k的取值范围是 .
15.C8[2019·江苏卷] 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c. (1)若a=3c,b= ,cos B= ,求c的值;
(2)若 = ,求sin 的值. 15.解:(1)因为a=3c,b= ,cos B= , 由余弦定理cos B= - ,得 = - ,即c2= , 所以c= . (2)因为 = , 由正弦定理 = ,得 = ,所以cos B=2sin B. 从而cos2B=(2sin B)2,即cos2B=4(1-cos2B),故cos2B= . 因为sin B>0,所以cos B=2sin B>0,从而cos B= . 因此sinB+ =cos B= . 16.G4、G5[2019·江苏卷] 如图1-4,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为BC,AC的中点,AB=BC. 求证:(1)A1B1∥平面DEC1; (2)BE⊥C1E.
图1-4 16.证明:(1)因为D,E分别为BC,AC的中点, 所以ED∥AB. 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB∥A1B1, 所以A1B1∥ED. 又因为ED⊂平面DEC1,A1B1⊄平面DEC1, 所以A1B1∥平面DEC1. (2)因为AB=BC,E为AC的中点,所以BE⊥AC. 因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以C1C⊥平面ABC. 又因为BE⊂平面ABC,所以C1C⊥BE. 因为C1C⊂平面A1ACC1,AC⊂平面A1ACC1,C1C∩AC=C, 所以BE⊥平面A1ACC1. 因为C1E⊂平面A1ACC1,所以BE⊥C1E.
17.H4、H5[2019·江苏卷] 如图1-5,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C: + =1(a>b>0)的焦点为F1(-1,0),F2(1,0).过F2作x轴的垂线l,在x轴的上方,l与圆F2:(x-1)2+y2=4a2交于点A,与椭圆C交于点D.连接AF1并延长交圆F2于点
B,连接BF2交椭圆C于点E,连接DF1.已知DF1= .
图1-5 (1)求椭圆C的标准方程; (2)求点E的坐标. 17.解:(1)设椭圆C的焦距为2c. 因为F1(-1,0),F2(1,0),所以F1F2=2,c=1.
又因为DF1= ,AF2⊥x轴,所以DF2= - = - = . 因此2a=DF1+DF2=4,从而a=2. 由b2=a2-c2,得b2=3.
因此,椭圆C的标准方程为 + =1.
(2)解法一:由(1)知,椭圆C: + =1,a=2. 因为AF2⊥x轴,所以点A的横坐标为1. 将x=1代入圆F2的方程(x-1)2+y2=16,解得y=±4. 因为点A在x轴上方,所以A(1,4). 又F1(-1,0),所以直线AF1:y=2x+2.
由 - 得5x2+6x-11=0,
解得x=1或x=- . 将x=- 代入y=2x+2,得y=- . 因此B - - ,又F2(1,0),所以直线BF2:y= (x-1).
由 - 得7x2-6x-13=0,解得x=-1或x= . 又因为E是线段BF2与椭圆的交点,所以x=-1. 将x=-1代入y= (x-1),得y=- ,因此E-1,- . 解法二:由(1)知,椭圆C: + =1.如图,连接EF1.