2019 年高考数学试题(含答案)
一、选择题
1．定义运算
a
b
a(a b(a
b) b)
，则函数
f
(x)
1
2x
的图象是（
）．
A．
B．
C．
D．
2．在复平面内， O 为原点，向量 OA 对应的复数为 1 2i ，若点 A 关于直线 y x 的对
称点为点 B ，则向量 OB 对应的复数为( )
A． 2 i
B． 2 i
C．1 2i
D． 1 2i
3．已知向量 a ， b 满足 a 2 ，| b | 1 ，且 b a 2 ，则向量 a 与 b 的夹角的余弦值
为（ ）
A． 2 2
B． 2 3
C． 2 8
D． 2 4
4．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人
所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分 5 钱，甲、乙
C
的极坐标方程为
2
2
3 sin 1
（1）写出点 P 的直角坐标及曲线 C 的普通方程；
x 3 2t
（2）若 Q
为
C
上的动点，求
PQ
中点
M
到直线 l
:
y
2
t
（t
为参数）距离的最小值.
22．已知圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程分别为 ρ=2,ρ2-2 ρcos(θ- )=2.
(1)把圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程化为直角坐标方程. (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程. 23．某公司培训员工某项技能，培训有如下两种方式： 方式一：周一到周五每天培训 1 小时，周日测试 方式二：周六一天培训 4 小时，周日测试
AC，则二面角 P－BC－A 的大小为( )
A． 60
B． 30
C． 45
D．15
8．若干年前，某教师刚退休的月退休金为 6000 元，月退休金各种用途占比统计图如下面
的条形图.该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折
线图.已知目前的月就医费比刚退休时少 100 元，则目前该教师的月退休金为（ ）.
其中正确结论的序号是______．
x y 1 0
17．若 x，y 满足约束条件 2x y 1 0 ，则 z x y 的最小值为______．
x 0
2
18．△ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c .若 b 6, a 2c, B π ，则△ABC 的面 3
积为__________.
A．{0}
B．{1}
C．{1, 2}
D．{0,1, 2}
6．已知平面向量 a , b 是非零向量,| a |=2, a ⊥( a +2 b ),则向量 b 在向量 a 方向上的投影
为( )
A．1
B．-1
C．2
D．-2
7．如图，AB 是圆的直径，PA 垂直于圆所在的平面，C 是圆上一点(不同于 A、B)且 PA＝
2 在甲乙两组中，从第三周培训后达标的员工中采用分层抽样的方法抽取 6 人，再从这
6 人中随机抽取 2 人，求这 2 人中至少有 1 人来自甲组的概率．
24．在直角坐标系 xoy 中以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立坐标系.圆 C1 ，直线 C2 的极
坐标方程分别为
4 sin
,
cos
4
的卡片上相同的数字不是 1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是 5”，则甲的卡片上的
数字是________．
16．如图，正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 1，线段 B1D1 上有两个动点 E, F ，且
EF 2 ，现有如下四个结论： 2
①AC BE ； ②EF / / 平面 ABCD； ③ 三棱锥 A BEF 的体积为定值； ④ 异面直线 AE, BF 所成的角为定值，
2
2. .
（I） 求C1与C2交点的极坐标；
（II）
设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点.已知直线PQ的参数方程为
x t3 a
{ y
b
t3
t
1
R为参数
,
求a,
b的值.
2
25．如图所示，已知正方体 ABCD A1B1C1D1 中， E，F 分别为 D1C1 ， C1B1 的中点，
的渐近线的
距离为 3 c ，则双曲线的渐近线方程为（） 2
A． y 3x
B． y 2x
C． y x
D． y 2x
12．在同一直角坐标系中，函数
y
1 ax
,
y
loga
x
1 2
(a
0
且
a
1)
的图象可能是
（）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
13．在区间[﹣2，4]上随机地取一个数 x，若 x 满足|x|≤m 的概率为 ，则 m=
_________ ．
14．设函数
f
x
log2
log
1 2
x, x 0 (x), x
0
，若 f (a) f (a) ，则实数 a 的取值范围是
__________．
15．有三张卡片，分别写有 1 和 2,1 和 3,2 和 3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了
乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是 2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙
两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五
人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（ ）
A． 5 钱 4
B． 4 钱 3
C． 3 钱 2
D． 5 钱 3
5．已知集合 A {x | x 1 0} ， B {0,1, 2} ，则 A B
公司有多个班组，每个班组 60 人，现任选两组 ( 记为甲组、乙组 ) 先培训；甲组选方式
一，乙组选方式二，并记录每周培训后测试达标的人数如表：
第一周
第二周
第三周
第四周
甲组
20
25
10
5
乙组
8
16
20
16
1 用方式一与方式二进行培训，分别估计员工受训的平均时间 ( 精确到 0.1) ，并据此判断
哪种培训方式效率更高？
19．已知样本数据 ， ， ， 的均值 ，则样本数据
，
，，
的均值为 ．
20．若 4a 5b 100 ，则 2( 1 2) _____________． ab
三、解答题
21．已知平面直角坐标系 xoy .以 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系， P 点的
极坐标为

2
3,
6
，曲线
A．6500 元
B．7000 元
9． sin 47 sin17 cos30
cos17
A． 3 2
B． 1 2
10．函数 y= 2 x sin2x 的图象可能是
C．7500 元
C． 1 2
D．8000 元
D． 3 2
A．
B．
C．
D．
11．已知双曲线 C
：
x2 a2
y2 b2
1 a
0, b
0 的焦距为 2c ，焦点到双曲线 C