2019年高考数学模拟试题及答案一、选择题1．若圆与圆222:680C x y x y m +--+=外切，则m =（ ）A ．21B ．19C ．9D ．-112．若满足sin cos cos A B Ca b c==，则ABC ∆为（ ） A ．等边三角形 B ．有一个内角为30的直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．有一个内角为30的等腰三角形3．在“近似替代”中，函数()f x 在区间1[,]i i x x +上的近似值（ ） A ．只能是左端点的函数值()i f x B ．只能是右端点的函数值1()i f x +C ．可以是该区间内的任一函数值()(i i fξξ∈1[,]i i x x +）D ．以上答案均正确4．在△ABC 中，P 是BC 边中点，角、、A B C 的对边分别是，若0cAC aPA bPB ++=，则△ABC 的形状为（ ）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形但不是等边三角形.5．南北朝时代的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等，如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为12,V V ，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面的面积分别为12,S S ，则“12,S S 总相等”是“12,V V 相等”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－2π<φ<2π)的部分图象如图所示，则ω、φ的值分别是( )A ．2，－3πB ．2，－6π C ．4，－6πD ．4，3π 7．函数()f x 的图象如图所示，()f x '为函数()f x 的导函数，下列数值排序正确是（ ）A ．()()()()02332f f f f ''<<<-B ．()()()()03322f f f f ''<<-<C ．()()()()03232f f f f ''<<<-D ．()()()()03223f f f f ''<-<< 8．已知当m ，[1n ∈-，1)时，33sin sin22mnn m ππ-<-，则以下判断正确的是( )A ．m n >B ．||||m n <C ．m n <D ．m 与n 的大小关系不确定9．下列说法正确的是( ) A ．22a b ac bc >⇒> B ．22a b a b >⇒> C ．33a b a b >⇒>D ．22a b a b >⇒>10．已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩，若函数()y f x ax b =--恰有三个零点，则（ ）A ．1,0a b <-<B ．1,0a b <->C ．1,0a b >-<D ．1,0a b >->11．已知抛物线22(0)y px p =>交双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线于A ，B 两点（异于坐标原点O ），若双曲线的离心率为5，AOB ∆的面积为32，则抛物线的焦点为（ ） A ．(2,0)B ．(4,0)C ．(6,0)D ．(8,0)12．已知a R ∈，则“0a =”是“2()f x x ax =+是偶函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题13．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北的方向上，行驶600m 后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度________ m.14．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________ 件.15．在ABC 中，60A =︒，1b =3sin sin sin a b cA B C ________．16．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2cm ，圆心角为23π的扇形，则此圆锥的高为________cm .17．若x ，y 满足约束条件x y 102x y 10x 0--≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则xz y 2=-+的最小值为______．18．已知圆台的上、下底面都是球O 的截面，若圆台的高为6，上、下底面的半径分别为2，4，则球O 的表面积为__________．19．已知向量a 与b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则|a +2 b |= ______ . 20．设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2…a n 的最大值为 ．三、解答题21．在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0≤α<π）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为244cos 2sin ρρθρθ-=-．(Ⅰ)写出曲线C 的直角坐标方程；(Ⅱ)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且AB 的长度为25，求直线l 的普通方程． 22．十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康.经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民收入也逐年增加.为了更好的制定2019年关于加快提升农民年收入力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2018年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：附：参考数据与公式 6.92 2.63≈，若 ()2~,X Nμσ，则①()0.6827P X μσμσ-<+=；② (22)0.9545P X μσμσ-<+=；③(33)0.9973P X μσμσ-<+=.（1）根据频率分布直方图估计50位农民的年平均收入x （单位：千元）（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）；（2）由频率分布直方图可以认为该贫困地区农民年收入 X 服从正态分布 ()2,N μσ，其中μ近似为年平均收入2,x σ 近似为样本方差2s ，经计算得：2 6.92s =，利用该正态分布，求：（i ）在2019年脱贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元?（ii ）为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1000位农民.若每个农民的年收入相互独立，问：这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有可能是多少?23．设函数22()ln (0)f x a x x ax a =-+>（Ⅰ）求()f x 单调区间（Ⅱ）求所有实数a ，使21()e f x e -≤≤对[1,e]x ∈恒成立 注：e 为自然对数的底数24．（辽宁省葫芦岛市2018年二模）直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为21x tcos y tsin αα=+⎧⎨=+⎩ (t 为参数)，在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为6cos ρθ=.（1）求圆C 的直角坐标方程；（2）设圆C 与直线l 交于点,A B ，若点P 的坐标为()2,1，求PA PB +的最小值. 25．一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a ，b ，c .（Ⅰ）求“抽取的卡片上的数字满足a b c +=”的概率； （Ⅱ）求“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率. 26．商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量(单位：千克)与销售价格(单位：元/千克)满足关系式，其中，为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． (1) 求的值；(2) 若商品的成品为3元/千克, 试确定销售价格的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】试题分析：因为()()22226803425x y x y m x y m +--+=⇒-+-=-,所以250m ->25m ⇒<且圆2C 的圆心为()3,4,25m -根据圆与圆外切的判定(圆心距离等于半径和)可得()()223040125m -+-=-9m ⇒=,故选C.考点：圆与圆之间的外切关系与判断2．C解析：C 【解析】 【分析】由正弦定理结合条件可得tan tan 1B C ==，从而得三角形的三个内角，进而得三角形的形状.【详解】由正弦定理可知sin sin sin A B Ca b c ==，又sin cos cos A B C a b c==， 所以cos sin ,cos sin B B C C ==，有tan tan 1B C ==.所以45B C ==.所以180454590A =--=. 所以ABC ∆为等腰直角三角形. 故选C. 【点睛】本题主要考查了正弦定理解三角形，属于基础题.3．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】根据近似替代的定义，近似值可以是该区间内的任一函数值()(i i f ξξ∈ []1,i i x x +），故选C ．4．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】 解答： 由已知条件得；根据共面向量基本定理得：∴△ABC 为等边三角形。

故答案为：等边三角形。

5．A解析：A 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合祖暅原理进行判断即可. 【详解】根据祖暅原理，当12,S S 总相等时，12,V V 相等，所以充分性成立；当两个完全相同的四棱台，一正一反的放在两个平面之间时，此时体积固然相等但截得的面积未必相等，所以必要性不成立.所以“12,S S 总相等”是“12,V V 相等”的充分不必要条件. 故选：A 【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判断，属于基础题.6．A解析：A 【解析】 【分析】由函数f （x ）＝2sin （ωx+φ）的部分图象，求得T 、ω和φ的值． 【详解】由函数f （x ）＝2sin （ωx+φ）的部分图象知，3T 5π412=-（π3-）3π4=， ∴T 2πω==π，解得ω＝2； 又由函数f （x ）的图象经过（5π12，2）， ∴2＝2sin （25π12⨯+φ）， ∴5π6+φ＝2kππ2+，k∈Z， 即φ＝2kππ3-， 又由π2-＜φπ2＜，则φπ3=-； 综上所述，ω＝2、φπ3=-． 故选A ． 【点睛】本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，是基础题．7．B解析：B 【解析】 【分析】根据导数的几何意义可对比切线斜率得到()()032f f ''<<，将()()32f f -看作过()()22f ,和()()3,3f 的割线的斜率，由图象可得斜率的大小关系，进而得到结果.【详解】由()f x 图象可知，()f x 在2x =处的切线斜率大于在3x =处的切线斜率，且斜率为正，()()032f f ''∴<<，()()()()323232f f f f --=-，()()32f f ∴-可看作过()()22f ,和()()3,3f 的割线的斜率，由图象可知()()()()3322f f f f ''<-<，()()()()03322f f f f ''∴<<-<.故选：B . 【点睛】本题考查导数几何意义的应用，关键是能够将问题转化为切线和割线斜率大小关系的比较，进而根据图象得到结果.8．C解析：C 【解析】 【分析】由函数的增减性及导数的应用得：设3()sin,[1,1]2xf x x x π=+∈-，求得可得()f x 为增函数，又m ，[1n ∈-，1)时，根据条件得()()f m f n <，即可得结果．【详解】解：设3()sin ,[1,1]2xf x x x π=+∈-， 则2()3cos022xf x x ππ'=+>，即3()sin,[1,1]2xf x x x π=+∈-为增函数，又m ，[1n ∈-，1)，33sin sin22mnn m ππ-<-，即33sinsin22mnm n ππ+<+，所以()()f m f n <，所以m n <． 故选：C ． 【点睛】本题考查了函数的增减性及导数的应用，属中档题．9．C解析：C 【解析】 【分析】由不等式的性质，对各个选项逐一验证即可得，其中错误的可举反例． 【详解】选项A ，当c ＝0时，由a ＞b ，不能推出ac 2＞bc 2，故错误； 选项B ，当a ＝﹣1，b ＝﹣2时，显然有a ＞b ，但a 2＜b 2，故错误； 选项C ，当a ＞b 时，必有a 3＞b 3，故正确；选项D ，当a ＝﹣2，b ＝﹣1时，显然有a 2＞b 2，但却有a ＜b ，故错误． 故选：C ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及不等式的性质，属基础题．10．C解析：C 【解析】 【分析】当0x <时，()(1)y f x ax b x ax b a x b =--=--=--最多一个零点；当0x 时，32321111()(1)(1)3232y f x ax b x a x ax ax b x a x b =--=-++--=-+-，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画函数草图，根据草图可得． 【详解】当0x <时，()(1)0y f x ax b x ax b a x b =--=--=--=，得1bx a=-；()y f x ax b =--最多一个零点；当0x 时，32321111()(1)(1)3232y f x ax b x a x ax ax b x a x b =--=-++--=-+-， 2(1)y x a x =+-'，当10a +，即1a -时，0y '，()y f x ax b =--在[0，)+∞上递增，()y f x ax b =--最多一个零点．不合题意；当10a +>，即1a >-时，令0y '>得[1x a ∈+，)+∞，函数递增，令0y '<得[0x ∈，1)a +，函数递减；函数最多有2个零点；根据题意函数()y f x ax b =--恰有3个零点⇔函数()y f x ax b =--在(,0)-∞上有一个零点，在[0，)+∞上有2个零点， 如图：∴01b a <-且3211(1)(1)(1)032b a a a b ->⎧⎪⎨+-++-<⎪⎩，解得0b <，10a ->，310(116,)b a a >>-+∴>-． 故选C ．【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.由于方程中涉及,a b 两个参数，故按“一元化”想法，逐步分类讨论，这一过程中有可能分类不全面、不彻底.11．B解析：B 【解析】 【分析】由题意可得2ba=，设点A 位于第一象限，且(),A m n ，结合图形的对称性列出方程组确定p 的值即可确定焦点坐标. 【详解】2222222215c a b b e a a a+===+=，∴2b a =， 设点A 位于第一象限，且(),A m n ，结合图形的对称性可得：22322nm mn n pm ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，解得：8p =，∴抛物线的焦点为()4,0，故选B . 【点睛】本题主要考查圆锥曲线的对称性，双曲线的渐近线，抛物线焦点坐标的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12．C解析：C 【解析】因为()2f x x ax =+是偶函数，所以22()()20f x x ax f x x ax ax -=-==+∴=所以0a =.所以“0a =”是“()2f x x ax =+是偶函数”的充要条件.故选C.二、填空题13．1006【解析】试题分析:由题设可知在中由此可得由正弦定理可得解之得又因为所以应填1006考点：正弦定理及运用 解析：【解析】试题分析:由题设可知在中,,由此可得,由正弦定理可得,解之得,又因为,所以,应填.考点：正弦定理及运用．14．18【解析】应从丙种型号的产品中抽取件故答案为18点睛:在分层抽样的过程中为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比即ni解析：18 【解析】应从丙种型号的产品中抽取30060181000⨯=件，故答案为18． 点睛:在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即n i ∶N i ＝n ∶N ．15．【解析】【分析】由已知利用三角形面积公式可求c 进而利用余弦定理可求a 的值根据正弦定理即可计算求解【详解】面积为解得由余弦定理可得：所以故答案为：【点睛】本题主要考查了三角形面积公式余弦定理正弦定理在 解析：2393【解析】 【分析】由已知利用三角形面积公式可求c ，进而利用余弦定理可求a 的值，根据正弦定理即可计算求解. 【详解】60A =︒，1b =31133sin 122bc A c ∴==⨯⨯⨯, 解得4c =，由余弦定理可得：2212cos 116214132a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=， 所以13239sin sin sin sin 332a b ca A B CA,故答案为：239【点睛】本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.16．【解析】【分析】设此圆的底面半径为高为母线为根据底面圆周长等于展开扇形的弧长建立关系式解出再根据勾股定理得即得此圆锥高的值【详解】设此圆的底面半径为高为母线为因为圆锥的侧面展开图是一个半径为圆心角为 解析：423【解析】 【分析】设此圆的底面半径为r ，高为h ，母线为l ，根据底面圆周长等于展开扇形的弧长，建立关系式解出r ，再根据勾股定理得22h l r =- ，即得此圆锥高的值． 【详解】设此圆的底面半径为r ，高为h ，母线为l ，因为圆锥的侧面展开图是一个半径为2cm ，圆心角为23π的扇形, 所以2l =，得24233r l πππ=⨯= ,解之得23r =， 因此,此圆锥的高2222242cm 332h l r ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，故答案为:23．本题给出圆锥的侧面展开图扇形的半径和圆心角，求圆锥高的大小，着重考查了圆锥的定义与性质和旋转体侧面展开等知识，属于基础题．17．-1【解析】【分析】画出约束条件表示的平面区域由图形求出最优解再计算目标函数的最小值【详解】画出约束条件表示的平面区域如图所示由图形知当目标函数过点A时取得最小值由解得代入计算所以的最小值为故答案为解析：-1【解析】【分析】画出约束条件表示的平面区域，由图形求出最优解，再计算目标函数1z x y2=-+的最小值．【详解】画出约束条件10210x yx yx--≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩表示的平面区域如图所示，由图形知，当目标函数1z x y2=-+过点A时取得最小值，由{x0x y10=--=，解得()A0,1-，代入计算()z011=+-=-，所以1z x y2=-+的最小值为1-．故答案为1-．【点睛】本题考查了线性规划的应用问题，也考查了数形结合的解题方法，是基础题．18．【解析】【分析】本道题结合半径这一条件利用勾股定理建立等式计算半径即可【详解】设球半径为R球心O到上表面距离为x则球心到下表面距离为6-x结合勾股定理建立等式解得所以半径因而表面积【点睛】本道题考查解析：80π【解析】本道题结合半径这一条件，利用勾股定理，建立等式，计算半径，即可。