A sin U 0
， arctan
ω0
，0，间的关系:
sin 0
0 A U0

δ
ω
duC U 0 t i C e sin t dt L
uL L
0 uC U 0e t sin( t )
di 0 U 0e t sin( t ) dt
整理得 解答形式为
di 2( 2 i ) 2i1 6 i1dt 2i dt
d2i di 8 12i 12 2 dt dt
二阶非齐次常微分方程
i i i
第二步，求通解 i ： p2 8 p 12 0 特征根为 p1= 2 ，p2 = 6
临界阻尼 （critically damped case） 欠阻尼 （under damped case）
L R2 C
(一) R 2
L C
不等的实根 p1，p2 解答形式为 L
S uC + C i
R
uC A1e p1t A2e p2t
uC (0 ) uC (0 )U 0 duC C i (0 ) i (0 )0 dt t 0
(natural frequency) 解答形式
uC Ae
t
sin(t )
其中A ， 为待定系数。
由起始始值
uC (0 ) U 0 duC i (0 ) C dt
0
t 0
定系数。
A( )sin A cos 0
解得
U0 A sin
d 2 u1 3 K du1 1 ( ) 2 2 0 2 dt RC dt R C
d 2 u1 3 K du1 1 ( ) 2 2 0 2 dt RC dt R C
其特征方程为
3 K 1 p p征根为
3 K 3 K 2 1 2 p ( ) ( ) 2 RC 2 RC RC
第 8章
本章重点
二阶电路
8. 1 二阶电路的零输入响应 8. 2 二阶电路的零状态响应和全响应 8.3 一个线性含受控源电路的分析
本章重点
二阶电路方程的列写
特征根与解的形式的关系 二阶电路的零输入响应, 零状态响应和全响应
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8.1
二阶电路的零输入响应
二阶电路（second-order circuits）: 用二阶微分方程描述的电路。 RLC串联电路的放电过程。 已知： uC(0)=U0 i(0)=0 S 求换路后 uC，i ， uL 。 i R 2 + d uC duC uC C L LC RC uC 0 由KVL得 dt dt 二阶常系数齐次微分方程 uC Ae pt 代人微分方程得 特征方程 特征根
定性画曲线
0 （1）uC 是 其 振 幅 以 U 0为 包 络 线 依 指 数 衰 减 正 的弦 函 数 。 t=0时 uC=U0
uC零点：t = -，2- ... n- uC极值点：t =0， ，2 ... n
uC, i U0
uC
i
0 U 0e t d
临界阻尼情况
uC US A1e t A2te t ( p1 p2 )
欠阻尼情况
uC US Aet sin(t ) ( p1,2 j )
uC (0 ) 由初值 duC dt t 0
可确定二个待定系数
uC的变化曲线为 uC US 过阻尼（临界阻尼） 0 t 欠阻尼
R
L
-C
uC
+ -C
R L
储能释放完毕， 过渡过程结束。
L (二) R 2 C
p1,2 R R 1 ( )2 ＝－ j 2L 2L LC
特征根为一对共轭复根
0
1 LC
R 令 （衰减系数） 2L (damping factor)
则

2 0 2
（ 自然频率）
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8.3
一个线性含受控源电路的分析
含受控源的RC电路如图所示。
R
C A i1 u1 i3
讨论K取不同值时响应的 零输入响应。 + + + 以u1为变量列写电路方程。
u2
R
i2
C
-
Ku1
-
节点A列写KCL方程： u1 du1 i1 C R dt
由KVL有 两边微分整理得
u1 du1 u1 du1 1 R( C ) ( C )dt u2 u1 R dt C R dt
定性画 i ，uL 的曲线： uC, i, uL U0 uL i 0 uC 2tm
tm
t
（1）t = 0时 i=0 ， t = 时 i =0； i 始终为正，t = tm 时i 最大。
（2） 0< t < tm ，i 增加 ，uL > 0； t > tm ， i 减小，uL < 0
t 0， uL U0 ，t ，uL 0 ；t =2 tm时 uL 最小。
解
（1）由换路前电路求得 iL(0 )=5A uC(0 )=25V
（2）列写换路后电路的微分方程
d 2 uC duC LC RC uC 0 2 dt dt
（3）解微分方程 , 其特征方程为 50p2+2500p+106=0 特征根为 解答形式为
p 25 j139
uC Ae 25 t sin( 139t )
p2 A U0 1 p2 p1 A2 p1 U 0 p2 p1
起始值
由起始值定积分常数有
A1 A2 U 0
p1 A1 p2 A2 0
解得
则
U0 p1t p 2t uC ( p2e p1e ) p2 p1
（作图时假设 |p2| > |p1|）
2
0


2
t
0 U 0e t d
（2） i 零点：t =0，，2
... n
， i 极值点为uL零点。
uL零点：t = ，+，2+ ... n+
uC, i U0
uC
i
0 U 0e t d
2
0


2
t
0 U 0e t d
（4） 由初值定待定系数
uC ( 0 ) 25 duC C 5 dt
A sin 25 A139cos A25sin 5 10 4
A 355
则
， 176o
uC 355e25t sin(139t 176o )V (t 0)
uC的变化曲线为
uC U0
p2U 0 p1t e p2 p1
uC
0

p1U 0 e p2 t p2 p1
t
由uC求得
duC U0 i C (e p1t e p2 t ) dt L( p2 p1 )
U0 di uL L ( p1e P1t p2e P2t ) dt ( p2 p1 )
由uL=0时计算出 tm ：
U0 uL ( p1e P1t p2e P2 t ) 0 ( p2 p1 )
( p1 e p1t p2 e p2t ) 0
p2 ln p1 tm p1 p2
p2 p1 t p1 p2 2 ln
p2 e p2 t m p1 e
二、二阶电路的全响应 举例说明。 0.5u1
电路如图所示。
2A S 2 i1 1/6F + 1H u1 2 - 2-i 2 i 求电流 i 的零状态响应。
uC (0 ) 0 i L (0 ) 0
解 第一步，列写微分方程： i1= i 0.5 u1 =i 0.5(2 i)2 = 2i 2 由KCL 由KVL
可推广应用于一般二阶电路。
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8.2
二阶电路的零状态响应和全响应
一、零状态响应 以RLC串联电路为例。 S R iL C L
已知 uC(0-)=0 ， i (0-)=0 + uC 微分方程为
US
+ t=0
解答为
uC uC uC
d 2 uC duC LC RC uC U S dt dt 二阶常系数非齐次微分方程
1 LC
，

2
uC U 0 sin( t 90o ) uL U0 i sint L
等幅振荡。
0
t
+ uC -C 能量转换
L
例1
20Ω +
50V -
iL + 0.5H 100F uC 10Ω 10Ω
已知如图，t = 0时打开开关S 。 5Ω 求uC ，并画出其变化曲线 。 S
p1 t m
解得
由duL/dt可确定uL为极小时的 t
2 p1t 2 p2t ( p1 e p2 e )0
解得
t 2tm
能量转换关系
uC, i, uL U0 uL i uC 2tm
0
tm
t
0 < t < tm uC 减小，i 增加。 t > tm uC 减小 ，i 减小。 电容放出储能，电感 电容、电感均放出储能, 储能，电阻消耗能量。 电阻消耗能量。 uC +
能量转换关系 0 < t < uC -C + R +
< t < -
uC L -C R L
- < t < uC -C + R L