第二部分 导数、微分及其导数的应用知识汇总一、求导数方法1.利用定义求导数2.导数的四则运算法则3.复合函数的求导法则若)(u f y =与)(x u φ=均可导，则[])(x f y φ=也可导，且dxdudu dy dx dy ⋅= 即 [])()(x x f y φφ'⋅'=' 4.反函数的求导法则若)(x f y =与)(y x φ=互为反函数，且)(y φ单调、可导，则)(1)(y x f φ'='，即dydxdx dy 1=5.隐函数求导法求由方程0),(=y x F 确定的隐函数 )(x f y =的导数dxdy。

只需将方程0),(=y x F 两边同时对x 求导（注意其中变量y 是x 的函数），然后解出dxdy即可。

6.对数求导法对数求导法是先取对数，然后按隐函数求导数的方法来求导数。

对数求导法主要解决两类函数的求导数问题：(1)幂指数函数y=)()(x v x u ；(2)由若干个因子的乘积或商的显函数，如y=34)3(52)2)(1(---++x x x x x ,3)2)(53()32)(1(--+-=x x x x y ,55225+-=x x y 等等。

7.由参数方程所确定函数的求导法则设由参数方程⎩⎨⎧==)()(t y t x ϕφ ),(βα∈t 确定的函数为y=f(x)，其中)(),(t t ϕφ可导，且)(t φ'≠0，则y=f(x)可导，且dtdxdt dyt t dx dy =''=)()(φϕ 8.求高阶导数的方法二、求导数公式1.基本初等函数求导公式(1) 0)(='C (2) 1)(-='μμμx x(3) x x cos )(sin ='(4) x x sin )(cos -='(5)x x 2sec )(tan =' (6)x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec ='(8) x x x cot csc )(csc -='(9)a a a xx ln )(=' (10) (e )e xx '=(11)a x x a ln 1)(log ='(12)x x 1)(ln ='，(13)211)(arcsin x x -=' (14)211)(arccos x x --=' (15)21(arctan )1x x '=+(16)21(arccot )1x x '=-+2.常见函数的高阶导数 (1) n n x n x -+-⋅-⋅-⋅=αααααα)1()2()1()()((2) x n x e e =)()( (3) ()()ln x n x n a a a =(4) ()(sin )sin 2n x x n π⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭ (5) ⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=2cos )(cos )(πn x x n(6) ()1(1)!ln()(1)()n n n n a x a x --+=-+ (7) 1)()(!)1()1(++-=+n nn n b ax a n b ax3.两个函数乘积的n 阶导数公式(莱布尼兹公式)()()()()(0)(1)'(2)''(1)()2!nn k n k k n n n n k n n u v C u v u v nu v u v ---=-⋅==+++∑()()(0)()(1)(1)!n k k n n n n k u v u v k ---++++三、微分在近似计算中的应用1.微分可以用来求函数在某点的近似值：当|Δx|很小时， f (x 0+Δx)≈f (x 0)+f '(x 0)Δx 2.微分可以用来求函数增量的近似值当|Δx|很小时，Δy≈dy=f '(x 0)Δx 3.微分可以用来求函数的近似公式当|x|很小时，特别当时, 有近似公式常用的近似公式有sinx ≈x (x 以弧度为单位)，tanx ≈x ，ln(1+x) ≈x ，e x ≈1+x ，(1+x)n≈1+nx四、导数的应用1.函数单调性的判别法设],[)(b a C x f ∈且在),(b a 内可导，（1）若在),(b a 内0)(>'x f ，则)(x f 在],[b a 上单调递增； （2）若在),(b a 内0)(<'x f ，则)(x f 在],[b a 上单调递减.∆说明：闭区间换成其他各种区间（包括无穷区间）结论仍成立.2.函数取极值的充分条件第一充分条件：设函数设)(x f 在)(0x U 内可导且0)(0='x f （或)(x f 在)(0x U内 可导且在0x 处连续），（1）若在)(0x U 内，当0x x <时，0)(>'x f ；当0x x >时，0)(<'x f ，则)(x f 在0x处取得极大值)(0x f ；（2）若在)(0x U 内，当0x x <时，0)(<'x f ；当0x x >时，0)(>'x f ，则)(x f 在0x 处取得极小值)(0x f ；（3）若在)(0x U 内，)(x f '在0x 的左右同号，那么0x 不是)(x f 的极值点. 3.曲线凹凸性的判定法设函数)(x f y =在区间),(b a 内二阶可导，（1）若在),(b a 内0)(">x f ，则曲线)(x f y =在],[b a 上是凹的． （2）若在),(b a 内0)("<x f ，则曲线)(x f y =在],[b a 上是凸的．案例分析一、利用导数定义计算若干问题1.利用导数定义求极限 如果)(/x f 存在)()()(lim/0x f x f x f =-+⇔→口口口注意：分子中的“口”和分母中的“口”应一致，且符号也相同 例1设)(x f 在0x 点可导，求下列极限 （1）hh x f h x f h 2)2()2(lim000--+→（2）已知x x cos )'(sin =，利用导数定义求极限xx x 1)2πsin(lim 0-+→解：（1）00000000(2)(2)(2)()[(2)()]lim lim 22h h f x h f x h f x h f x f x h f x h h→→+--+----=000000(2)()(2)()lim lim 22h h f x h f x f x h f x h h→→+---=+- 000()()2()f x f x f x '''=+=（2）x x x 1)2πsin(lim 0-+→=x x x 2sin)2πsin(lim 0π-+→=2π|)'(sin =x x = 2πcos =0 2.利用导数定义求函数的导数例2 (1) 设2//))(())(()(a x x f a x a f x -+-=ϕ，求)(//a ϕ解：由于)()(2))(()()(2////x f a x a x x f a f x -+-+=ϕ，则)()(///a f a =ϕ 故)](2))(([lim )()(lim)(/////x f a x x f ax a x a ax ax +-=--=→→ϕϕϕ因为)(x f 在a x =处二阶可导，故)(x f 、)(/x f 在a x =处连续，即)()(lim a f x f ax =→、)()(lim //a f x f ax =→所以)(2)(//a f a =ϕ注意：函数)(x ϕ仅在a x =处存在二阶导数，故求)(//a ϕ时不能直接利用求导公式。

（2）设周期函数)(x f 的周期为5，)(x f 可导，如12)2()2(lim=--→xx f f x ，求曲线)(x f y =在点))3(,3(--f 处的切线方程。

解：因为函数)(x f 的周期为5，故)3()53()2(-=+-=f f f )3()53()2(x f x f x f --=+--=-而 12)3()3(lim 2)2()2(lim00=-----=--→→xf x f x x f f x x 故2)3()3(lim 0=-----→x f x f x ，即2)3()3(lim )3(0/=-----=-→xf x f f x 所以)(x f y =在点))3(,3(--f 处的切线为)3(2)3(+=--x f y（3）设))((sin )(x f x F ϕ=，b a f ===)0(,0)0(,)0(//ϕϕ，求)0(/F 解：xf x f x F x F F x x ))0((sin ))((sin lim 0)0()(lim)0(00/ϕϕ-=--=→→xx x x x f x f x )()()(sin )(sin )0())((sin limϕϕϕϕϕ⋅⋅-=→ab f x x f x =⋅=--⋅=→)0()0(0)0()(lim)0(//0/ϕϕϕ3.求含有绝对值的函数和分段函数的导数 分析: 含有绝对值的函数可转化为分段函数⎪⎩⎪⎨⎧=)()(x g A x f y a x a x ax <=>分析:（1）当x>a )(//x f y = 当x<a )(//x g y = （2）当x=a a x A x f a y ax --=+→+)(lim)(/ax A x g a y a x --=-→-)(lim )(/（3）如B a y a y ==-+)()(//则)(/a y 存在,且)(/a y =B.否则)(/a y 不存在 （4）写出/y 的解析式例3设)}(),({max )(2111x f x f x x <<-=ϕ，其中1)(1+=x x f ，22)1()(+=x x f ，求)(/x ϕ解：当01≤<-x 时，2)1(1+≥+x x ；当10<<x 时，2)1(1+<+x x ，故⎩⎨⎧<<+≤<-+=10)1(011)(2x x x x x ϕ 0(1)1(0)lim 10x x x ϕ--→+-'==- 20(1)1(0)lim 20x x x ϕ++→+-'==- 因为(0)(0)ϕϕ-+''≠，故)0(/ϕ不存在，即 ⎩⎨⎧<<+<<-=1022011)(/x x x x ϕ4.分段函数在分段点处的导数存在,求待定系数 已知⎩⎨⎧=)()()(x g x f x y ax ax <≥在a x =处可导,求)(x y 中的待定系数分析：（1）)(x y 在a x =处可导,则在a x =处连续,即)()(lim )(lim a f x g x f ax ax ==-→+→﹡（2）求a x a f x f a y ax --=+→+)()(lim)(/,ax a f x g a y a x --=-→-)()(lim )(/,而)()(//a y a y -+= ﹟（3）由﹡和﹟,求待定系数例4已知⎩⎨⎧+=b ax e x y x )( 0≥<x x 在0=x 处可导, 求a,b5.求分段函数的导数,并会讨论导数在分段点处的连续性函数⎪⎩⎪⎨⎧=)()()(x g A x f x y a x a x a x <=>,求)(/x y ,并讨论)(/x y 的连续性分析:（1）先求)(/x y (见求导数部分) （2）然后讨论)(/x y 在定义域内的连续性例5设2, 0()ln(1), 0ax bx c x f x x x ⎧++<=⎨+≥⎩ 问如何选取a ,b ,c 才能使f (x )处处具有一阶连续导数，但在x =0处却不存在二阶导数。