专题03 导数及其应用易错点1 不能正确识别图象与平均变化率的关系A ，B 两机关单位开展节能活动，活动开始后两机关的用电量()()12W t W t ,与时间t (天)的关系如图所示，则一定有A ．两机关单位节能效果一样好B ．A 机关单位比B 机关单位节能效果好C ．A 机关单位的用电量在0[0]t ,上的平均变化率比B 机关单位的用电量在0[0]t ,上的平均变化率大D ．A 机关单位与B 机关单位自节能以来用电量总是一样大 【错解】选C.因为在(0，t 0)上，()1W t 的图象比()2W t 的图象陡峭，所以在(0，t 0)上用电量的平均变化率，A 机关单位比B 机关单位大．【错因分析】识图时，一定要结合题意弄清图形所反映的量之间的关系，特别是单调性，增长(减少)的快慢等要弄清．【试题解析】由题可知，A 机关单位所对应的图象比较陡峭，B 机关单位所对应的图象比较平缓，且用电量在0[0]t ,上的平均变化率都小于0，故一定有A 机关单位比B 机关单位节能效果好．故选B. 【参考答案】B1．平均变化率函数()y f x =从1x 到2x 的平均变化率为2121()()f x f x x x --，若21x x x ∆=-，2()y f x ∆=-1()f x ，则平均变化率可表示为y x∆∆. 2．瞬时速度一般地，如果物体的运动规律可以用函数()s s t =来描述，那么，物体在时刻t 的瞬时速度v 就是物体在t 到t t +∆这段时间内，当t ∆无限趋近于0时，st∆∆无限趋近的常数.1．巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图．同样是登山，但是从A 处到B 处会感觉比较轻松，而从B 处到C 处会感觉比较吃力．想想看，为什么？你能用数学语言来量化BC 段曲线的陡峭程度吗？【答案】见解析.【解析】山路从A 到B 高度的平均变化率为h AB ＝10015005-=-，山路从B 到C 高度的平均变化率为h BC ＝1510170504-=-，∴h BC >h AB ，∴山路从B 到C 比从A 到B 要陡峭的多．易错点2 求切线时混淆“某点处”和“过某点”若经过点P (2,8)作曲线3y x =的切线，则切线方程为A ．12160x y --=B ．320x y -+=C ．12160x y -+=或320x y --=D ．12160x y --=或320x y -+=【错解】设()3f x x =，由定义得f ′(2)=12，∴所求切线方程为()8122y x -=-，即12160x y --=.【错因分析】曲线过点P 的切线与在点P 处的切线不同．求曲线过点P 的切线时，应注意检验点P 是否在曲线上，若点P 在曲线上，应分P 为切点和P 不是切点讨论．【试题解析】①易知P 点在曲线3y x =上，当P 点为切点时，由上面解法知切线方程为12160x y --=.②当P 点不是切点时，设切点为A (x 0，y 0)，由定义可求得切线的斜率为203k x =.∵A 在曲线上，∴300y x=，∴32000832x x x -=-，∴3200340x x -+=， ∴()()200120x x +-=，解得01x =-或x 0=2(舍去)，∴01y =-，k =3，此时切线方程为y +1=3(x +1)，即320x y -+=.故经过点P 的曲线的切线有两条，方程为12160x y --=或320x y -+=. 【参考答案】D1．导数的几何意义函数()y f x =在0x x =处的导数0()f x '就是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率k . 2．曲线的切线的求法若已知曲线过点00(),P x y ，求曲线过点P 的切线，则需分点P (x 0，y 0)是切点和不是切点两种情况求解： （1）当点00(),P x y 是切点时，切线方程为()000()y y f x x x '-=-； （2）当点00(),P x y 不是切点时，可分以下几步完成： 第一步：设出切点坐标P ′(x 1，f (x 1))；第二步：写出过()11()P x f x '，的切线方程为()()()111 y f x f x x x -='-； 第三步：将点P 的坐标(x 0，y 0)代入切线方程求出x 1；第四步：将x 1的值代入方程()()()111 y f x f x x x -='-，可得过点00(),P x y 的切线方程．2．已知函数0()(2018ln ),()2019f x x x f 'x =+=，则0x = A ．2e B ．1C ．ln 2018D ．e【答案】B 【解析】()(2018ln ),f x x x =+()2018ln 12019ln f 'x x x ∴=++=+，又因为0()2019f 'x =， 所以02019ln 2019x +=， 解得01x =，故选B.【名师点睛】本题主要考查导数的运算法则以及初等函数的求导公式，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.在求曲线()y f x =的切线方程时，要注意区分是求某点处的切线方程，还是求过某点（不在曲线()f x 上）的切线方程，前者的切线方程为()()()000y f x f x x x -='-，其中切点()()00,x f x ，后者一般先设出切点坐标，再求解.易错点3 不能准确把握导数公式和运算法则求下列函数的导数：（1）22()2f x a ax x =+-； （2）sin ()ln x xf x x=.【错解】（1）22()(2)22f x a ax x a x ''=+-=+； （2）2sin (sin )sin cos ()()sin cos 1ln (ln )x x x x x x xf x x x x x x x x'+''====+'.【错因分析】（1）求导是对自变量求导，要分清表达式中的自变量.本题中的自变量是x ，a 是常量；（2）商的求导法则是：分母平方作分母，分子是差的形式，等于分子的导数乘以分母的积减去分母的导数乘以分子的积.本题把分数的导数类同于分数的乘方运算了. 【试题解析】（1）22()(2)22f x a ax x a x ''=+-=-； （2）22sin (sin )ln sin (ln )sin ln cos ln sin ()()ln (ln )ln x x x x x x x x x x x x x xf x x x x''⋅-⋅+-''===. 【参考答案】（1）()22f x a x '=-；（2）2sin ln cos ln sin ()ln x x x x x xf x x+-'=.1．导数计算的原则先化简解析式，使之变成能用八个求导公式求导的函数的和、差、积、商，再求导． 2．导数计算的方法①连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；②分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导； ③对数形式：先化为和、差的形式，再求导； ④根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；⑤三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；3．已知()f x =1()2f '=A ．2ln2--B ．2ln2-+C ．2ln2-D ．2ln2+【答案】D【解析】依题意有()()121122ln 22x x x f x x-⋅⋅⋅'=，故12ln22ln221f +⎛⎫=⎪⎭'=+ ⎝，所以选D. 【名师点睛】本小题主要考查基本初等函数的导数，考查复合函数的导数计算，考查函数除法的导数计算，属于中档题.易错点4 区分复合函数的构成特征求下列函数的导数：（1）()221y x =+； （2）22cos y x =. 【错解】（1）()221y x '=+； （2）2sin2xy =-. 【错因分析】这是复合函数的导数，若()(),y f u u h x ==，则x u x y y u '='⋅'.如（1）中，22,1y u u x ==+，()()222221241x y u x x x x x '=⋅=+⋅=+，遇到这种类型的函数求导，可先整理再求导，或用复合函数求导公式求导．【试题解析】解法一：（1）∵()2242121y x x x =+=++，∴344y x x '=+.（2）∵221cos cos 2x y x +==，∴1sin 2y x '=-. 解法二：（1）()()()22221141y x x x x '=+⋅+'=+．（2）12coscos 2cos sin sin 2222()()(22)x x x x x y x '=⋅'=⋅-⋅'=-. 【参考答案】（1）()241y x x '=+；（2）1sin 2y x '=-.1．求复合函数的导数的关键环节： ①中间变量的选择应是基本函数结构； ②正确分析出复合过程；③一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导； ④善于把一部分表达式作为一个整体； ⑤最后结果要把中间变量换成自变量的函数. 2．求复合函数的导数的方法步骤：①分解复合函数为基本初等函数，适当选择中间变量； ②求每一层基本初等函数的导数；③每层函数求导后，需把中间变量转化为自变量的函数.4⎛ ⎝⎭处的切线方程是__________．【答案】20x y -=【解析】πcos 3y x '⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以斜率为π1cos 032⎛⎫+= ⎪⎝⎭，切线方程为1,20.2y x x y =-+= 易错点5 审题不细致误设函数()2ln af x ax x x=--. （1）若()20f '=，求函数()f x 的单调区间；（2）若()f x 在定义域上是增函数，求实数a 的取值范围． 【错解】（1）∵()22a f x a x x '=+-，∴()2104a f a '=+-=，∴45a =. ∴()()2224422252555f x x x x x x'=+-=-+， 令()0f x '>，得2x >或12x <，令()0f x '<，得122x <<，∴函数()f x 的单调递增区间为122()()-∞+∞，，，单调递减区间为1()22，．（2）∵()f x 在定义域上为增函数，∴()0f x '≥恒成立，∵()22222a ax x af x a x x x-+'=+-=，∴220ax x a -+≥恒成立， ∴2440a a >⎧⎨∆=-≤⎩，∴1a ≥，即实数a 的取值范围是[1,)+∞. 【错因分析】错解有多处错误：一是忽视了定义域的限制作用，研究函数一定要注意函数的定义域；二是将单调区间取并集，函数的单调区间不要随意取并集；三是对不等式恒成立处理不当，对于自变量取值有限制条件的恒成立问题要和自变量在R 上取值的恒成立问题加以区分． 【试题解析】（1）由已知得x >0，故函数()f x 的定义域为(0，+∞)．∵()22a f x a x x '=+-， ∴()2104af a '=+-=，∴45a =.∴()()2224422252555f x x x x x x'=+-=-+，令()0f x '>，得2x >或12x <，令()0f x '<，得122x <<，∴函数()f x 的单调递增区间为()102)2(+∞,,,，单调递减区间为1()22，．（2）若()f x 在定义域上是增函数，则()0f x '≥对x >0恒成立，∵()22222a ax x af x a x x x -+'=+-=，∴需x >0时220ax x a -+≥恒成立，即221xa x ≥+对x >0恒成立． ∵222111x x x x=≤++，当且仅当x =1时取等号， ∴1a ≥，即实数a 的取值范围是[1,)+∞.【参考答案】（1）函数()f x 的单调递增区间为()102)2(+∞,,,，单调递减区间为1()22，；（2）[1,)+∞.用导数求函数()f x 的单调区间的“三个方法”：1．当不等式()0f x '>(或()0f x '<)可解时， ①确定函数()y f x =的定义域； ②求导数()y f x '='；③解不等式()0f x '>，解集在定义域内的部分为单调递增区间； ④解不等式()0f x '<，解集在定义域内的部分为单调递减区间． 2．当方程()0f x '=可解时， ①确定函数()y f x =的定义域；②求导数()y f x '='，令()0f x '=，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；③把函数()f x 的间断点(即()f x 的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数()f x 的定义区间分成若干个小区间；④确定()f x '在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性． 3．当不等式()0f x '>(或()0f x '<)及方程()0f x '=均不可解时， ①确定函数()y f x =的定义域；②求导数并化简，根据()f x '的结构特征，选择相应基本初等函数，利用其图象与性质确定()f x '的符号； ③得单调区间．5．已知函数()322f x x ax b x =+-，其中,a b ∈R .（1）若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线30y -=平行，求a 与b 满足的关系； （2）当0b =时，讨论()f x 的单调性；（3）当0,1a b ==时，对任意的()0,x ∈+∞，总有()()e xf x x k <+成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）2320a b +-=；（2）①当0a =时，()f x 在R 上单调递增；②当0a >时，()f x 在2,3a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭和()0,+∞上单调递增；在2,03a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减；当0a <时，函数()f x 在(),0-∞和2,3a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；在20,3a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减；（3）[)2,-+∞. 【解析】（1）由题意，得22()32f 'x x ax b =+-.由函数()f x 在点()()1,1f 处的切线与30y -=平行，得(1)0f '=. 即2320a b +-=.（2）当0b =时，2()32f 'x x ax =+，由()0f 'x =知240a ∆=≥.① 当0a =时，0∆=，()0f 'x ≥在R 恒成立， ∴函数()f x 在R 上单调递增.②当0a >时，由()0f 'x >，解得0x >或23x a <-； 由()0f 'x <，解得203a x -<<. 函数()f x 在2,3a ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭和()0,+∞上单调递增；在2,03a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减. ③当0a <时，()0f 'x >，解得23x a >-或0x <； 由()0f 'x <，解得203x a <<-. 函数()f x 在(),0-∞和2,3a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；在20,3a ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减. （3）当0,1a b ==时，3()f x x x =-，由()()e xf x x k <+，得()3e xx x x k -<+对任意的()0,x ∈+∞恒成立.0x ，21e x x k ∴-<+，21e x k x ∴>--在()0,x ∈+∞恒成立.设()()21e ,0xg x x x =-->，则()2e xg'x x =-，令()2e xh x x =-，则()2e xh'x =-，由()0h'x =，解得ln2x =. 由()0h'x >，解得0ln2x <<； 由()0h'x <，解得ln2x >.∴导函数()g'x 在区间()0,ln2上单调递增；在区间()ln2,+∞上单调递减，()()ln22ln220g'x g'∴≤=-<，∴()g x 在()0,+∞上单调递减， ()()02g x g ∴<=-，2k ∴≥-.故所求实数k 的取值范围[)2,-+∞.本题主要考查导数的几何意义以及利用导数求函数的单调性、最值，考查了不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.易错点6 极值的概念理解不透彻已知()322f x x ax bx a =+++在1x =处有极值10，则a b +=________.【错解】7-或0由题得，2()32f x x ax b '=++，由已知得2(1)10110,,(1)0230f a a b f a b =⎧+++=⎧∴⎨⎨'=++=⎩⎩解得411a b =⎧⎨=-⎩或33a b =-⎧⎨=⎩，所以a b ＋等于7-或0.【错因分析】极值点的导数值为0，但导数值为0的点不一定为极值点，错解忽视了“()101f x '=≠>=是f (x )的极值点”的情况．【试题解析】由题得，2()32f x x ax b '=++，由已知得2(1)10110,,(1)0230f a a b f a b =⎧+++=⎧∴⎨⎨'=++=⎩⎩解得411a b =⎧⎨=-⎩或33a b =-⎧⎨=⎩，所以a b ＋等于7-或0.当4,11a b ==-时，2()3811(311)(1)f x x x x x '=+-=+-在x =1两侧的符号相反，符合题意. 当3,3a b =-=时，2()3(1)f x x '=-在x =1两侧的符号相同，所以3,3a b =-=不合题意，舍去. 综上可知，4,11a b ==-，所以7a b +=-. 【参考答案】7-对于给出函数极大(小)值的条件，一定既要考虑()00f x '＝，又要考虑在0x x =两侧的导数值符号不同，否则容易产生增根．1．函数极值的判断：先确定导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号． 2．求函数()f x 极值的方法： ①确定函数()f x 的定义域． ②求导函数()f x '． ③求方程()0f x '=的根．④检查()f x '在方程的根的左右两侧的符号，确定极值点．如果左正右负，那么()f x 在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么()f x 在这个根处取得极小值，如果()f x '在这个根的左右两侧符号不变，则()f x 在这个根处没有极值．3．利用极值求参数的取值范围：确定函数的定义域，求导数()f x '，求方程()0f x '=的根的情况，得关于参数的方程(或不等式)，进而确定参数的取值或范围.6．若1x =是函数()3221()(1)33f x x a x a a x =++-+-的极值点，则a 的值为 A ．−2 B ．3C ．−2或3D ．−3或2【答案】B 【解析】()()()()23222()2(131)133f 'x f x x a x a a x a x x a a =++-+-⇒+-+=-+，由题意可知(1)0f '=，()2(1)12(1)303f 'a a a a ⇒+-+=-⇒+==或2a =-，当3a =时，()222389(9)(1)()2(1)f 'x x a x a a x x x x +-=++-=+-=+-，当1,9x x ><-时，()0f 'x >，函数单调递增；当91x -<<时，()0f 'x <，函数单调递减，显然1x =是函数()f x 的极值点；当2a =-时，()2222()232(111))(0a a f 'x x a x x x x +-=-++=-=+≥-，所以函数是R 上的单调递增函数，没有极值，不符合题意，舍去，故选B.【名师点睛】本题考查了已知函数的极值，求参数的问题.本题易错的地方是求出a 的值，没有通过单调性来验证1x =是不是函数的极值点，也就是说使得导函数为零的自变量的值，不一定是极值点.（1）()f x 在0x x =处有极值时，一定有()00f x '=，()0f x 可能为极大值，也可能为极小值，应检验()f x 在0x x =两侧的符号后才可下结论；（2）若()00f x '=，则()f x 未必在0x x =处取得极值，只有确认102x x x <<时，()()120f x f x ⋅<，才可确定()f x 在0x x =处取得极值．（3）在本题中，不要遗漏掉3a =-这种特殊情况.易错点7 被积函数与积分上、下限确定不准致误由抛物线()280y x y =>与直线60x y +-=及y =0所围成图形的面积为A ．163- B ．163+ C ．403D ．143【错解】D由()280y x y =>得y =，由60x y +-=得6y x =-，由2860y x x y ⎧=⎨+-=⎩得24x y =⎧⎨=⎩或1812x y =⎧⎨=-⎩(舍去)．∴所求面积206(S x x =-⎰()32220111468212|3[]x x x =--=，故选D.【错因分析】错解没有画图分析曲线之间的位置关系，没有弄清平面图形的形状，以致弄错被积函数和积分区间致误．【试题解析】由题意，所围成平面图形如图所示，由2860y x x y ⎧=⎨+-=⎩得24x y =⎧⎨=⎩或1812x y =⎧⎨=-⎩(舍去)，所以抛物线()280y x y =>与直线60x y +-=的交点坐标为(2,4)，方法一：(选y 为积分变量)24042301111406d 624864822424(3())|S y y y y y y =--=--=--⨯=⎰. 方法二：(选x 为积分变量)3262202602221d 6d ()|62)3(|S x x x x x x =+-=+-⎰⎰2216114066662232)()]2[(3-=+⨯-⨯⨯-⨯=. 【参考答案】C用定积分求较复杂的平面图形的面积时：一要根据图形确定x 还是y 作为积分变量，同时，由曲线交点确定好积分上、下限；二要依据积分变量确定好被积函数，积分变量为x 时，围成平面图形的上方曲线减去下方曲线为被积函数，积分变量为y 时，围成平面图形的右方曲线减去左方曲线为被积函数； 三要找准原函数．1．利用定积分求平面图形面积的步骤 ①根据题意画出图形；②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限； ③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和； ④计算定积分，写出答案． 2．定积分与曲边梯形的面积的关系定积分的概念是从曲边梯形面积引入的，但是定积分并不一定就是曲边梯形的面积．这要结合具体图形来确定：设阴影部分面积为S ,则 (1) ()d baS f x x =⎰；(2) ()d baS f x x =-⎰；(3) ()()d d cbacS f x x f x x =-⎰⎰；(4) ()()()()d d []d b b baaaS f x x g x x f x g x x =-=-⎰⎰⎰.7．如图，若在矩形OABC 中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概率为A ．21π- B ．2π C ．22πD ．221π-【答案】A【解析】π1πS =⨯=矩形，又()ππ00sin d cos |cos πcos02x x x =-=--=⎰，π2S ∴=-阴影，∴豆子落在图中阴影部分的概率为π221ππ-=-. 故选A.在利用定积分求曲边梯形的面积时，要注意结合图形分析，否则易造成对实际情况的考虑不全而失误.本题主要考查的是抛物线的方程和定积分的几何意义，属于难题．解题时一定要抓住重要字眼“原始”和“当前”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是定积分的几何意义，即由直线x a =，x b =，0y =和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积是()d b af x x ⎰．一、导数的概念及计算 1．导数的定义：00()()()limlimx x y f x+x f x f x x x∆→∆→∆∆-'==∆∆. 2．导数的几何意义：函数()y f x =在0x x =处的导数()0f x '就是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率k ，即0()k f x '=.求曲线()y f x =的切线方程的类型及方法（1）已知切点()00,P x y ，求()y f x =过点P 的切线方程：求出切线的斜率f ′(x 0)，由点斜式写出方程； （2）已知切线的斜率为k ，求()y f x =的切线方程：设切点()00,P x y ，通过方程()0k f x ='解得x 0，再由点斜式写出方程；（3）已知切线上一点(非切点)，求()y f x =的切线方程：设切点()00,P x y ，利用导数求得切线斜率()0f x '，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x 0，最后由点斜式或两点式写出方程．（4）若曲线的切线与已知直线平行或垂直，求曲线的切线方程时，先由平行或垂直关系确定切线的斜率，再由()0k f x ='求出切点坐标()00,x y ，最后写出切线方程． （5）①在点P 处的切线即是以P 为切点的切线，P 一定在曲线上.②过点P 的切线即切线过点P ，P 不一定是切点．因此在求过点P 的切线方程时，应首先检验点P 是 否在已知曲线上． 3．基本初等函数的导数公式4．导数的运算法则（1）()()()()u x v x u x v x ±'⎡⎦'⎤±⎣'＝. （2）()()()()()()·u x v x u x v x u x v x ⎡⎤⎣⎦'''＝＋. （3）2()()()()()[](()0)()()u x u x v x u x v x v x v x v x ''-'=≠. 5．复合函数的导数复合函数()()y f g x =的导数和函数()()y f u u g x ==,的导数间的关系为x u x y y u '='⋅'，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 二、导数的应用1．函数的单调性与导数的关系 一般地，在某个区间(a ,b )内：①如果()0f x '>，函数f (x )在这个区间内单调递增; ②如果()0f x '<，函数f (x )在这个区间内单调递减; ③如果()=0f x '，函数f (x )在这个区间内是常数函数．（1）利用导数研究函数的单调性，要在函数的定义域内讨论导数的符号；（2）在某个区间内，()0f x '>(()0f x '<)是函数f (x )在此区间内单调递增(减)的充分条件，而不是必要条件.例如，函数3()f x x =在定义域(,)-∞+∞上是增函数，但2()30f x x '=≥.（3）函数()f x 在(a ,b )内单调递增(减)的充要条件是()0f x '≥(()0f x '≤)在(a ,b )内恒成立，且()f x '在(a ,b )的任意子区间内都不恒等于0.这就是说，在区间内的个别点处有()0f x '=,不影响函数()f x 在区间内 的单调性.2．函数的极值与导数的关系 一般地，对于函数()y f x =，①若在点x = a 处有f ′(a )= 0，且在点x = a 附近的左侧()0f 'x <，右侧()0f 'x >，则称x= a 为f (x )的极小值点；()f a 叫做函数f (x )的极小值.②若在点x =b 处有()f 'b =0，且在点x=b 附近的左侧()0f 'x >，右侧()0f 'x <，则称x= b 为f (x )的极大值点，()f b 叫做函数f (x )的极大值．③极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值. 3．函数的最值与极值的关系①极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间[,]a b 的整体而言；②在函数的定义区间[,]a b 内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）；③函数f (x )的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点； ④对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.求函数()y f x =在[a ,b ]上的最大值与最小值的步骤 ①求函数()y f x =在(a ,b )内的极值；②将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．三、定积分与微积分基本定理 1．定积分的定义和相关概念（1）如果函数f (x )在区间[a ,b ]上连续，用分点011i i n a x x x x x b -=<<<<<<=将区间[a ,b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i −1,x i ]上任取一点()1,2,,i i n ξ=，作和式11()()nni i i i b af x f nξξ==-∆=∑∑；当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ,b ]上的定积分，记作()d baf x x ⎰，即()d baf x x ⎰= 1lim ()ni n i b af nξ→∞=-∑. （2）在()d baf x x ⎰中，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ,b ]叫做积分区间，函数()f x 叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式． 2．定积分的性质 （1）()()d d bba akf x x k f x x =⎰⎰(k 为常数)；（2）[()()]d ()d ()d bb ba aaf xg x x f x x g x x ±=±⎰⎰⎰；（3）()d =()d +()d bcb aacf x x f x x f x x ⎰⎰⎰(其中a <c <b )．3．定积分的几何意义（1）当函数f (x )在区间[a ,b ]上恒为正时，定积分ba ⎰ f (x )d x 的几何意义是由直线x = a ，x =b (a ≠b )，y = 0和曲线y = f (x )所围成的曲边梯形的面积(图①中阴影部分)．（2）一般情况下，定积分ba ⎰ f (x )d x 的几何意义是介于x 轴、曲线f (x )以及直线x = a ，x =b 之间的曲边梯形面积的代数和(图②中阴影部分所示)，其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．定积分的物理意义（1）变速直线运动的路程：做变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数v =v (t )(v (t )≥0)在时间区间[a ，b ]上的定积分，即()d bas v t t =⎰.（2）变力做功：一物体在恒力F (单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F 相同的方向移动了s m ，则力F 所做的功为W =Fs .如果物体在变力F (x )的作用下沿着与F (x )相同的方向从x =a 移动到x =b ，则变力F (x )做的功()d baW F x x =⎰.4．微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ,b ]上的连续函数，且F ′(x )= f (x )，那么()d baf x x ⎰= F (b )−F (a )．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式，其中F (x )叫做f (x )的一个原函数．为了方便，我们常把F (b )−F (a )记作()|ba F x ，即()d baf x x ⎰=()|b a F x = F (b )−F (a )．1．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线e ln x y a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则 A ．e 1a b ==-， B ．a=e ，b =1 C ．1e 1a b -==，D ．1e a -=，1b =-2．【2018年高考全国Ⅰ卷理数】设函数32()(1)f x x a x ax =+-+.若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为 A ．2y x =- B ．y x =- C ．2y x =D ．y x =3．【2017年高考全国Ⅱ卷理数】若2x =-是函数21()(1)ex f x x ax -=+-的极值点，则()f x 的极小值为A ．1-B ．32e --C ．35e -D ．14(),x y 处的切线斜率为()g x ，则函数()2y x g x =的部分图象可以为A ．B ．C ．D ．5．函数2l ()n f x x x =的最小值为A ．1e- B ．1e C ．12e-D ．12e6．定义在()0,+∞上的函数()f x 满足()21x f x '>，()522f =，则关于x 的不等式()1e 3ex x f <-的解集为A ．()20,e B ．(),ln2-∞ C ．()0,ln2D ．()2e ,+∞7．已知定义在()0,+∞上的函数()()2,6ln 4f x x m h x x x =-=-，设两曲线()y f x =与()y h x =在公共点处的切线相同，则m 值等于 A ．−3 B ．1 C ．3D ．58．若函数()51ln 12f x x ax ax=+--在()1,2上为增函数，则a 的取值范围为 A ．()1,0,24⎡⎤-∞⎢⎥⎣⎦B ．()1,0,12⎡⎤-∞⎢⎥⎣⎦C ．[)11,00,4⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．[)11,0,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦9．若方程330x x m -+=在[0,2]上有解，则实数m 的取值范围是 A ．[]2,2- B ．[0,2]C ．[]2,0-D ．2()()2-∞-+∞，，10．两曲线sin y x =，cos y x =与两直线0x =A C11．已知函数()()()322132132f x x a x a a x =+-+-+，若在区间()0,3内存在极值点，则实数a 的取值范围是 A ．()0,3B ．1,22⎛⎫⎪⎝⎭ C ．()()0,11,3D ．()1,11,22⎛⎫⎪⎝⎭12．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】曲线23()e xy x x =+在点(0)0，处的切线方程为____________． 13．【2018年高考全国Ⅱ卷理数】曲线2ln(1)y x =+在点(0,0)处的切线方程为__________．14．【2018年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数()2sin sin2f x x x =+，则()f x 的最小值是_____________．15．已知函数22,0,()e ,0,x x x f x x ⎧≤=⎨>⎩若方程2[()]f x a =恰有两个不同的实数根12,x x ，则12x x +的最大值是______．16．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数()sin ln(1)f x x x =-+，()f x '为()f x 的导数．证明：（1）()f x '在区间(1,)2π-存在唯一极大值点； （2）()f x 有且仅有2个零点．17．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知函数()11ln x f x x x -=-+.（1）讨论f (x )的单调性，并证明f (x )有且仅有两个零点；（2）设x 0是f (x )的一个零点，证明曲线y =ln x 在点A (x 0，ln x 0)处的切线也是曲线e xy =的切线.18．【2018年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数1()ln f x x a x x=-+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点12,x x ，证明：()()12122f x f x a x x -<--．19．已知函数()3213f x x bx cx c =+++. （1）当1x =时，()f x 有极小值196-，求实数,b c ；（2）设()()g x f x cx =-，当()0,1x ∈时，在()g x 图象上任意一点P 处的切线的斜率为k ，若1k <，求实数b 的取值范围．20．已知函数()e 1(0)x f x ax a =-->，e 为自然对数的底数.（1）求函数)(x f 的最小值；（2）若0)(≥x f 对任意的x ∈R 恒成立，求实数a 的值；（3）在（2________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ 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