AHA1220HAGAGGAGAGGAFFFFAFAF2009年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)理科数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若2log 0a <，1()12b >，则【 D 】A ．1a >,0b >B ．1a >,0b < C. 01a <<, 0b > D. 01a <<, 0b <2．对于非零向量,,a b “0a b +=”是“//a b ”的【 A 】A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件C ．充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件3．将函数sin y x =的图象向左．．平移(02)ϕϕπ≤<个单位后，得到函数sin()6y x π=-的图象，则ϕ等于【 D 】A ．6π B ．56π C. 76π D.116π4．如图1，当参数12,λλλ=时，连续函数0)1y x xλ=≥+ 的图像分别对应曲线1C 和图1c 2c 1oyxAHA1220HAGAGGAGAGGAFFFFAFAFC1D B 1A 1DCA2C , 则【 B 】A ．120λλ<< B ．210λλ<< C ．120λλ<< D ．210λλ<<5．从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为【 C 】A ． 85 B ． 56 C ．49 D ．286．已知D 是由不等式组20,30x y x y -≥⎧⎨+≥⎩所确定的平面区域，则圆224x y +=在区域D 内的弧长为【 B 】A ．4π B ．2π C ．34πD ．32π7．正方体1111ABCD A B C D -的棱上到异面直线AB ，C 1C 的距离相等的点的个数为【 C 】A ．2B ．3C ． 4D ．58．设函数()y f x =在(,)-∞+∞内有定义.对于给定的正数K ，定义函数(),(),(),().K f x f x K f x K f x K ≤⎧=⎨>⎩取函数()f x =2x x e ---。

若对任意的(,)x ∈-∞+∞，恒有()K f x =()f x ，则【 D 】AHA1220HAGAGGAGAGGAFFFFAFAFA ．K 的最大值为2B ．K 的最小值为2C ．K 的最大值为1D ．K 的最小值为1二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡．．．中对应题号后的横线上9．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱兵乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_ 12_ _.10．在3333(1)(1)(1)x x x ++++的展开式中，x 的系数为__7__(用数字作答).11．若(0,)2x π∈，则2tan tan()2x x π+-的最小值为 22 .12．已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中有一个内角为60，则双曲线C 的离心率为613．一个总体分为A ，B 两层，其个体数之比为4：1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本.已知B 层中甲、乙都被抽到的概率为128，则总体中的个体数为AHA1220HAGAGGAGAGGAFFFFAFAF40 。

14．在半径为13的球面上有A , B, C 三点，AB=6，BC=8，CA=10，则（1）球心到平面ABC 的距离为 12 ；（2）过Ａ，B 两点的大圆面与平面ABC 所成二面角（锐角）的正切值为 3 .15．将正ABC ∆分割成2*(2,)n n n N ≥∈个全等的小正三角形（图2，图3分别给出了n=2,3的情形），在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于⊿ABC 的三边及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于3时）都分别依次成等差数列.若顶点A ,B ,C 处的三个数互不相同且和为1,记所有顶点上的数之和为()f n ，则有(2)2f =，(3)f =103，… ，()f n = 1(1)(2)6n n ++ .AC A图3图2三．解答题：本大题共6小题，共75分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

AHA1220HAGAGGAGAGGAFFFFAFAF16．（本小题满分12分）在ABC ∆中，已知2233AB AC AB AC BC⋅=⋅=，求角A ，B ，C的大小解： 设,,BC a AC b AB c ===由23AB AC AB AC⋅=⋅得2cos 3bc A bc =，所以3cos A =. 又(0,),A π∈因此6A π=由233AB AC BC⋅=得23bc a =，于是23sin sin 34C B A ⋅==. 所以53sin sin()6C C π⋅-=，133sin (cos )2C C C ⋅+=， 因此22sin cos 233,sin 2320C C C C C ⋅+=-=，既sin(2)03C π-=.由6A π=知506C π<<，所以42333C πππ-<-<，从而20,3C π-=或2,3C ππ-=，既,6C π=或2,3C π=故2,,,636A B C πππ===或2,,663A B C πππ===。

17．（本小题满分12分）为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类.这三类工程AHA1220HAGAGGAGAGGAFFFFAFAF所含项目的个数分别占总数的12，13，16.现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设。

（I ）求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；（II ）记ξ为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求ξ的分布列及数学期望。

解: 记第i 名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件 ,,,i i i A B C i=1，2，3.由题意知123,,A A A 相互独立，123,,B B B 相互独立，123,,C C C 相互独立，,,i j k A B C （i ，j ，k=1，2，3，且i ，j ，k 互不相同）相互独立，且111(),(),().236i i i P A P B P C ===（Ⅰ）他们选择的项目所属类别互不相同的概率P=1233!()P A B C 1236()()()P A P B P C =11116.2366=⨯⨯⨯= （Ⅱ）解法1：设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为η，由已知， ηB （3，13），且ξ=3-η。

所以P （ξ=0）=P （η=3）=3331()3C =127， P （ξ=1）=P （η=2）=23C 21()32()3=29，P （ξ=2）=P （η=1）=13C 1()322()3=49，AHA1220HAGAGGAGAGGAFFFFAFAFP （ξ=3）=P （η=0）= 03C 32()3=827.故ξ的分布列是ξ123P1272949827ξ的数学期望E ξ=1027⨯+219⨯+429⨯+8327⨯=2.解法2: 记第i 名工人选择的项目属于基础工程或产业建设工程分别为事件i D ，i=1,2,3 . 由已知，123,,D D D 相互独立，且P （i D ）=（i i A C +）= P （i A ）+P （i C ）=12+16=23，所以ξ2(3,)3B ,即3321()()()33k k k P k C ξ-==，0,1,2,3.k =故ξ的分布列是ξ123P127294982718．（本小题满分12分）如图4，在正三棱柱111ABC A B C -中，12AB ，点D 是11A B 的中点，点E 在11A C 上，且DE AE ⊥（I ）证明：平面ADE ⊥平面11ACC A ；ABCDA 1B 1C 1EAHA1220HAGAGGAGAGGAFFFFAFAF（II ）求直线AD 和平面ABC 所成角的正弦值。

解：（I ） 如图所示，由正三棱柱111ABC A B C -的性质知1AA ⊥平面111A B C .又DE ⊂平面111A B C ，所以DE ⊥1AA .而DE ⊥AE ，1AA AE=A ，所以DE ⊥平面11ACC A .又DE ⊂平面ADE ，故平面ADE ⊥平面11ACC A （2）解法1： 如图所示，设F 是AB 的中点，连接DF ，DC 1，C 1F ，由正三棱柱111ABC A B C -的性质及D 是11A B 的中点知，11A B ⊥C 1D ，11A B ⊥DF又C 1D DF=D ，所以11A B ⊥平面C 1DF.而AB ∥11A B ， 所以AB ⊥平面C 1DF.又AB ⊂平面ABC 1，故平面AB C 1⊥平面C 1DF 。

过点D 做DH 垂直C 1F 于点H ，则DH ⊥平面AB C 1。

连接AH ，则∠HAD 是AD 和平面ABC 1所成的角。

由已知AB=2A A 1，不妨设A A 1=2，则AB=2，DF=2，D C 1=3，ABCDA 1B 1C 1EFHAHA1220HAGAGGAGAGGAFFFFAFAFC 1F=5，2211AA A D +3，DH=FC DC DF 11·=532⨯=530.所以 sin ∠HAD=AD DH =510。

即直线AD 和平面AB C 1所成角的正弦值为510.解法2： 如图所示，设O 是AC 的中点，以O 为原点建立空间直角坐标系，不妨设A A 1=2，则AB=2，相关各点的坐标分别是A(0,-1,0)， B （3，0，0）， C 1（0，1，2）， D（23，12-，2）。

易知=(3，1，0)， 1AC =(0，2，2)， =(23，12-，2）. 有设平面ABC 1的法向量为(,,)n x y z =,则1·30,·220.n AB x y n AC y z ⎧=+=⎪⎨==⎪⎩解得3,2.3x y z =-=故可取(1,3,6)n =-.所以，cos,n AD n AD n AD⋅=⋅=31032⨯=510。

由此即知，直线AD 和平面AB C 1所成角的正弦值为510。

19．（本小题满分13分）ABCDA 1B 1C 1ExozyAHA1220HAGAGGAGAGGAFFFFAFAF某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m 米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2)x x 万元。