数学分析重点概念整理第一章 集合与函数1. 集合定理1.1.1可列个可列集之并也是可列集。

定理1.1.2 有理数集Q 是可列集Descartes 乘积集合{(,)|}A B x y x A y B ⨯=∈∈并且 2. 映射与函数映射的基本要素映射要求元素的像必须是唯一的，但不要求逆像也具有唯一性。

基本初等函数Dirichlet 函数，任何有理数都是其周期。

定义1.2.7 算术平均值：1...n a a n ++，调和平均值111...nna a ++第二章 数列极限1.实数系的连续性上确界的定义：下确界的定义：定理 2.1.1(确界存在定理——实数系连续性定理)非空有上界的数集必有上确界；非空有下界的数集必有下确界。

定理2.1.2非空有界数集的上(下)确界是唯一的。

2.数列与数列极限数列极限的形式 (1)唯一性定理2.2.1 收敛数列的极限必唯一 (2)有界性定理2.2.2收敛数列必有界 (3)数列的保序性定理2.2.3 设数列{},{}n n x y 均收敛，若，且a b <，则存在正整数N ，当n N >是，成立n n x y <四则运算只能推广到有限个数列的情况3.无穷大量4.收敛准则定理2.4.1 单调有界数列必定收敛。

(确界存在定理)用定理证明的时候先用方法证明有界性(归纳法等)，再证明单调性(做差)用闭区间套定理可以证明定理2.4.3 实数集R 是不可列集。

定理2.4.5(Bolzano-Weierstrass 定理)有界数列必有收敛子列。

定理 2.4.6 若{}n x 是一个无界数列，则存在子列{}k n x 使得lim k n k x →∞=∞。

定理2.4.7(Cauchy收敛原理)数列{}n x收敛的充要条件是{}n x是基本数列。

由实数构成的基本数列必存在实数极限，这一性质称为实数系的完备性，有理数不具有完备性。

实数系之间的推理关系：定理2.4.8 实数系的完备性等价于实数系的连续性。

确界存在定理⇒单调有界数列收敛定理⇒闭区间套定理⇒Bolzano-Weierstrass 定理⇒Cauchy收敛原理这五个定理是等价的，这五个定理每个都是实数系的基本定理。

第三章函数极限与连续函数1.函数极限的定义函数极限的性质：（1）唯一性（2）局部保序性（3）夹逼性2.连续函数第一类不连续点（跳跃点）：左右极限都存在但不相等。

第二类不连续点：左右极限至少有一个不存在。

第三类不连续点（可去点）：左右极限都存在但是0()f x 与他们不相等或在0x 处无定义Eg:Riemann 函数()R x 在任意点的极限存在，且为0.。

换而言之，一切无理点是()R x 的连续点，一切有理点是()R x 的第三类不连续点。

区间（a,b ）上的单调函数的不连续点必为第一类不连续点。

定理3.2.4 一切初等函数在其定义区间上连续。

3.无穷小量与无穷大量000()lim 0()()()()()()lim 1()()lim 0()x x x x x x u x v x u x a A v x u x v x u x v x v x u x →→→⎧=⎪⎪⎪≤≤⎪⎪⎨⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎪⎪=⎪⎩高阶无穷小：同阶无穷小：邻域内关于是同阶无穷小：低阶无穷小：000()lim ()()()()()()lim 1()()lim ()x x x x x x u x v x u x A v x u x v x u x v x v x u x →→→⎧=∞⎪⎪⎪≤⎪⎪⎨⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎪⎪=∞⎪⎩高阶无穷大：同阶无穷大：邻域内关于是同阶无穷大：低阶无穷大： 一些等价量1tan ~()22x x xππ-→-2ln(1)~1~ (0)(1)~1cos ~2x x xe x x x x x x α+-→+-计算中无穷小量出现加减的时候不能贸然使用等价量进行替换。

5. 闭区间上的连续函数定理3.4.1（有界性定理） 若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续则它在[,]a b 上有界。

用闭区间套定理证明。

开区间上的连续函数不一定是有界的。

定理3.4.2（最值定理）若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续则它在[,]a b 上必能取到最大值与最小值。

用3.4.1+Bolzano-Weirrstrass 定理证明定理3.4.3（零点存在定理）若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，且()()0f a f b <，则一定存在(,)a b ξ∈，使得()0f ξ=定理3.4.4（中间值定理）若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，则它一定能取到最大值何最小值之间的任何一个值。

直接用零点存在定理证明。

一致连续概念定理3.4.6（Cantor 定理）若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，则它在[,]a b 上一致连续。

用Bolzano-Weierstrass 定理证明定理3.4.7 函数()f x 在有限开区间(,)a b 连续，则()f x 在(,)a b 上一致连续的充要条件是()f a +与()f b -存在。

第四章 微分 1.微分和导数可微一定连续定理4.1.1 可微充要条件是可导。

2.导数的意义和性质 导数的四则运算[例]函数组合导函数11'111()'()'()'()()n ni i i i i i nn ni i j i i i i i i j c f x c f x c f x f x c f x =====≠⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎧⎫⎡⎤⎪⎪=⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩⎭∑∑∑∏∏对数求导法()()()()'()''()'()ln ()()()v x v x y f x u x u x y z y u x v x u x v x u x ==⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦隐函数求导 倒数：21'(),'()()g x y y g x g x ==- 参数方程：'()'()dy y t dx x t = 5.高阶导数和高阶微分[例] ()()sin sin()2cos cos()2n n n x x n x x ππ=+=+复合函数二阶导：()()y f uu g x=⎧⎨=⎩2222222+d y d y du dy d udx dx dx du dx⎛⎫= ⎪⎝⎭对于含参数的函数：22''()''() d y t dx tϕφ≠第五章微分中值定理及其应用1.微分中值定理grange中值定理2.L‘Hospital法则注意：0*,0∞才能只用洛必达法则，只用之前必须验证；洛必达法则失效时极限不一定不存在。

()lim()ln()lim()g x g x f xf x e=3.Taylor公式和插值多项式4.函数的Taylor公式及其应用f x在0()f x的Maclaurin公式x 处的Taylor公式又称为()渐近线5.Taylpr公式的应用第六章不定积分3.有理函数的不定积分及其应用（1）多项式分母分解（2）根号分解（3）三角函数第七章 定积分1.定积分的概念和可积条件Dirichlet 函数是黎曼不可积的引理7.1.1 若在原有划分中加入分店形成新的划分，则大和不增，小和不减。

Daboux 大和、小和11()=()=ni ii ni ii S P M x S P m x ==∆∆∑∑推论1 闭区间上的连续函数必定可积 推论2 闭区间上的单调函数必定可积推论3 闭区间上只有有限个不连续点的有界函数必定可积 2.定积分的基本性质 （1）线性性质（2）乘积可积性 设()f x 和()g x 都在[,]a b 上可积，则()()f x g x 在（3）保序性 设()f x 和()g x 都在[,]a b 上可积，且在[,]a b 上恒有()()f x g x ≥，则成立()()bbaaf x dxg x dx ≥⎰⎰（4）绝对可积性 设()f x 在[,]a b 上可积，则|()|f x 在[,]a b 上也可积，且成立()|()|bbaaf x dx f x dx ≤⎰⎰反之该性质是不成立的（5）区间可加性 设()f x 在[,]a b 上可积，则对任意点[,]c a b ∈，()f x 在[,]a c 和[,]c b 上都可积；反过来，若()f x 在[,]a c 和[,]c b 上都可积，则()f x 在[,]a b 上可积。

()()+()bcbaacf x dx f x dx f x dx =⎰⎰⎰（6）积分第一中值定理3.微积分基本定理-Newton-Leibniz公式定理7.3.5 设()f x 在对称区间[,]a a -上可积 （1） 偶函数：0()2()aaaf x dx f x dx -=⎰⎰（2） 奇函数()0aaf x dx -=⎰定理7.3.6 设()f x 是以T 为周期的可积函数，则对任意a()()a TTaf x dx f x dx +=⎰⎰sin()cos()0mx nx dx ππ-=⎰0,0sin()sin(),0m n m n mx nx dx m n πππ-≠==⎧=⎨=≠⎩⎰或0,cos()cos(),02,0m n mx nx dx m n m n ππππ-≠⎧⎪==≠⎨⎪==⎩⎰ 4.定积分在几何计算中的应用连续函数之间的求面积公式：||ba S f g dx =-⎰极坐标的求面积公式：21()2b aS r d θθ=⎰求曲线的弧长弧长的微分：dl =普通形式：al =⎰极坐标：al =⎰三维空间上：l =➢ 计算特殊几何体的体积普通几何体：()ba V A x dx =⎰旋转体：2[()]baV f x dx π=⎰曲面面积：22112(2()T T T T S y t y t dl ππ==⎰⎰➢ 曲率曲率：0lims d K s dsϕϕ∆→∆==∆，3222''''''('')x y x y K x y -=+如果曲线由()y f x =表示，322''(1')y K y =+第八章 反常积分1.反常积分的概念和计算反常积分()af x dx +∞⎰的敛散性等价于原函数极限的敛散性（1）11,111,1pp p dx x p +∞⎧>⎪-=⎨⎪+∞≤⎩⎰，10,111,11pp dx p x p +∞≥⎧⎪=⎨<⎪-⎩⎰ （2）1,0,0ax a e dx aa +∞-⎧>⎪=⎨⎪+∞≤⎩⎰无穷区间上的反常函数与无界函数的反常积分是可以互相转换的。