一元二次方程综合练习
1．a 、b 、c 是△ ABC 的三边长，且关于x 的方程b(2x －1)－2a x ＋c(2x ＋1)＝0有两个相
等的实根，求证：这个三角形是直角三角形。

2．关于x 的代数式2x ＋mx ＋m ＋8是一个完全平方式，求m 的值。

3．已知三角形ABC 中，AB ＝AC ＝m ，BC ＝n ，求证：关于x 的方程42x －8mx ＋2n ＝0一
定有两个不相等的实根。

4．已知a 、b 、c 、是三角形的三边，方程 ()032)(2222=++++++x c b a x c b a 有两个相等实
根。

求证：三角形是正三角形。

5．已知，方程2x －2px ＋3＝0的一根是2，求另一根及p 的值。

6．已知，关于x 的方程0)2()1(222=+---b x a x 有相等实根，求32003b a +的值。

7．已知a ≠b ，且满足2a －3a ＋1＝0，2b －3b ＋1＝0，求1
11122+++b a 的值。

8．已知关于x 的方程2x ＋3x ―m ＝0的两个实根的平方和是11，
求证：关于x 的方程（k －3）2x ＋kmx －2m ＋6m ―4＝0有实根。

10、已知关于x 的方程2x －2（m －2）x ＋2m ＝0，问：是否存在实数m 使方程的两根的平方和等于56，若存在，求出m ，若不存在，说明理由。

11、 已知一元二次方程（m ＋1）2x ＋2mx ＋m －3＝0有两个不相等的实数根，且这两个根不互为相反数，①求m 的取值范围；②当m 在取值范围内取最小偶数时，方程的两根为1x 和2x ，求()22
1413x x -的值。

12、 已知．关于x 的方程m 2x ―(2m ―1)x ＋m －2＝0(m>0)，①求证：这个方程有两个不相等的实数根；②如果这个方程的两个实数根分别是1x 和2x ，且（1x ―3）（2x ―3）＝5m ，求m 的值。

13、关于x 的一元二次方程2x ―(5k ＋1)x ＋ 2k ―2＝0，是否存在负数k ，使方程两实数根的倒数和等于4？如果存在，求出k ，如果不存在，说明理由。

14、已知．关于x 的方程2m 2x ＋(2m ＋3)x ＋1＝0的两个实数根的和为1-，而关于x 的另一
个方程2x ＋2(a ＋m )x ＋2a －2m ＋6m ―4＝0有大于0而小于5的实数根，求整数a 的值。

15．△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A ，∠B 、∠C 的对边，且c ＝53，若关于x 的方程（53＋b ）2x ＋2ax ＋（53－b ）＝0有两个相等的实数根，又方程22x －(10sinA)x ＋5sinA ＝0的两个实根的平方和是6，求△ABC 的面积。

16．如图，梯形ABCD 中AD ∥BC ，AD ＝AB ，8S 梯形ABCD ＝13S △ABC ， 梯形的高是AE ＝
235，且 AD 1＋BC 1＝40
13，①求∠B 的度数；②设M 为对角线AC 上的一点，DM 的延长线与BC 相交与一点F ，当ADM s ∆＝
323125时，求 CF 、DF 。

17、关于x 的方程42m 2x ＋（8m ＋1）x ＋4＝0有两个不相等的实数根，
①若所给方程的两实数根的倒数和不小于－2，求m 的取值范围
②m 为何值时，方程的两根之比为1∶4。

18、 已知实数x 、y 、z 满足x ＋y ＝2，xy ＝2z ＋1，求x ＋y ＋z 的值
19．已知△ABC 中，a 、b 、c 为三边，a 、b 是2x ―（c ＋4）x ＋4c ＋8＝0的两根，①判断△ABC 的形状， ②若5a ＝3c ，求a 、b 、c 的长。

20．已知1x 、2x 是方程2x ―（3m －5）x ―62m ＝0的两个实数根，且2
1x x ＝23，求m 的值。

21、m 为何值时，一元二次方程2(m ＋3) 2x ＋4mx ＋3m ―6＝0的两根α、β且满足α＝β。

22．2x ＋5x ＋3＝0的两根为α、β，求①（2α＋3）（2β＋7β＋6）的值 ②求αβα＋ββ
α的值。

23．关于x 的方程x 2－2mx －32m ＋8m －4＝0，①求证，方程一定有两个实数根；②若以方程的两根为边长的等腰三角形的周长是
314，求m 的值。

24．已知，关于x 的方程2
x ―（m －2）x ―42
m ＝0。

①求证：无论m 取什么值，方程总有两个不等实根；②若这个方程的两实根是1x 和2x ，且满足1x ＝2x ＋2，求m 的值及1x 和2x 。

25、 已知，关于x 的方程2x －(2m ＋3)x ＋
2
1(2m ＋2)＝0， ①无论m 取何值，方程总有两正根 ；②若这个方程的两实根是1x 和2x ，且满足21x ＋22x ―1x 2x ＝217，求m 的值。

26．已知，关于x 的方程2x －12x ＋k ＝0的两根之差为2，求这个方程的两根及k 的值。

27．已知，()0421222=-+
-p px x （p 是实数），①求证：方程必有两不等实根；②设α，β为方程()
0421222=-+-p px x 的两根，且α<β，若α－2，β－2是2x ＋qx ＋2＝0的两根，求实数q 的值。

28．如图，△ABC 中，∠A ＝90º，AB ＝6，BC ＝10，点P 从点A 开始，沿AC 边向点C 匀速移动，Q 从点A 开始沿AB 向B 在沿BC 向C 匀速移动，若P ，Q 两点同时从点A 出发，则可同时
到达点C ，○
!如果P ，Q 两点同时从点A 出发，以原速度按各自的移动路线移动，到某一时刻同时停止移动，当点Q 移到BC 边上（Q 不与C 重合）求以tan ∠QCA ， tan ∠QPA 为根的一元
二次方程；○
2如果P ，Q 两点同时从点A 出发，以原速度按各自的移动路线移动，到某一时刻同时停止移动，当PBQ S ∆＝
5
12时，求PA 的长。

29．锐角△ABC 中，AB ＝AC ，∠A 使方程412x －sinA x ＋3sinA －43＝0有两个相等的实数根，①判断△ABC 的形状；②设D 为BC 上的一点，且DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，若DE ，DF 的长为m ，n ，且3m ＝4n 和m 2＋ n 2＝25，求AB 的长。

30．已知1x 和2x 是关于x 的一元二次方程22x －2m x ＋2m －8m ＋14＝0的两个实数根，且21x
－2
2x ＝0，求x 的值。

31．直角△ABC 的三边a 、b 、c ，均满足方程2x －mx ＋2＝0、求△ABC 的面积。

32、已知方程2x ＋kx ＋2k －4＝0的两个实数根1x 和2x ，且（1x －2x ）2＝25，如果关于x 的另一个方程2x ＋kx ＝0的两个根都在1x 和2x 之间，求k 的值。

33、 关于x 的方程022=+-m mx x 两实数根的平方和比两根积大7，求m 的值。

34、已知方程()042222=++-+k x k x 有两个实数根，且这两个实数根的平方和比两根的积大21，求k 的值。

35、已知关于x 的一元二次方程01)12(22=++-+-m x m x ，求证：无论m 为何值，方程总有两个不相等的实数根。

36、 关于x 的方程2x ＋(m －2)x ＋21m －3＝0。

求证：①方程一定有两个不相等的实根；②1x 和2x 为方程的两根，且满足2（1x ＋2x ）＝m ＋1，求m 的值。

37、Rt ∆ABC 中，∠C ＝900，a 、b 是2x －5x ＋3＝0的两个根，则Rt ∆ABC 的斜边上的中线长为多少？
38、关于x 的方程
2
-+x a x ＝－1的根大于0，求a 的取值范围。

39、关于x 的方程126-x x ＋x m 21-＝2x 会产生增根，求m 的值。