9.2.4 总体离散程度的估计【学习目标】1.会求样本的标准差、方差；2.理解离散程度参数的统计含义；3.会应用相关知识解决实际统计问题．【知识梳理】一、请同学们预习课本9.2.4节（第209-213页），完成下列知识梳理。

1、预习课本中的问题3，回答下列问题（1）计算甲乙两名运动员射击成绩的平均数、中位数、众数是、、。

（2）作出两名运动员射击成绩的频率图（如下）甲的成绩比较,乙的成绩相对,即甲的成绩波动幅度比较大，而乙的成绩比较稳定。

可见，他们的射击成绩是存在差异的。

2、度量数据离散程度的方法-极差度量数据程度的一种方法是用极差。

极差在一定程度上刻画了数据的程度.但因为极差只使用了数据中、两个值的信息,对其他数据的取值情况没有涉及，所以极差所含的信息量很少。

3、平均距离的一种表示形式假设一组数据是x1,x2,⋯,x n，用x̅表示这组数据的平均数. 我们用每个数据与平均数的差的绝对值作为“距离”,即|x i−x̅|(i=1,2,⋯,n)作为x i到x̅的“距离”.可以得到这组数据x1,x2,⋯,x n到x̅的“平均距离”为1 n ∑|x i−x| ni=14、方差和标准差（1）一组数据是x1,x2,⋯,x n，这组数据的方差是1 n ∑(x i−x)2ni=1，或1n∑x i2ni=1−x̅2，（你能证明两者是相等的吗？）（2）由于方差的单位是原始数据的单位的，为了使二者数据单位一致，我们取方差的算术平方根，得到这组数据的标准差√1n∑(x i−x)2ni=1，或 √1n∑x i2ni=1−x̅2，（3）总体方差S2和总体标准差S=√S2S2=1N∑(Y i−Y)2Ni=1=1N∑Y i2Ni=1−Y̅2，也可以写成加权的形式S2=1N∑f i(Y i−Y)2ki=1，（4）样本方差s2和样本标准差s=√s2s2=1n∑(y i−y)2ni=1（5）标准差刻画了数据的程度或幅度，标准差越大,数据的离散程度越;标准差越小，数据的离散程度越。

显然，在刻画数据的分散程度上，方差和标准差是一样的.但在解决实际问题中，一般多采用标准差。

（6）我们用样本标准差去总体标准差。

在随机抽样中，样本标准差依赖于样本的选取，具有。

5、和一起能反映数据取值的信息。

例如,根据9.2.1节中100户居民用户的月均用水量数据，可以计算出样本平均数x̅=8.79，样本标准差s≈6.20。

可以发现，绝大部分数据落在区间[x̅−2s，x̅+2s]内。

【例题精讲】例1一个小商店从一家有限公司购进21袋白糖，每袋白糖的标准质量是500g，为了了解这些白糖的质量情况，称出各袋白糖的质量（单位：g）如下：486 495 496 498 499 493 493 498 484 497 504489 495 503 499 503 509 498 487 500 508（1）21袋白糖的平均质量是多少？标准差s是多少？（2）质量位于x̅−s和x̅+s之间有多少袋白糖？所占的百分比是多少？跟踪训练11、不经过计算，你能给出下列各组数的方差排序吗？（1）5，5，5，5，5，5，5，5，5；（2）4，4，4，5，5，5，6，6，6；（3）3，3，4，4，5，6，6，7，7；（4）2，2，2，2，5，8，8，8，8。

2、甲乙两台机床同时生产一种零件，在10天中，两台机床每天生产的次品数分别为：甲0 1 0 2 2 0 3 1 2 4乙 2 3 1 1 0 2 1 1 0 1分别计算这两组数据的平均数和标准差，从计算结果看，那台机床的性能更好？3、有一种鱼的身体吸收汞，一定量身体中汞的含量超过其体重的1.00×10−6的鱼被人食用后，就会对人体产生危害。

在30条鱼的样本中发现的汞含量（乘以百万分之一）如下：0.07 0.24 0.95 0.98 1.02 0.98 1.37 1.40 0.39 1.021.44 1.58 0.54 1.08 0.61 0.72 1.20 1.14 1.62 1.681.85 1.20 0.81 0.82 0.84 1.29 1.262.10 0.91 1.31（1）请用合适的统计图描述上述数据，并分析这30条鱼的汞含量的分布特点；（2）求出上述样本数据的平均数和标准差；（3）从实际情况看，许多鱼的汞含量超标的原因是这些鱼在出售之前没有被检测过。

你认为每批这种鱼的平均汞含量都比1.00×10−6大吗？（4）在上述样本中，有多少条鱼的汞含量在以平均数为中心、2倍标准差的范围内？例2 数据x1,x2,⋯,x n的方差为s x2，数据y1,y2,⋯,y n的方差为s y2，a,b为常数。

证明：（1）如果y1=x1+b,y2=x2+b,⋯,y n=x n+b，那么s y2=s x2；（2）如果y1=ax1,y2=ax2,⋯,y n=ax n，那么s y2=a2s x2.（3）如果y1=ax1+b,y2=ax2+b,⋯,y n=ax n+b，那么s y2=a2s x2.跟踪训练21、数据x1,x2,⋯,x n的方差s2=0，证明：所有的x i(i=1,2,⋯,n)都相同。

例3在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据,只知道抽取了男生23人,其平均数和方差分别为170.6和12.59,抽取了女生27人,其平均数和方差分别为160.6和38.62.你能由这些数据计算出总样本的方差,并对高一年级全体学生身高方差作出估计吗?（假设已知总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：l,x̅,s12 ; m,y̅,s22.据此得到总样本平均数w̅和总样本方差s2）跟踪训练31、某中学有高中学生500人，其中男生320人，女生180人。

有人为了获得该校全体高中学生的身高信息，采用分层抽样的方法抽取样本，并观测样本的指标值（单位：cm），计算得男生样本的均值为173.5，方差为17，女生样本的均值为163.83，方差为30.03.（1）根据以上信息，能够计算出总样本的均值和方差吗？为什么？、（2）如果已知男、女样本量按比例分配，你能计算出总样本的均值和方差各位多少吗？（3）如果已知男、女的样本量都是25，你能计算出总样本的均值和方差给为多少吗？它们分别作为总体均值和方差估计合适吗？为什么？2、已知总体划分为3层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：l,x̅,s12 ; m,y̅,s22 ;n,z̅,s32.记总的样本平均数为w̅，样本方差为s2，证明：（1）w̅=ll+m+n x̅+ml+m+ny̅+nl+m+nz̅；（2）s2=1l+m+n{l[s12+(x̅−w̅)2]+m[s22+(y̅−w̅)2]+n[s32+(z̅−w̅)2]}.【课后分层作业】一、选择题1.为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田.这n块地的亩产量(单位：kg)分别为x1，x2，…，x n，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是()A.x1，x2，…，x n的平均数B.x1，x2，…，x n的标准差C.x1，x2，…，x n的最大值D.x1，x2，…，x n的中位数2.若样本数据x1，x2，...，x10的标准差为8，则数据2x1－1，2x2－1， (2x10)1的标准差为()A.8B.15C.16D.323.某选手的9个得分分别为87，87，94，90，91，90，9x，99，91，其中有一个数据的个位数模糊，无法辨认，以x表示.若去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，则7个剩余分数的方差为()A.1169B.367C.36D.6774.甲、乙两名同学6次考试的成绩如图所示，且这6次成绩的平均分分别为x －甲，x －乙，标准差分别为s 甲，s 乙，则( )A.x －甲<x －乙，s 甲<s 乙 B.x －甲<x －乙，s 甲>s 乙 C.x －甲>x －乙，s 甲<s 乙 D.x －甲>x －乙，s 甲>s 乙 5.在高一期中考试中，甲、乙两个班的数学成绩统计如下表：其中x －甲＝x －乙，则两个班数学成绩的方差为( ) A.3 B.2 C.2.6 D.2.5 二、填空题6.某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为10，6，8，5，6，则该组数据的方差为________.7.已知样本9，10，11，x ，y 的平均数是10，标准差为2，则xy ＝________. 8.为了调查公司员工的健康状况，用分层随机抽样的方法抽取样本，若样本中有20名男员工，30名女员工，且男员工的平均体重为70 kg ，标准差为4，女员工的平均体重为50 kg ，标准差为6，则所抽取样本的方差为________. 三、解答题9.某班40名学生平均分成两组，两组学生某次考试成绩情况如下所示：求全班这次考试成绩的平均数和标准差.10.某学校统计教师职称及年龄，中级职称教师的人数为50，其平均年龄为38岁，方差是2，高级职称的教师中有3人58岁，5人40岁，2人38岁，求该校中级职称和高级职称教师年龄的平均数和方差.11.在教学调查中，甲、乙、丙三个班的数学测试成绩分布如图，假设三个班的平均分都是75分，s1，s2，s3分别表示甲、乙、丙三个班数学测试成绩的标准差，则有()A.s3＞s1＞s2B.s2＞s1＞s3C.s1＞s2＞s3D.s3＞s2＞s112.若40个数据的平方和是56，平均数是22，则这组数据的方差是________.13.(多选题)某综艺节目为比较甲、乙两名选手的各项能力(每项能力的指标值满分均为5分，分值高者为优)，绘制如图所示的六维能力雷达图，图中点A表示甲的创造能力指标值为4，点B表示乙的空间能力指标值为3，则下列叙述正确的是()A.乙的记忆能力优于甲B.乙的观察能力优于创造能力C.甲的六大能力整体水平优于乙D.甲的六大能力比乙较均衡。