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二、扭转外力偶矩的计算
当已知传递功率和 转数时可用下式换算：
P M e 9549 n
( N· ） m 式中：P 为传递的功率，单位 kW
n 为每分钟转数，单位 rpm（r/min=转/分） Me 为相当外扭转力偶矩，单位 N· m
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Me2
1、 横截面变形后仍为平面； 且形状、大小、间距都不
变。称为平面假设;
2、轴向无伸缩； 3、纵向线变形后仍为平行。
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DD d tan dx dx
a T
O1
b T
O2 D D'
d dx
A

a

d
dx
b
距圆心为任一点处的与该点到圆心的距离成正比。
答：（D）
面积 A2=4A1 ，则直径D2=2D1 ，许可载 荷与轴直径的立方成正比。
Tmax Wp [ ]
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§3.5 圆轴扭转时的变形和刚度条件
一、扭转变形
1、单位长度扭转角
d T dx GI p
rad/m
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2、相对扭转角
d —— 扭转角沿长度方向的变化率。 dx 称为单位长度扭转角。
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二、 物理关系
胡克定律：
代入上式得：
d G G dx
G
T
d G dx
切应力在横截 面上的分布为
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三、静力学关系


r0 AdA r0 2 r0 d T
T T 2 2 r0 d 2 A 0 d
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二、切应力互等定理
a dy

´
b
Mz 0
d dxdy d dxdy


= G
式中：
p—剪切比例极限
G —剪切弹性模量 单位：GPa 钢材 G = 80 GPa
E G 2 1
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§3.4
等直杆扭转时的应力和强度
考虑三方面
①变形几何关系
等直圆杆横截面应力 一、变形几何关系
②物理关系
③静力学关系
等直圆杆扭转实验观察：
上式称为切应力互等定理。
´
c z dx d
d

在单元体相互垂直的两个平面上，切应力必然 成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面 的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。
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单元体的四个侧面上只有切应力而无正应力 作用，这种应力状态称为纯剪切应力状态。
三、剪切胡克定律
T A dA
2
T

dA

O d A G dA dx d 2 2 G A dA I p A dA 令 dx d T d T GI p dx dx GI p
代入物理 关系式 ：
材料力学
d G dx
得
T IP
D 1
3 2
4
d
3 1
1， 2， max max
已知
得
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0.8
D2 3 1 1.194 4 d1 1 0.8
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两轴的重量比
π 2 D2 d 22 D 2 1 2 W2 A2 4 2 2 π 2 W1 A1 d1 d1 4 2 2 1.194 1 0.8 0.512
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Ip A dA
2
称为横截面对圆心O点 的极惯性矩，单位:mm4。
四、最大切应力
在横截面周边各点 max =R 令
max
TR IP
r
Wp
T Wp
Ip R
称为抗扭 截面系数， 单位：mm3。
Nm
mm
3
max
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=10 MPa
3
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微段变形
a T
O1
d T dx GI p T d dx GI p
b
T
O2
A

a
D
D'

d
b
dx
GIp:称为抗扭 刚度，单位Nm2
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相对扭转角
Me Me

T dx GI p l
当T是常数
Tl GI p
单位：rad
正负号：同扭矩T，正负号仅表示转向。
2、实验后 ①圆周线不变；
②纵向线变成斜直线。
①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距 均未改变，只是绕轴线作了相对转动。 结 ②各纵向线均倾斜了同一微小角度 。 论 ③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四 边形。
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横截面上各点处，只 产生垂直于半径的均匀分 布的切应力 ，沿周向大 小不变，方向与该截面的 扭矩方向一致。 横截面上分布力的合成为扭矩
T（kN· m）
9.56
15.9
从受力角度看，显然主动轮的位置对轴的内力有 影响。应选择合理布置方式。
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§3.3
薄壁圆筒扭转
一、横截面上的切应力
薄壁圆筒——壁厚d远小于平均半径 r0。 1、实验前 ①绘纵向线，圆周线； ②施加一对外力偶 M。
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②计算并校核切应力强度
扭矩图略
max
T 1.592 10 23.6MPa [ ] 3 Wp 70 16
6
③此轴满足强度要求。
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实心圆截面轴Ⅰ和空心圆截面轴Ⅱ (= d2/D2 =0.8)的 材料、扭转力偶矩 Me 和长度l 均相同。试求在两圆轴 横截面上最大切应力相等的情况下，D2/d1之比以及两 轴的重量比。
T
（实心截面）
（空心截面）
工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，
结构轻便，应用广泛。
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六、圆轴扭转强度条件
max
T W p max
①强度校核
公式仅适用于各向同性、 线弹性材料，在小变形 时的等截面圆直杆。
max
n
B C D
Me A MeB
PA 150 9.55 9.55 4.78 (kN m) n 300
MeD
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PD 200 9.55 9.55 6.37 (kN m) n 300
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②求扭矩（扭矩按正方向设）
MeA
1
MeB
MeC
MeD
2 n
l
l r0
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r0 l
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T=Me
通过扭转实验发现



T


l ( ) r0
( 2A0d )

剪切胡克定律：当切应力不超过材料的剪切比例极限
时（ ≤ P )，切应力与切应变成正比关系。
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当 ≤ p 时
解决三 类问题
Tmax [ ] Wp
②截面设计 ③确定许可载荷
Tmax Wp [ ]
Tmax Wp [ ]
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等直圆杆扭转时斜截面上的应力 低碳钢试件： 沿横截面断开。
铸铁试件： 沿与轴线约成45的 螺旋线断开。 因此还需要研究斜截面上的应力，第七章再研究。
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MeA
MeB
MeC
MeD
n
A B C D 6.37
T
（kN· m） 4.78 9.56
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若把主动轮C置于右端，则其扭矩图变为下面所示
MeA MeB MeC MeD
MeA MeB MeD MeC
A
B
C
6.37
D
A
4.78
B
D
C
4.78
9.56
3
MeA=4.78KN· m MeB=4.78KN· m MeC=15.9KN· m MeD= 6.37KN· m
A
1 B
2 C
3
D
T M e T1 M e A 4.78kN m
T2 M e A M e B 9.56kN m T3 M e D 6.37kN m
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四、扭矩图
表示沿杆轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。
作扭矩图步骤 1、计算各段扭矩 2、作扭矩图 作内力图的要求 ① 标明内力性质 ② 正确画出内力沿杆轴分布规律 ③ 标明特殊截面的内力数值 ④ 标明正负号 ⑤ 注明单位(只在内力标志后面写一个）
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Ip
D 2 d 2
π 4 2 π d D d 4 32
3
O
πD 1 4 32 d 其中 D
4
D d
πD 4 d 4 πD 3 4 1 Wp D/2 16 D 16 Ip
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应力分布
T
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为什么矩形截面轴扭转时横截面 四个角点处切应力一定为零？