变形几何关系 a
GG d dx dx b
T d
T
E A O1
( d / 2) d dx
E A

D D'
G G'
O2 d
O1

dx
G
D

a

d
O2
D'
b
G'
dx

d dx
GG d tan EG dx
26
扭转圆轴沿轴线单位长度的扭转角
2. 杆表面上的纵向线变成螺旋线。 杆件扭转时，任意两横截面间相对转过的角度，称为两 截面的相对扭转角，用φAB 表示。
4
§3-2 薄壁圆筒的扭转
r0 的圆筒，可假定其 薄壁圆筒 ——通常指 10
Me
应力沿壁厚方向均匀分布 Me n r0 T Me n
n
l
n
内力偶矩——扭矩T
T Me
5
2
§3-1 概 述
工程上的轴是承受扭转变形的典型构件。
若杆件横截面上只存在扭矩一个内力分 量，则这种受力形式称为纯扭转。
汽车中的转向轴

机器中的传动轴
3
外力作用特点：
圆截面直杆受到一对大 小相等、转向相反、作 用面垂直于杆的轴线的 外力偶作用 变形特点：

1. 圆杆各横截面绕杆的轴线作相对转动；
24
§3-4
等直圆杆在扭转时的应力和变形计算
受扭后表面变形有以下规律：
(1) 各圆周线绕轴线相对转动一 微小转角，但大小，形状及相互 间距不变； (2) 由于是小变形，各纵线平行地 倾斜一个微小角度γ ，认为仍为直 线；因而各小方格变形后成为菱 形。
1.平面假设及变形几何关系
Me
Me

平面假设：变形前横截面为圆 形平面，变形后仍为圆形平面 ，只是各截面绕轴线相对“刚 性地”转了一个角度。 25
引入记号

A
dA
2
d M T dx GI p
I p 2 dA
A
WT
Ip R
MT Ip
d MT G G dx GI p
max
MT R MT Ip Ip / R
max
MT WT
29
小 结
静力方程

A
( dA) M T
薄壁圆筒受扭时变形情况：
Me
A B D C

Me

A1 A B1 B
D
D' C C' 切应变
D1 D1' C1 C1'
表面正方格子倾斜的角度—
直角的改变量 圆筒两端截面之间相对转过
的圆心角
相对扭转角 即 r / l
6
r l tan l
表面变形特点及分析：
3
D 4
Ip
D 4
(1 )
4
3 I p R02 dA 2R0 t
扭转圆轴的应力计算和变形计算 画轴的扭矩图 确定可能的危险截面 极惯性矩和抗扭截面模量的计算 计算危险（最大）点应力 求出最大剪应力 计算最大单位长度扭转角 计算两截面相对扭转角
I p 2 dA W A T
物理方程 G 几何方程
d M T dx GI p
变形计算公式 扭转刚度 应力计算公式 最大应力公式 抗扭截面模量

d dx

max
MT Ip MT WT
I p 2 dA
A
WT
Ip R
30
结 论
圆轴扭转时，横截面上一点剪应力和剪应变与该点的
极坐标呈比例 横截面外圆周上点的剪应力和剪应变最大 横截面最大剪应力与横截面的抗扭截面模量成反比
横截面扭转变形（单位长度扭转角）与横截面的扭转刚
度成反比
31

例：由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材料的切变模 量分别为G1和G2，且G1=2G2。圆轴尺寸如图所示。圆轴受扭 时，里、外层之间无相对滑动。关于横截面上的切应力分布， 有图中（A）、（B）、（C）、（D）所示的四种结论，请 判断哪一种是正确的。
圆周线只是绕圆筒轴
线转动，其形状、大 小、间距不变；
Me
A B D C

Me

——横截面在变形前后都保持为形状、大小未改 变的平面，没有正应力产生 所有纵向线发生倾斜且倾斜程度相同。 ——横截面上有与圆轴相切的切应力且沿圆筒周向 均匀分布
7
薄壁圆筒横截面上应力的分布规律分析： Me
A B D C

（对车轴而言是外力矩）
18
2. 扭矩(Torque)
M0
扭矩大小可利用截面法来确定。
M0
取左边部分
MT
外力偶
内力偶
外力偶
M0
假想切面
由平衡方程
MT M 0
平衡
19
MT是横截面上的内力偶矩，称为扭矩。
扭矩的符号规定
MT MT
扭矩矢量指向(大拇指） 与 截面的外法线方向一致
正
MT
扭矩矢量指向(大拇指） 与 截面的外法线方向相反


b
'
c
13
试根据切应力互等定理，判断图中所示的各单元体上的切应
力是否正确。

10 kN 20 kN

30kN 50kN

10 kN 20 kN
50kN 30kN 30kN
14
§3-3 传动轴的外力偶矩. 扭矩及扭矩图
1．外力偶矩m的计算 如图所示的传动机构，通常外力偶矩不是直接给出的，而是 通过轴所传递的功率和转速n计算得到的。 如轴在m作用下匀速转动φ角，则 力偶做功为W=mφ，由功率定义
N m 9549 n
（N· m）
式中： N—传递功率（千瓦，kW）；n—转速（r/min）。
如果传递功率单位是马力(PS)，由于1PS=735.5 N· m/s，则有
N m 7024 n
（N· m）
17
例如：富康AX轿车额定功率65kW，在4500转时平稳 （N与n无关）输出扭矩
N 65 M 0 9549 9549 137.9( N m) n 4500
M 0 Fx 0
12
切应力互等定理 y
'
a dy
单元体的两个相互垂直的截面 上，与该两个面的交线垂直的

O ' dx
d
切应力数值相等，且均指向

c x
(或背离) 两截面的交线。
z
b

单元体在其两对互相垂直的平 面上只有切应力而无正应力的 状态称为纯剪切应力状态。
a
'
d
Ip R
max
负
按右手螺旋法则确定扭矩的矢量方向，扭矩矢量的指向与
截面的外法线方向一致者为正，反之为负。
20
扭矩图
10kN m 10kN m
10kN m
M T 10kN m MT MT
M T / kN m
10
20kN m
20
M T 20kN m 20kN m
以平行于杆轴线的坐标x表示截面的位置，以垂直于x轴的坐 标表示扭矩值，得到扭矩随截面位置而变化的扭矩图。
W 1000 N
单位为N· m
由于二者作的功应该相等，则有
N 1000 2n m / 60
当轴平稳转动时，作用在轴上的外力偶矩与传递的功率和转 速间的关系为 N
m 9549
n
( N m)
式中： N—传递功率（千瓦，kW）；n—转速（r/min）。16
外力偶矩与传递的功率和转速间的关系
A
A 2πr0
得
r0
T T r0 A 2πr02
9
剪切胡克定律 Me
A B D C

Me

由前述推导可知
r0 / l
T 2πr02
薄壁圆筒的扭转实验曲线
10
即 p时
G
这就是剪切胡克定律 其中：G——材料的切变模量 p——剪切屈服极限
E G 对各向同性材料，弹性常数 E, , G 三者有关系 21
11
钢材的切变模量值约为：G 80GPa
单元体· 切应力互等定理 单元体—— 此处为以横截面、径截面以及与表面平行的面 y a
从受扭的等直圆杆表面处截取一微小的正六面 Me Me 体
'
dy
d x d z
d

O ' dx

c
d yd z
x
F
y
z
0
自动满足 存在'
z
b
d y d z d x d x d z d y 得
Me

Me
n

r0 n
x
பைடு நூலகம்
1、横截面上无正应力； 2、只有与圆周相切的切应力，且沿圆筒周向均匀分布； 3、对于薄壁圆筒，可认为切应力沿壁厚也均匀分布 。
8
薄壁圆筒横截面上切应力的计算公式： 静力学条件 切应力相等

A
d A r0 T
Me
n
因薄壁圆环横截面上各点处的
dA
r0 n
x
T r0 d A r0 A
分别取截面分析 CA段 BC段
M T 1 1640 N m
AD段
1
M T 2 3280 N m