2065 - 经济应用数学二（线性代数）单项选择题1．设A和B都是n阶矩阵，且|A+AB|=0，则有（）A.|A|=0B.|E+B|=0C.|A|=0 或|E+B|=0D.|A|=0且 |E+B|=0答案：C2．A.1B.-1C.2D.-2答案：C3．若C=AB，则（）A.A与B的阶数相同;B.A与B的行数相同;C.A与B的列数相同;D.C与A的行数相同。

答案：D4．A*是A的伴随矩阵，且|A|≠0，刚A的逆矩阵A-1=（）。

A.AA*B.|A|A*C.；D.A'A*答案：C5．矩阵A的秩为r，则知（）A.A中所有r阶子式不为0；B.A中所有r+1阶子式都为0；C.r阶子式可能为0,r+1阶子式可能不为0；D.r-1阶子式都为0。

答案：B6．A*是A的n阶伴随矩阵，且A可逆，刚|A*|=（）。

A.|A| ；B.1；C.|A|n-1D.|A|n+1答案：C7．设A，B，C为同阶矩阵，若AB＝AC，必推出B＝C，则A应满足条件（）A.|A|≠0B.A＝OC.|A|＝0D.A≠0答案：A8．设A是sxt矩阵，B是同m×n矩阵，如果AC T B有意义，则C应是（）矩阵。

A.s×nB.s×mC.m×tD.t×m答案：C9．设 A、B为n阶矩阵，A可逆，k≠0，则运算（）正确.A.B.C.D.答案：D10．设A为3阶方阵，且|A|=2，则|A|-1=（）。

A.2B.-2C.D.答案：C11．设 A是m×k矩阵, B是m×n矩阵, C是s×k矩阵, D是s×n矩阵,且k≠n, 则下列结论错误的是（）.A.B T A是n×k矩阵B.C T D是n×k矩阵C.BD T是m×s矩阵D.D T C是n×k矩阵答案：B12．设 A、B为n阶方阵，则（）.A.B.C.D.AB = O时，A = O或B = O答案：A13．设A , B均为n 阶方阵, 下面结论正确的是（）。

A.若A ,B均可逆, 则 A + B 可逆B.若A ,B均可逆, 则 AB 可逆C.若A + B可逆, 则 A- B 可逆D.若A + B可逆, 则 A, B均可逆答案：B14．当（）时，A =是正交阵.A.a = 1, b = 2, c = 3B.a = b = c = 1C.D.答案：C15．设A为三阶方阵，且A2=0，以下成立的是（）A.A=0B.A3=0C.R(A)=0D.R(A)=3答案：B16．在下列命题中，正确的是（）A.B.若A B，则；C.设A,B是三角矩阵，则A+B也是三角矩阵；D.17．t满足（）时，线性无关.A.t≠1；B.t=1 ；C.t≠0；D.t＝0.答案：A18．设α1,α2,…,αs为n维向量组, 且秩R(α1,α2,…,αs)=r 则（）。

A.该向量组中任意r个向量线性无关；B.该向量组中任意 r+1 个向量线性相关；C.该向量组存在唯一极大无关组；D.该向量组有若干个极大无关组.答案：B19．如果两个同维的向量组可以相互线性表示, 则这两个向量组（）.A.相等B.所含向量的个数相等C.不相等D.秩相等答案：D20．设α1,α2,α3是AX = B的三个线性无关的解, 其中A是秩为1的4×3矩阵, B是4维列向量，则下列（）是AX=O的基础解系.A.α1+α2+α3B.α1+α2－2α3C.α1，α2，α3D.α2－α1，α3－α2答案：D21．如果两个同维的向量组等价，则这两个向量组（）A.相等；B.所含向量的个数相等；C.不相等；D.秩相等。

答案：D22．两个n阶矩阵A与B相似的，是指（）A.PAP-1=BB.Q T AQ=BD.AB=E（Q，P，Q均为n阶可逆方阵）答案：C23．当A是正交阵时，下列结论错误的是（）.A.A-1=A TB.A-1也是正交阵C.A T也是正交阵D.A的行列式值一定为1答案：D24．设λ =－4 是方阵A的一个特征值, 则矩阵A－5E的一个特征值是（）.A.1B.－9C.－1D.9答案：B计算题25．计算行列式D=。

答案：26．计算行列式。

答案：27．计算行列式D = .答案：D=(α2-b2)228．答案：解：所以。

29．解矩阵方程XA =B ，其中.求X。

答案：30．判断矩阵是否可逆？如可逆，求其可逆矩阵。

答案：解：因为，所以可逆。

所以。

31．求解线性方程组.答案：32．求向量组，的一个极大无关组，并把其余向量用此极大无关组线性表示。

答案：所以一个极大无关组为，且。

33．求齐次线性方程组的通解。

答案：解:，所以，基础解系.所以通解为：。

34．设，求A的特征值及对应的特征向量.答案：解：特征值λ1＝5，λ2＝λ3＝－1. 对于λ1＝5，，特征向量为对于λ2＝-1，，特征向量为.35．答案：解：由，得A的特征值为：。

当时，齐次方程组为,由，解得基础解系为，所以A的属于特征值的全部特征向量为。

当时，齐次方程组为,由，解得基础解系为所以A的属于特征值的全部特征向量为。

36．求矩阵的特征值和特征向量。

答案：解：由，得A的特征值为：。

当时，齐次方程组为,解得基础解系为，所以A的属于特征值的全部特征向量为。

当时，齐次方程组为,解得基础解系为所以A的属于特征值的全部特征向量为。

37．将二次型f(x1,x2,x3)=x12+4x1x2-4x1x3+2x22-4x2x3-x32化为标准型。

答案：解：38．将二次型f(x1,x2,x3)=x1x2+x1x3-3x2x3化为标准型。

答案：解：由于中无平方项，故令，代入二次型，得39．化二次型f(x1,x2,x3)=x12-4x1x2-4x1x3+2x22+3x32为标准型。

答案：填空题40．行列式D=的转置行列式D T= ______ 。

答案：D T=41．8级排列36215784的逆序数在τ(36215784)=_____.答案：1042．若行列式，则x=________________。

答案：-543．排列36i15j84在i=_____,j=______时是奇排列。

答案：7，244．若，则x=______.答案：545．答案：46．设A为三阶矩阵且|A|＝2，则|4A|＝__________ .答案：12847．A*是A的伴随矩阵，且A可逆，则(A*)-1=________________。

答案：48．若A=，则R(A) =______.答案：249．设A=，则A-1=______.答案：50．若A=，则R(A) =______.答案：351．设向量组，，，，则向量组α1,α2,α3,α4线性__________（填线性相关或线性无关）。

答案：线性相关52．k满足_______时，线性方程组只有零解.答案：k≠－2且k≠153．单独一个零向量必线性__________，单独一个非零向量必线性__________.答案：相关，无关54．设α=(1 1 0),β=(0 3 0),γ=(1 2 0),则 3α+2β-4γ =__________。

答案：(-1 1 0)55．二次型 f(x,y)= x2-4xy+y2 的系数矩阵是 ?答案：56．当t 满足条件__________，使二次型f=x12+2x22+3x32+2x1x2-2x1x3+2tx2x3是正定的。

答案：57．二次型f(x,y)=2x2-xy-y2的系数矩阵是______。

答案：证明题58．设A,B为 r 阶矩阵，且，证明：A2=A成立的充要条件是B2=E。

答案：证明：由又故B2=E,从而A2=A等价于B2=E。

59．设向量组α1,α2,α3线性无关，证明：向量组α1+α2,α2+α3,α3+α1线性无关。

答案：60．如α1,α2,α3,…αt向量组线性无关，试证明：向量组α1,α1+α2,α1+α2+α3, … ,α1+α2+…+αt 线性无关。

答案：证明：假设向量组α1,α1+α2, … ,α1+α2+ …+αt 线性相关，那么存在不全为0的数k1，k2，… k t，使得：k1α1+k2(α1+α2)+…+k1(α1+α2+ …+αt )=0 ，所以：k1α1+k2α1+k2α2+…+k1α1+k1α2+ …+k tαt =0；即：（k1+k2+…+k t）α1+(k2+…+k t)α2+……+k tαt=0 。

因为向量组α1,α2,α3,…αt 线性无关，所以：k1+k2+…+k t=0，k2+…+k t=0，……，k t=0，所以k1=k2=…=k t=0 矛盾。

故向量组α1,α1+α2, … ,α1+α2+ …+αt 线性无关。