2、用初等变换方法求 A 。
1
x1 四、 （ 15 分）设线性方程组： x 1
x2 x2 x3 x3 x4 x4

1
， 2
1、 求出线性方程组有解的充要条件； 2、 在有解的情况下，求出通解。 五、 （ 15 分）用正交变换将二次型 f 3x 2xy 3y yz 化为标准型。
n
*
； ； ； 的 特 征 值 是
8 、 若 方 或 ；
阵
A
满 足
A2 A
， 则
A
9、设 1 , 2 是某齐次线性方程组的基础解系， 1 1 2 , 2 1 2 2 , 则







1 与 2 是线性
的； 。
10、 n 阶矩阵 A 的 n 个特征根互不相等是 A 与对角矩阵相似的
1 3 也是 AX b 的 3
x , x , x 2x x x
2 2 1 2 3 1 2
2 3
4 x1 x 2 6 x 2 x 3 的矩阵 A
2
8、设 4 阶方阵 A 的特征值分别为 1, 2,3, 2. 则 A A 的特征值为
1 5 7 9、设 D 2 2 2 , 2 0 3
'
； ； ； 基； 基；
*
（ 2） A A
'
（ 3） A
-1

（ 4） A 的列向量组是一组 （ 5） A 的行向量组是一组 5、设 A 是 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵，若 |A|=2，则 | A | = 6、设 A是一个m n阶矩阵, 若 m n , 则 | A A | = 7、若 n 阶方阵 A 的列向量组是 R 的标准正交基，则 A A =
则
A
31
A32 A33
则
10、设 1, 2, 1,1 , 3, 2,1,1 , 2 2 ,
a1 0 二 、计算行列式 0 1
a1 a2 0 1
0

0 0
0 0 （10 分） an 1
a2 0 1
an 1
2 2 0 2 ，1.求 A 的特征值与特征向量. 2.求一正交矩 六、已知实对称矩阵 A 2 1 0 2 0
阵 T ，使得 T 1 AT 为对角阵.（16 分） 七、 设 1 2 ， 且 1， 2 为 A 的特征值，1， 2 为它们对应的特征向量， 证明 1， 2 线 性无关． （6 分）
2x D 1 3 x 1 x 1 中 x 的系数为 2 x
3.
4. 设四元线性 方程组 AX b 的系数矩阵 的秩为 2 ，已知 AX b 有解 1, 2 , 3,则
AX b 的一般解为
5. 设 (1, 1,0, 2), (k ,1, 1,1), 与 正交，则 k 6. 设二元方阵 A, B 的逆分别是 A
1 3 2 1 ，且 A2 AB E ，求 B 三.已知 A 3 0 1 1 1 2 x1 x2 x3 x4 1 四.求解方程组 3 x1 2 x2 x3 3 x4 4 x 4 x 3x 5 x 2 2 3 4 1
2 2 2
1
1
断二次型的正定性。
线性代数模拟试题（五）
一、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 1、设 1 , 2 , 3 n 为 n 维单位坐标向量组，则


a1 1 a2 2 a3 3 an n =
2、任何 n 1 个 n 维向量都是线性 关的； 3、向量空间 V 中的任何一个基所含的向量个数都等于向量空 间的 ；
3 2








1、求矩阵 B 的特征值及其相似对角形矩阵； 2、求行列式 |B| 与 |A-5E| 。
线性代数模拟试题（四）
三、 填空题： （30 分） 1、 若 a 12a 3i a 2 k a 51a 44 是 5 阶行列式中带 “+ ” 的项， 则 i= ； k= 。
2、 若 行 列式 D 中 存 在两 行 元 素相 同 或 成比 例 ，则 D= 。 3、设矩阵 A 为 n 阶方阵，且方程组 AX=B（B≠ 0）有唯一解，则 R（ A）= 4、正交矩阵 A 的五个等价定义为： （ 1） A A
5
二、 （ 10 分）计算行列式：
1 2 A 3
2 3 4
3 4 5

n 1 2 。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
n 1 2 n 1
2x 1 三、 （15 分）设有非齐次线性方程组： x 1 x 1
值时有解？并求出全部解。
x2 2x 2 x2

x3 x3

3 4 5 5

=
； ；
1
2、 n 阶方阵 A 的特征值为 1， 2，…， n，则 |A| = 3、 若 A 是可逆矩阵， 且 1 , 2 ,, n 是 A 的特征值， 则 A 特征值为
；
4、设 和 是非齐次线性方程组 AX=B（B≠ 0）的解 ,若 1 2 也是 AX=B 的解, 当且仅当
A2 1 3 A 2 3 2 4A 2
10. 二次型 f ( x1, x2 , x3 ) x1 x2 x3 2 x1 x2 4 x1 x3 6 x2 x3 所对应的矩阵为
2 2 2
二. 计算行列式
（ 10 分）
D
1 2 3 4 2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3
1
4 （ 1， 9， 6， 3， 6），求此向量组的秩及一个极大无关组，并将其余向量用该极大无
关组线性表示.（14 分） 五、求下列非齐次线性方程组的一般解（12 分）
2 x1 x2 x3 x4 1 3x1 2 x2 x3 3x4 4 x 4 x 3x 5 x 2 2 3 4 1
4、设 A 是 4 5 矩阵， R A 2 .则线性方程组 AX 0 的基础解系含有 5、设 1,2,3 是非齐次线性方程组 AX b 的解，若 11 22 解，则 1 2 6、设 ， ，若 与 正交，则 a 、 b 所满足的关系为 （1， 2， a） （b， 1， 0） 7、二次型 f 个解向量
2x 3
2 ，问当 为何 2
四、 （ 15 分）用初等变换求逆矩阵及矩阵的秩：
1 2 3 1、 A 2 2 1 ，求 A 1 ； 3 4 3
2
1 2 3 4 2、 B= 1 2 4 5 ，求 R（ B） 。 1 10 1 2
3 0 1 三 、设 A 1 1 0 , AB A 2 B . 求矩阵 B .（12 分） 0 1 4
四、 设向量组
1 （ 1， 1， 2， 3， 4） （3， 7， 8， 9， 13） ， 2 ， 3 ， （ 1， 3， 0， 3， 3）
1
1 5 3 2 1 , B , 则 ( AB) 1 4 1 4
7. 设 3 阶方阵 A 的特征值为 2，-1， 3，则 2 A 8. 设 A 为 4 5 矩阵，若 A 的每个行向量都不能用其余的行向量来线性表示，则 A 的 秩为
2
1 3 4 9. 设 A 2 1 3 , Aij 为 A 中 第 I 行 第 j 列 的 元 素 的 代 数 余 子 式 ， 则 4 7 3
线性代数模拟试题（一）
一填空题（每空 3 分，共 30 分）
1、设
a a a D b b b c c c
1 2 1 2 1 2
3 3 3
2
3a 6a 3a 则D b 2b b c 2c c
2 1 1 2 1 2 1 3
3
3

2、设 A 是 3 阶矩阵，且 A 3, 则 3 A
2 3 4 1 1 3、已知 A 5 2 1 ，则 (2 A) 1 2 3
（14 分）
1 2 4 六.设 A = 2 4 2 . 4 2 1
（1）求 A 的特征值. （2）求 A 的特征向量 （3）求正交矩阵 T ，使得 T AT 为对角阵. 七.证明：若非零向量 可由向量组 1 , 2 , 线性无关. （ 8 分）
2




;
2 2
5、实二次型 f x 4xy ky z
为正定的，则 k=
。
三、 （ 10 分）设向量 (1,0,0), (1,1,0), (1,1,1), 矩阵A , 3 1、验证： , , 是R 的一组基；
五、 （ 15 分）设 A为n阶矩阵, 且A 2A 4E 0, 证明： A 及 A+3E 都可逆， 并求 A ， (A 3E) 。 六、 （ 15 分）写出二次型 f 10x 1 2x 2 x 3 8x 1 x 2 24x 1 x 3 28x 2 x 3 的矩阵，并判
线性代数模拟试题（二）
一. 填空题（每题 3 分，共 30 分） 1. 设 A 是 3 阶矩阵，且 A 3, 则 3 A 2. 设 1,2,3 是 非 齐 次 线 性 方 程 组 A X b的 解 ， 若
1 1 2 2
1 3 也是 3
AX b 的解，则 1 2
2 2 2
六、 （14 分）设 是非齐次线性方程组 AX=B（ B≠ 0）的一个解， 1 , 2 ,, n r 是对应的