线性代数(文)模拟试题库及参考答案
一.填空题(每小题3分,共12分)
1.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=333222111c b a c b a c b a A ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=33
3222111d b a d b a d b a B ,2=A ,3=B ,则B A -2=1. 解 B A -2=3
332221
113332221113333222211112222d b a d b a d b a c b a c b a c b a d c b a d c b a d c b a -=---
=12=-B A .
2.已知向量)3,2,1(=α,)3
1,21,1(=β,设βαT A =,其中T α是α的转置,则n A =A n 13-.
解 注意到3321)31,21,1(=⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=T βα,故 n A =
β
αβαβαβαT n T T T 个)())(( =ββαβαβααβα
T
n T T T T 个)1()())((- =A n T n 1133--=βα.
注 若先写出A ,再求2A ,…,n A 将花比前更多的时间.
3.若向量组T )1,0,1(1-=α,T k )0,3,(2=α,T k ),4,1(3-=α线性相关,则k =3-. 解 由1α,2α,3α线性相关,则有
321,,ααα=k k 0143011--=1
043011--k k k =04)1(3143=--=-k k k k . 由此解得3-=k .
4.若4阶矩阵A 与B 相似,矩阵A 的特征值为
21,31,41,5
1,则行列式E B --1 =24.
解 因为A 与B 相似,所以A ,B 有相似的特征值,从而E B --1有特征值1,2,3,4.故2443211=⋅⋅⋅=--E B .
注 本题解答中要用到以下结论:
(1)若A 可逆,A 的特征值为λ,则1-A 的特征值为
λ
1. (2)若λ是A 的特征值,则)(A f 的特征值为)(λf ,其中)(x f 为任意关于x 的多项式.
(3)若n 阶矩阵A 有n 个特征值1λ,2λ,…,n λ,则n A λλλ 21=. 二.单项选择题(每小题3分,共18分)
1.矩阵A 在( A )时,其秩将被改变.
(A ) 乘以奇异矩阵 (B ) 乘以非奇异矩阵 (C ) 进行初等行变换 (D ) 转置
2.要使⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2011ξ,⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=1102ξ都是线性方程组O AX =的解,只要系数矩阵A 为( A ).
(A ) )1,1,2(-
(B ) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-110102 (C ) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--110201 (D ) ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---110224110
解 我们知道,若1ξ,2ξ,…,k ξ是齐次线性方程组O AX =的k 个线性无关的解向量,O AX =的任一解为向量1ξ,2ξ,…,k ξ的线性组合,则1ξ,2ξ,…,k ξ为O AX =的基础解系,且所含解向量的数目)(A r n k -=,其中n 为矩阵A 的列数.
由于1ξ,2ξ为O AX =的解,知3=n .又因1ξ与2ξ是线性无关的,故2≥k .因而1)(≤A r ,而(A )、(B )、(C )、(D )四个选项中满足1)(≤A r 的矩阵只有(A )项中的)1,1,2(-.
3.设向量组Ⅰ:1α,2α,…r α可由向量组Ⅱ:1β,2β,…s β线性表示,则( D ). (A ) 当s r <时,向量组Ⅱ必线性相关
(B ) 当s r >时,向量组Ⅱ必线性相关
(C ) 当s r <时,向量组Ⅰ必线性相关
(D ) 当s r >时,向量组Ⅰ必线性相关
解 根据定理“若1α,2α,…s α可由1β,2β,…t β线性表出,并且t s >,则1α, 2α,…,s α必线性相关”,即若多数向量可以由少数向量线性表出,则这多数向量必线性相关,故应选(D ).
4.设A 是n m ⨯矩阵,O AX =是非齐次线性方程组b AX =所对应的齐次。