如果矢量场的旋度为零，则称为无旋场(或保守场)；如果 矢量场散度为零，则称为无源场。
旋度描述场分量在与其垂直的方向上的变化规律；散度描 述场分量沿着各自方向上的变化规律。
【例题1】求矢量场A=x(z-y)ex+y(x-z)ey+z(y-x)ez在点M(1，0， 1)处的旋度以及沿n=2ex+6ey+3ez方向的环量面密度。
§1.3 矢量场的环量 旋度
一、矢量场的环量与环量面密度
A1(、r)矢矢沿量量闭场场合的路A(环径r)量l沿的场环中量的。一条闭合路径
l
的曲线积分称为矢量场
S nS
A dl
l
P
A
C
环流的计算
物理意义：若某一矢量场的环量不等于零，则场中有产生该矢
量场的旋涡源。
2、环量面密度
A dl
rotn A
在点M(1，0，1)处沿n方向的环量面密度
A
M
n
2 7
6 7
2
3 7
17 7
【例题2】在坐标原点处放置一点电荷q，在自由空间产生的
电场强度为
E
q
4 r 3
r
q
4 r 3
( xex
yey
zez
)
求自由空间任意点(r≠0)电场强度的旋度。
【解】
ex ey ez
E
q
4 x y z
xyz r3 r3 r3
ex
ey
ez
A
x y z
Ax Ay Az
在圆柱坐标系中的表示
e 1
A
e
ez
z
A A Az
在球坐标系中的表示
A
1
er
re
r sine
r 2 sin r
Ar rA r sinA
3、旋度的性质
矢量场的旋度是一个矢量。
矢量场在某点处的旋度表示该点的旋涡源密度。 矢量场在某点处沿 n 方向的环量面密度，等于旋度在该
q
4
0
y
z r3
z
y r3
ex
z
x r3
x
z r3
ey
x
y r3
y
x r3
ez
0
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读书破万卷，下笔如有神--杜甫
方向上的投影。
4、旋度运算的基本公式
C 0
(C为常矢量 )
(cA) c A
(A B) A B
(uA)
u
A
u
A
(A B) B A A B
三、斯托克斯定理
斯托克斯定理是矢量场的曲面积分与曲线积分之间的一个转
换关系。
A dS A dl
S
l
四、旋度与散度的区别
矢量场的旋度是矢量函数，矢量场的散度是标量函数。 旋度描述场量与旋涡源的关系，散度描述场量与通量源的关系。
lim
S 0
l
S
在矢量场中，一个给定点 M 处沿不同方向n ，其环量面密度
的值是不同的。
二、矢量场旋度
1、旋度的定义
方向：环量面密度取最大值的面元正法线方向。
大小：等于该环量面密度最大值。即
rotA n lim
A dl
l
S0 S
max
2、旋度在坐标系下的表示
Байду номын сангаас
rotA A
在直角坐标系中的表示
【解】矢量场A的旋度
ex
rotA A
x
ey
ez
y
z
x(z y) y(x z) z(y x)
(z y)ex (x z)ey ( y x)ez
在点M(1，0，1)处的旋度
A M ex 2ey ez
n方向的单位矢量
1
2 6 3
n 22 62 32 (2ex 6ey 3ez ) 7 ex 7 ey 7 ez