□F dls F ds J x, y,z ds
ls
s
s
□Fdli＝rotF nˆisi □Fdls rotF ds
i li
i
ls
s
旋度的定义为：矢量场在M点处的旋度为一矢量，其数值为包 含M点在内的小面元边界的环量与小面元比值极限的最大值， 其方向为极限取得最大值时小面积元的法线方向，即：
z
lim □ rotF nˆ s01 slFdl
Max
y
x
1.4.4 旋度的公式
根据线积分的公式，直角坐标系中旋度的表达式为:
□ □ □ rotF
eˆx
lim
syz 0
1 s yz
lyz
F dl
eˆy
lim
sxz 0
1 s xz
lxz
F
dl
eˆz
lim
sxy 0
1 s xy
lxy
Fdl
eˆxrotFeˆxeˆy rotFeˆy eˆzrotFeˆz
z
eˆx
rotF eˆx
Fyy | z z
Fy
y
|
z
z
2
2
Fz
z
|
y
y
2
Fyz
|y y
B(x, y,z)dl 0I 0J(x, y,z)ds
L
S
1.4.1 旋度的公式
矢量场对于闭合曲线 L 的环量定义为:
□ F
L
x,
y,
z
dL
0 0
1 如果矢量场的任意闭合回路的环量恒为零，称
该矢量场为无旋场，又称为保守场。
2 如果矢量场对于任何闭合曲线的环量不为零，
称该矢量场为有旋矢量场
1.4.2 旋度的概念
2
Fz
y
Fy z
zy
x
s yz lyz
y
1.4.4 旋度的公式
根据线积分的公式，直角坐标系中旋度的表达式为:
□ □ □ rotF
eˆx
lim
syz 0
1 s yz
lyz
F
dl
eˆy
lim
sxz 0
1 s xz
lxz
F
dl
eˆz
lim
sxy 0
1 s xy
lxy
F dl
eˆxrotFeˆxeˆy rotFeˆy eˆzrotFeˆz
lim □F dl lim J s
s0
s0
l
J
n
F
s F J
例：求 R
R (x x')e x ( y y')e y (z z')e z
e x
R x
x x'
e y
y y y'
e z
0 z z z'
1.4.5 Stokes定理
利用旋度的定义式，可得到一般曲线和曲 面积分之间的变换关系式，即Stokes定理
1.4 旋度
自强●弘毅●求是●拓新
1.4 矢量场的环量
不是所有的矢量场都由通量 源激发。存在另一类不同于 通量源的矢量源，它所激发 的矢量场的力线是闭合的， 它对于任何闭合曲面的通量 为零。但在场所定义的空间 中闭合路径的积分不为零。
1.4 矢量场的环量
磁场沿任意闭合曲线的积分 与通过闭合曲线所围曲面的 电流成正比，即：
eˆx
eˆy
eˆz
rotF
eˆx
Fz y
Fy
z
eˆy
Fx z
Fxz eˆz
Fy
x
Fyx
F
x y z
Fx Fy Fz
1.4.4 旋度与漩涡源
为了给出空间任意点矢量场与旋
涡源的关系，当闭合曲线L 所围
的面积趋于零时，矢量场对回路
L 的环量与旋涡源对于L 所围的
面积的通量成正比，即：