且 S 2 n 1 ( 2 n 1 ) a n( n N ＊ );
(2)若Sn是等差数列{an}的前n项和,则Sk,S2k-Sk, S3k-S2k(k∈N＊)仍成等差数列,且S3k＝3(S2k-Sk)．
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§3.1数列与等差数列
高2008级数学复习课件
例题. 定义域为－1，1的函数f (x)满足：对于任意
§3.1数列与等差数列
高2008级数学复习课件
例.设等差数列｛an｝和｛bn｝的前n项和分别
为Sn、Tn，若
Sn Tn
7n1 ，求 4n27
a 11 b 11
的值．
点评:关于等差数列前n项的和,通常有下面的结论
(1)等差数列前n项和 S n n (a m 2 a n m 1 )(m ， n N ＊ ),
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等差数列的判定方法
1.定义法：an－an－1=d(常数)
2.数列{an}是等差数列的充要条件是： ①｛pan+q｝成等差数列(p、q是常数)
②2an+1=an+an+2(n∈N*)
③前n项和Sn=An2+Bn(A、B是常数）
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21 21
f ( 1) 3
f
(an
)是以f
(
1)为 3
首
项，f (
1)为 3
公差的等
差数列
( 4 )f( a n ) 1 n 1 1 n
f( a 1 ) f( a 2 ) f( a 1 0 0 ) 1 2 1 0 0 5 0 5 0
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2021/2/18
§3.1数列与等差数列
高2008级数学复习课件
等差数列
定义:一般的,如果一个数列从第2项起,每一项与它
前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就
叫做等差数列. an1and
这个常数叫做这个数列的公差, 通常用d表示
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(3)证明： f (an1)
f (an )
f
an1 1 an1
an an
f
1 2n1 1 2n1
1 2n1 1
1 2n1
1 2n
1 2n 1 2n 1 2n
f ( 1) 3
而f (a1)
f
1 1
若d0,则an为递增数列
数列
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当 n为 奇 数 时 ，
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1 ） S n n a n 1 ( 项 数 与 中 间 项 的 积 ）
2
2 ） S 奇 S 偶 a n （ 1中 间 项 ）
x、y －1，1都有f
(x)
f
( y)
f
xy 1 xy
(1)判定f (x)的奇偶性并证明你的结论；
（2）证明:
f (x)
f (y)
f
xy
1
xy
(3)若an
1 1
2n 2n
(n
N ), 证明数列
f
(an )是等差数列；
（4）若f
(
1) 3
1, 试求f
(a1)
f
(a2 )
f (a100)的值。
等差数列的性质
a,A ,b成等差 a数 b2列 A
a m a n m n d
若 p q m n , 则 a p a q a m a n
项数成等差的项，仍成等差数列
若 m n 2 p , 则 a m a n 2 a p
依次每k项之和仍成等差数列
若 a n , b n 为等 pn 差 a qn b 仍 数为 列等
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(1)f(x)是奇函数
证明：令xy0,则f(0)f(0)f(0),f(0)0
f(x)f(x)f 1xxx2f(0)0 f(x)是奇函数
( 2 ) 证 明 ： f( x ) f( y ) f( x ) f( y ) f 1 x x y y
2
3 ） S奇 n1(项 数 加 1 比 项 数 减 1 ） S偶 n1
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当n为偶数时
1 ） S n n a n 2 2 a n 2 1 ( 项 数 与 中 间 两 项 平 均 数 的 积 ）
2）S偶S奇n2d
3)S奇
an
2
(中间两项的比）
S偶 an1 2
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(1)等差数列前n项和 S n n (a m 2 a n m 1 )(m ， n N ＊ ),
且 S 2 n 1 ( 2 n 1 ) a n( n N ＊ );
(2)若Sn是等差数列{an}的前n项和,则Sk, S2k-Sk, S3k-S2k(k∈N＊)仍成等差数列,且S3k＝3(S2k-Sk)．
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对等差数列前项和的最值问题
(1)利用{an}: 当a1>0,d<0,前n项和有最大值可由
a a
n n
1
0
0
求得n的值.
当a1<0,d>0,前n项和有最小值可由
a a
n n
1
0
0
求得n的值.
(2)利用Sn：
由Snd 2n2(a1d 2)n利用二次函数配方法求得最值时n的值