2019年湖北省十堰市高考数学模拟试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设i为虚数单位，则复数z＝的共轭复数＝（）A．+i B．﹣i C．+i D．﹣i2．（5分）设集合A＝{x|0＜x2≤4}，B＝{x|x＞﹣1}，则（）A．A∩B＝{x|﹣1＜x≤2}B．A∪B＝{x|x≥﹣2）C．A∩B＝{x|﹣1＜x＜0）D．A∪B＝{x|x＞﹣1）3．（5分）若夹角为θ的向量与满足||＝|﹣|＝1，且向量为非零向量，则||＝（）A．﹣2cos θB．2cosθC．﹣cosθD．cosθ4．（5分）若双曲线＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x﹣3y+1＝0垂直，则该双曲线的离心率为（）A．2B．C．D．25．（5分）已知正项数列{a n}满足a1＝1，a n+12﹣a n2＝2，则使a n＜7成立的n的最大值为（）A．3B．4C．24D．256．（5分）某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，…，599，600从中抽取60个样本，如下提供随机数表的第4行到第6行：32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 4284 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 0432 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45若从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据，则得到的第6个样本编号（）A．522B．324C．535D．5787．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．8．（5分）定义在[﹣7，7]上的奇函数f（x），当0＜x≤7时，f（x）＝2x+x﹣6，则不等式f （x）＞0的解集为（）A．（2，7]B．（﹣2，0）∪（2，7]C．（﹣2，0）∪（2，+∞）D．[﹣7，﹣2）∪（2，7]9．（5分）已知x，y满足约束条件，若目标函数z＝ax+y可在点（3，3）处取得最大值，则a的取值范围为（）A．[，+∞）B．（，+∞）C．（﹣1，]D．（﹣1，）10．（5分）若点（log147，log1456）在函数f（x）＝kx+3的图象上，则f（x）的零点为（）A．1B．C．2D．11．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CD上一点，且CE＝2DE，F为棱AA1的中点，且平面BEF与DD1交于点G，则B1G与平面ABCD所成角的正切值为（）A．B．C．D．12．（5分）杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡（1623﹣1662）是在1654年发现这一规律的．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，这是我国数学史上的一个伟大成就．如图，在“杨辉三角”中，去除所有为1的项．依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5…，则此数列前151项和为（）A．219﹣211B．218﹣211C．219﹣209D．218﹣209二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）将函数f（x）＝sin（4x﹣）的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g（x）的图象，则g（x）的最小正周期是．14．（5分）的展开式中的常数项为．15．（5分）若直线y＝12x+m与曲线y＝x3﹣2相切，则m＝．16．（5分）过抛物线M：y2＝8x的焦点F作两条斜率之积为﹣2的直线l1，l2，其中l1交M 于A．C两点，l2交M于B，D两点，则|AC|+|BD|的最小值为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分．17．（12分）在△ABC中，3sin A＝2sin B，．（1）求cos2C；（2）若AC﹣BC＝1，求△ABC的周长．18．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，P A⊥PC，AB⊥BC，AB＝BC，PB＝，AC＝2，∠P AC＝30°．（1）若M为AC的中点，证明：BM⊥平面P AC；（2）求二面角B﹣P A﹣C的余弦值．19．（12分）某大型工厂有5台大型机器在1个月中，1台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的．出现故障时需1名工人进行维修，每台机器出现故障的概率为．已知1名工人每月只有维修1台机器的能力，每台机器不出现故障或出现故障时有工人维修．就能使该厂获得10万元的利润，否则将亏损3万元．该工厂每月需支付给每名维修工人1.5万元的工资．（1）若每台机器在当月不出现故障或出现故障时有工人进行维修，则称工厂能正常运行若该厂只有2名维修工人，求工厂每月能正常运行的概率；（2）已知该厂现有4名维修工人．（1）记该厂每月获利为X万元，求X的分布列与数学期望；（i）以工厂每月获利的数学期望为决策依据，试问该厂是否应再招聘1名维修工人？20．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆C的一个焦点．点M（0，2），直线MF的斜率为．（1）求椭圆C的方程；（2）若过点M的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为N，且|AB|＝|MN|．求l的方程．21．（12分）已知函数f（x）＝lnx．（1）当a＞0时，讨论函数F（x）＝x2﹣（6+a）x+2af（x）的单调性；（2）设函数g（x）＝，若斜率为k的直线与函数y＝g′（x）的图象交于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）两点，证明：x1＜＜x2．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4一4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（α为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知点A的极坐标为．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）过A作曲线C的切线，切点为M，过O作曲线C的切线，切点为N，求．[选修4一5：不等式选讲]（10分）23．已知函数f（x）＝||+|x+2a|．（1）若a＝1，证明：f（|x|）≥5；（2）若f（1）＜5a2，求a的取值范围．2019年湖北省十堰市高考数学模拟试卷（理科）（4月份）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设i为虚数单位，则复数z＝的共轭复数＝（）A．+i B．﹣i C．+i D．﹣i【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵z＝＝，∴．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2．（5分）设集合A＝{x|0＜x2≤4}，B＝{x|x＞﹣1}，则（）A．A∩B＝{x|﹣1＜x≤2}B．A∪B＝{x|x≥﹣2）C．A∩B＝{x|﹣1＜x＜0）D．A∪B＝{x|x＞﹣1）【分析】根据题意，求出集合A，进而计算A∩B与A∪B，分析选项即可得答案．【解答】解：根据题意，A＝{x|0＜x2≤4}＝{x|﹣2≤x≤2且x≠0}，则A∩B＝{x|﹣1＜x≤2且x≠0}A∪B＝{x|x≥2}，则A、C、D都错误，B正确；故选：B．【点评】本题考查集合的运用，关键是掌握集合交集、并集的定义，属于基础题．3．（5分）若夹角为θ的向量与满足||＝|﹣|＝1，且向量为非零向量，则||＝（）A．﹣2cos θB．2cosθC．﹣cosθD．cosθ【分析】可对的两边平方得出，再根据为非零向量且即可得出．【解答】解：∵||＝|﹣|＝1；∴；∴；∴；∵为非零向量；∴．故选：B．【点评】考查向量的数量积的运算及计算公式，向量夹角的概念．4．（5分）若双曲线＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x﹣3y+1＝0垂直，则该双曲线的离心率为（）A．2B．C．D．2【分析】渐近线与直线x+3y+1＝0垂直，得a、b关系，再由双曲线基本量的平方关系，得出a、c的关系式，结合离心率的定义，可得该双曲线的离心率．【解答】解：∵双曲线＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x﹣3y+1＝0垂直．∴双曲线的渐近线方程为y＝±3x，∴＝3，得b2＝9a2，c2﹣a2＝9a2，此时，离心率e＝＝．故选：C．【点评】本题给出双曲线的渐近线方程，求双曲线的离心率，考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．5．（5分）已知正项数列{a n}满足a1＝1，a n+12﹣a n2＝2，则使a n＜7成立的n的最大值为（）A．3B．4C．24D．25【分析】首先求出数列的通项公式，进一步利用不等式的应用求出结果．【解答】解：正项数列{a n}满足a1＝1，a n+12﹣a n2＝2，则：数列{}是以为首项，2为公差的等差数列．故：，则：，由于：a n＜7成立，故：，解得：n＜25，故：n的最大值为24．故选：C．【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．6．（5分）某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，…，599，600从中抽取60个样本，如下提供随机数表的第4行到第6行：32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 4284 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 0432 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45若从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据，则得到的第6个样本编号（）A．522B．324C．535D．578【分析】根据随机抽样的定义进行判断即可．【解答】解：第6行第6列的数开始的数为808，不合适，436，789不合适，535，577，348，994不合适，837不合适，522，535重复不合适，578合适则满足条件的6个编号为436，535，577，348，522，578，则第6个编号为578，故选：D．【点评】本题主要考查随机抽样的应用，根据定义选择满足条件的数据是解决本题的关键．7．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【分析】根据几何体的三视图知该几何体是下部是圆柱、上部是半个圆锥的组合体；结合图中数据求出该几何体的体积．【解答】解：根据几何体的三视图知，该几何体是下部是圆柱、上部是半个圆锥的组合体；画出图形如图所示；∴该几何体的体积为V＝V圆柱+V半圆锥＝π×12×2+××π×12×1＝．故选：C．【点评】本题考查了利用三视图求几何体体积的应用问题，是基础题．8．（5分）定义在[﹣7，7]上的奇函数f（x），当0＜x≤7时，f（x）＝2x+x﹣6，则不等式f （x）＞0的解集为（）A．（2，7]B．（﹣2，0）∪（2，7]C．（﹣2，0）∪（2，+∞）D．[﹣7，﹣2）∪（2，7]【分析】根据题意即可判断f（x）在（0，7]上单调递增，并且f（2）＝0，从而得出2＜x≤7时，f（x）＞0；0＜x＜2时，f（x）＜0；再根据f（x）在[﹣7，7]上是奇函数即可得出﹣2＜x＜0时f（x）＞0，从而得出原不等式的解集．【解答】解：∵当0＜x≤7时，f（x）＝2x+x﹣6；∴f（x）在（0，7]上单调递增，且f（2）＝0；∴2＜x≤7时，f（x）＞0；0＜x＜2时，f（x）＜0；∵f（x）是定义在[﹣7，7]上的奇函数；∴x∈（﹣2，0）时，f（x）＞0；∴不等式f（x）＞0的解集为：（﹣2，0）∪（2，7]．故选：B．【点评】考查奇函数的定义，奇函数图象的对称性，指数函数和一次函数的单调性，增函数的定义．9．（5分）已知x，y满足约束条件，若目标函数z＝ax+y可在点（3，3）处取得最大值，则a的取值范围为（）A．[，+∞）B．（，+∞）C．（﹣1，]D．（﹣1，）【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义转化求解即可．【解答】解：x，y满足约束条件的可行域如图：由目标函数z＝ax+y可得y ＝﹣ax+z，由解得C（3，3），可得﹣a，即a．故选：A．【点评】本题考查线性规划的简单应用，数形结合，考查计算能力．10．（5分）若点（log147，log1456）在函数f（x）＝kx+3的图象上，则f（x）的零点为（）A．1B．C．2D．【分析】根据题意，将点的坐标代入函数的解析式，分析可得k的值，即可得f（x）的解析式，由函数零点的定义分析可得答案．【解答】解：根据题意，点（log147，log1456）在函数f（x）＝kx+3的图象上，则log1456＝k×log147+3，变形可得：k＝﹣2，则f（x）＝﹣2x+3，若f（x）＝0，则x＝，即f（x）的零点为，故选：D．【点评】本题考查函数零点的判定，涉及对数的计算，关键是求出函数的解析式．11．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CD上一点，且CE＝2DE，F为棱AA1的中点，且平面BEF与DD1交于点G，则B1G与平面ABCD所成角的正切值为（）A．B．C．D．【分析】以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出B1G与平面ABCD所成角的正切值．【解答】解：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为6，∵E为棱CD上一点，且CE＝2DE，F为棱AA1的中点，且平面BEF与DD1交于点G，∴B1（6，6，6），G（0，0，1），＝（﹣6，﹣6，﹣5），平面ABCD的法向量＝（0，0，1），设B1G与平面ABCD所成角为θ，则sinθ＝＝，∴tanθ＝，∴B1G与平面ABCD所成角的正切值为．故选：C．【点评】本题考查线面角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理推论证能力、运算求解能力，是中档题．12．（5分）杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡（1623﹣1662）是在1654年发现这一规律的．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，这是我国数学史上的一个伟大成就．如图，在“杨辉三角”中，去除所有为1的项．依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5…，则此数列前151项和为（）A．219﹣211B．218﹣211C．219﹣209D．218﹣209【分析】先阅读题意，再结合简单的合情推理可得解．【解答】解：去除所有为1的项后，由图可知前n行共有个数，当n＝17时，＝153，即前17行共有153个数，另第（n﹣1）行的和为+…+＝2n﹣2，所以前17行的和为（22﹣2）+（23﹣2）+…+（218﹣2）＝219﹣38，第17项的最后的两个数为，，故此数列前153项和为219﹣38﹣153﹣18＝219﹣209，故选：C．【点评】本题考查了阅读能力及进行简单的合情推理，属中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）将函数f（x）＝sin（4x﹣）的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g（x）的图象，则g（x）的最小正周期是π．【分析】先由图象的变化得到g（x）的解析式，再由正弦函数的周期性即可求出函数的最小正周期．【解答】解：将函数f（x）＝sin（4x﹣）的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g（x）＝sin（2x﹣）的图象，则g（x）的最小正周期是＝π，故答案为：π．【点评】本题主要考查三角函数的图象变换问题以及函数的周期，熟记三角函数的性质即可，属于常考题型．14．（5分）的展开式中的常数项为14．【分析】由二项式定理及其展开式的通项公式得：因为（﹣1）5的展开式的通项为T r+1＝（﹣1）r x r﹣5，则的展开式中的常数项为：3×（﹣1）4+（﹣1）5＝14，得解．【解答】解：因为（﹣1）5的展开式的通项为T r+1＝（﹣1）r x r﹣5，则的展开式中的常数项为：3×（﹣1）4+（﹣1）5＝14，故答案为：14．【点评】本题考查了二项式定理及其展开式的通项公式，属中档题．15．（5分）若直线y＝12x+m与曲线y＝x3﹣2相切，则m＝﹣18或14．【分析】求得y＝x3﹣2的导数，设切点为（s，t），可得切线的斜率，由切线方程可得s，m的方程组，解方程可得m的值．【解答】解：y＝x3﹣2的导数为y′＝3x2，直线y＝12x+m与曲线y＝x3﹣2相切，设切点为（s，t），可得3s2＝12，12s+m＝s3﹣2，即有s＝2，m＝﹣18；s＝﹣2，m＝14．故答案为：14或﹣18．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查直线方程的运用，以及方程思想和运算能力，属于基础题．16．（5分）过抛物线M：y2＝8x的焦点F作两条斜率之积为﹣2的直线l1，l2，其中l1交M 于A．C两点，l2交M于B，D两点，则|AC|+|BD|的最小值为24．【分析】依题意可设l1：y＝k（x﹣2），代入y2＝8x，得k2x2﹣（4k2+8）x+4k2＝0，根据韦达定理、抛物线的定义以及基本不等式可得．【解答】解：依题意可设l1：y＝k（x﹣2），代入y2＝8x，得k2x2﹣（4k2+8）x+4k2＝0，x A+x C＝，所以|AC|＝x A+x C+p＝8+，以﹣代k，得|BD|＝8+＝8+2k2，所以|AC|+|BD|＝16+2k2+≥16+2＝24，故答案为：24．【点评】本题考查了抛物线的性质，属中档题．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分．17．（12分）在△ABC中，3sin A＝2sin B，．（1）求cos2C；（2）若AC﹣BC＝1，求△ABC的周长．【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求cos2C＝的值，根据二倍角的余弦函数公式即可计算得解．（2）由正弦定理可得：3a＝2b，结合b﹣a＝1，即可解得a，b的值，由（1）可得cos C ＝，利用余弦定理可求c的值，即可得解△ABC的周长．【解答】解：（1）∵，∴cos2C＝＝，∴cos2C＝2cos2C﹣1＝2×﹣1＝﹣．（2）∵3sin A＝2sin B，∴由正弦定理可得：3a＝2b，又∵AC﹣BC＝1，即：b﹣a＝1，∴解得：a＝2，b＝3，∵由（1）可得：cos C＝，∴由余弦定理可得：c＝＝＝，∴△ABC的周长a+b+c＝5+．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的余弦函数公式，正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，P A⊥PC，AB⊥BC，AB＝BC，PB＝，AC＝2，∠P AC＝30°．（1）若M为AC的中点，证明：BM⊥平面P AC；（2）求二面角B﹣P A﹣C的余弦值．【分析】（1）推导出P A⊥PC，AB⊥BC，MP⊥MB，BM⊥AC，由此能证明BM⊥平面P AC．（2）法一：取MC的中点O，连结PO，取BC中点E，连结EO，以O为原点，OA，OE，OP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．法二：取P A的中点H，连结HM，HB，推导出HM∥PC，HM⊥P A，BM⊥平面P AC，则BH⊥P A，从而∠BHM为二面角B﹣P A﹣C的平面角，由此能求出二面角B﹣P A﹣C 的余弦值．【解答】证明：（1）∵P A⊥PC，AB⊥BC，∴MP＝MB＝AC＝1，∵MP2+MB2＝BP2，∴MP⊥MB，∵AB＝BC，M为AC的中点，∴BM⊥AC，又AC∩MP＝M，∴BM⊥平面P AC．解：（2）解法一：取MC的中点O，连结PO，取BC中点E，连结EO，∵P A⊥PC，∠P AC＝30°，∴MP＝MC＝PC＝1，又O为MC的中点，∴PO⊥AC，由（1）知平面P AC⊥平面ABC，平面P AC∩平面ABC＝AC，∴PO⊥平面ABC，以O为原点，OA，OE，OP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图，由题意知A（，0，0），B（），P（0，0，），＝（﹣），＝（1，﹣1，0），设平面APB的法向量＝（x，y，z），则，令x＝1，得＝（1，1，），平面P AC的法向量＝（0，1，0），cos＜＞＝，由图知二面角B﹣P A﹣C为锐角，∴二面角的余弦值为．解法二：取P A的中点H，连结HM，HB，∵M为AC的中点，∴HM∥PC，又P A⊥PC，∴HM⊥P A，由（1）知BM⊥平面P AC，则BH⊥P A，∴∠BHM为二面角B﹣P A﹣C的平面角，∵AC＝2，P A⊥PC，∠P AC＝30°，∴HM＝，又BM＝1，则tan∠BHM＝＝2，∴cos，即二面角B﹣P A﹣C的余弦值为．【点评】本题是有线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19．（12分）某大型工厂有5台大型机器在1个月中，1台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的．出现故障时需1名工人进行维修，每台机器出现故障的概率为．已知1名工人每月只有维修1台机器的能力，每台机器不出现故障或出现故障时有工人维修．就能使该厂获得10万元的利润，否则将亏损3万元．该工厂每月需支付给每名维修工人1.5万元的工资．（1）若每台机器在当月不出现故障或出现故障时有工人进行维修，则称工厂能正常运行若该厂只有2名维修工人，求工厂每月能正常运行的概率；（2）已知该厂现有4名维修工人．（1）记该厂每月获利为X万元，求X的分布列与数学期望；（i）以工厂每月获利的数学期望为决策依据，试问该厂是否应再招聘1名维修工人？【分析】（1）根据相互独立事件的概率公式计算出事故机器不超过2台的概率即可；（2）（i）求出X的可能取值及其对应的概率，得出X的分布列和数学期望；（ii）求出有5名维修工人时的工厂利润，得出结论．【解答】解：（1）因为该工厂只有2名维修工人，故要使工厂正常运行，最多只有2台大型机器出现故障．∴该工厂正常运行的概率为：（）5+••（）4+•（）2•（）3＝．（2）（i）X的可能取值有31，44，P（X＝31）＝（）5＝，P（X＝44）＝1﹣＝．∴X的分布列为：∴EX＝31×+44×＝．（ii）若工厂再招聘一名维修工人，则工厂一定能正常运行，工厂所获利润为5×10﹣1.5×5＝42.5万元，因为＞42.5，∴该厂是不应再招聘1名维修工人．【点评】本题考查了相互独立事件的概率计算，离散型随机变量的分布列与数学期望计算，属于中档题．20．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆C的一个焦点．点M（0，2），直线MF的斜率为．（1）求椭圆C的方程；（2）若过点M的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为N，且|AB|＝|MN|．求l的方程．【分析】（1）由题意，可得，解得，则b2＝a2﹣c2＝2，故椭圆C的方程为+＝1．（2）联立直线与椭圆，根据韦达定理和弦长公式可得．【解答】解：（1）由题意，可得，解得，则b2＝a2﹣c2＝2，故椭圆C的方程为+＝1．（2）当l的斜率不存在时，|AB|＝4，|MN|＝2，|AB|≠|MN|，不合题意，故l的斜率存在．设l的方程为y＝kx+2，联立，得（1+4k2）x2+16kx+8＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝﹣，x1x2＝，△＝（16k）2﹣32（1+4k2）＝128k2﹣32＞0，即k2＞，设N（x0，y0），则x0＝＝﹣，∵|AB|＝|MN|，∴|x1﹣x2|＝|x0﹣0|，则＝|x0|，即||＝，整理得k2＝＞．故k＝±，l的方程为y＝±x+2．【点评】本题考查了椭圆的性质，属中档题．21．（12分）已知函数f（x）＝lnx．（1）当a＞0时，讨论函数F（x）＝x2﹣（6+a）x+2af（x）的单调性；（2）设函数g（x）＝，若斜率为k的直线与函数y＝g′（x）的图象交于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）两点，证明：x1＜＜x2．【分析】（1）先对函数求导，然后根据导数与单调性的关系即可求解（2）先根据已知求出k＝，x1＜＜x2⇔x1＜＜x2⇔1＜，令t＝，（t＞1），要证明x1＜＜x2，只要证1，结合导数进行证明【解答】解：（1）∵F（x）＝x2﹣（6+a）x+2alnx，∴F′（x）＝3x﹣（6+a）+＝，（x＞0）令F′（x）＝0可得，x＝2或x＝①当即a＞6时，当x∪（0，2）时，F′（x）＞0，函数在（0，2），（）上单调递增当时，F′（x）＜0，函数在（2，）上单调递减②当a＝6时，F′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，即F（x）在（0，+∞）上单调递增③当0即0＜a＜6时，x∈（2，+∞）∪（0，）时，F′（x）＞0，函数在（0，），（2，+∞）上单调递增，在（）上单调递减，（2）g（x）＝＝xlnx，则y′＝1+lnx故k＝x1＜＜x2⇔x1＜＜x2⇔1＜令t＝，（t＞1）要证明x1＜＜x2，只要证1由t＞1可知lnt＞0，故只要证明lnt＜t﹣1＜tlnt（t＞1）①设h（t）＝t﹣1﹣lnt，t＞1，则h′（t）＝1﹣＞0，故h（t）在（1，+∞）上单调递增∴h（t）＞h（1）＝0即lnt＜t﹣1②设m（t）＝tlnt﹣（t﹣1），（t＞1），则m′（t）＝lnt＞0，故m（t）在（1，+∞）上单调递增∴m（t）＞m（1）＝0即t﹣1＜tlnt综上可得，x1＜＜x2．【点评】本题主要考查了导数知识的综合应用，体现了分类讨论思想的应用．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4一4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（α为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知点A的极坐标为．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）过A作曲线C的切线，切点为M，过O作曲线C的切线，切点为N，求．【分析】（1）由消去α得曲线C的直角坐标方程为：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1，即x2+y2﹣4x﹣6y+12＝0，由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，x2+y2＝ρ2得曲线C的极坐标方程为：ρ2﹣4ρcosθ﹣6ρsinθ+12＝0（2）利用勾股定理可得|AM|，|ON|，再求比值．【解答】解：（1）由消去α得曲线C的直角坐标方程为：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1，即x2+y2﹣4x﹣6y+12＝0，由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，x2+y2＝ρ2得曲线C的极坐标方程为：ρ2﹣4ρcosθ﹣6ρsinθ+12＝0（2）点A的极坐标为．所以点A的极坐标为A（0，3），|AC|＝2，|OC|＝＝，∴|AM＝＝，|ON|＝＝＝2，∴＝＝2．【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．[选修4一5：不等式选讲]（10分）23．已知函数f（x）＝||+|x+2a|．（1）若a＝1，证明：f（|x|）≥5；（2）若f（1）＜5a2，求a的取值范围．【分析】（1）利用基本不等式证明f（|x|）≥5；（2）即解不等式|a+1|+|1+2a|＜5a2，再利用分类讨论法解不等式得解．【解答】解：（1）证明：若a＝1，则，f（|x|）＝+1+|x|+2＝+|x|+3≥2+3＝5，当且仅当x＝±1时，等号成立，从而f（|x|）≥5（2）由f（1）＜5a2，得|a+1|+|1+2a|＜5a2，当a≤1时，﹣3a﹣2＜5a2，即5a2+3a+2＞0恒成立，则a≤﹣1；当﹣1＜a＜﹣时，﹣a＜5a2，则﹣1＜a＜﹣；当a≥﹣时，3a+2＜5a2，则﹣≤a或a＞1，综上，a的取值范围为（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）【点评】本题主要考查基本不等式，考查利用零点分类讨论法解不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．属中档题．。