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2021-2022学年高三数学(理科)月考试卷(含答案)

2021-2022学年高三数学(理科)月考试卷1.设{|1},{|ln(1)}A x y x B y y x ==-==+,则AB =( )A .{|1}x x >-B .{|1}x x ≤C .{|11}x x -<≤D .∅ 2.已知函数y f x =+()1定义域是[]-23,,则y f x =-()21的定义域( ) A .[]-37,B .[]-14,C .[]-55,D . []052, 3.命题“存在04,2<-+∈a ax x R x 使,为假命题”是命题“016≤≤-a ”的( ) A .充要条件 B .必要不充分条件C .充分不必要条件D .既不充分也不必要条件 4.若幂函数a mx x f =)(的图像经过点)21,41(A ,则它在点A 处的切线方程是( )A .02=-y xB .02=+y xC .0144=+-y xD .0144=++y x5.将函数sin(4)6y x π=-图象上各点的横坐标伸长到原的2倍,再向左平移4π个单位, 纵坐标不变,所得函数图象的一条对称轴的方程是( ) A 12x π=B. 6x π=C 3x π=D 12x π=-6.函数xxy 24cos =的图象大致是( )7.已知定义在R 上的偶函数,()f x 在0x ≥时,()ln(1)xf x e x =++,若()()1f a f a <-,则a 的取值范围是( )A .(),1-∞B .1(,)2-∞ C .1(,1)2D .()1,+∞ 8.下列四个命题:○1∃x ∈(0, +∞), (12)x <(13)x ; ○2∃x ∈(0, 1), log 12x >log 13x ;○3∀x ∈(0, +∞), (12)x >log 12x ;○4∀x ∈(0, 13), (12)x <log 13x. 其中真命题是( )A .○1○3B .○2○3C .○2○4D .○3○4Oyx Oyx Oy xO yxA B CD9.已知符号函数⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0,1,0,0,0,1)sgn(x x x x 则函数x x x f 2ln )sgn(ln )(-=的零点个数为( )A .1B .2C .3D .410.设奇函数()x f 在[]1,1-上是增函数,且()11-=-f ,当[]1,1-∈a 时, ()122+-≤at t x f 对所有的[]1,1-∈x 恒成立,则t 的取值范围是( ) A .22t -≤≤B .2t ≥或2t ≤-C .2t >或2t <-或0t =D . 2t ≥或2t ≤-或0t =11.已知函数)(x f 满足)1(11)(+=+x f x f ,当]1,0[∈x 时x x f =)(,函数m mx x f x g --=)()(在]1,1(-内有2个零点,则实数m 的取值范围是( )A .]21,0(B .]21,1(- C .),21[+∞ D .]21,(-∞12.定义一:对于一个函数()()f x x D ∈,若存在两条距离为d 的直线1m kx y +=和2m kx y +=,使得在D x ∈时,21)(m kx x f m kx +≤≤+ 恒成立,则称函数)(x f 在D 内有一个宽度为d 的通道. 定义二:若一个函数)(x f ,对于任意给定的正数ε,都存在一个实数0x ,使得函数)(x f 在),[0∞+x 内有一个宽度为ε的通道,则称)(x f 在正无穷处有永恒通道.下列函数①()ln f x x =,②sin ()x f x x=,③2()1f x x =-,④()xf x e -=, 其中在正无穷处有永恒通道的函数的个数为( ) A. 1 B.2 C. 3 D.4第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.在答题卷相应题目的答题区域内作答.13.若函数()xx k k x f 212⋅+-=在其定义域上为奇函数,则实数=k .14.定义在R 上的奇函数()f x 满足3()(),(2014)2,2f x f x f -=+=则(1)f -= . 15.已知命题p :关于x 的方程220x mx --=在[0,1]x ∈有解;命题221:()log (2)2q f x x mx =-+在[1,)x ∈+∞单调递增;若“p ⌝”为真命题,“p q ∨”是真命题,则实数m 的取值范围为 .16.对于函数[]sin ,0,2()1(2),(2,)2x x f x f x x π⎧∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩,有下列4个命题:①任取[)120,x x ∈+∞、,都有12()()2f x f x -≤恒成立;③函数()ln(1)y f x x =--有3个零点; ④对任意0x >,不等式2()f x x≤恒成立. 则其中所有真命题的序号是 .三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.在答题卷相应题目的答题区域内作答.17.(本小题满分10分)已知集合}2733|{≤≤=xx A ,}1log |{B 2>=x x .(1)分别求B A ,()R C B A ;(2)已知集合{}a x x C <<=1,若A C ⊆,求实数a 的取值集合.18.(本小题满分12分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,点11()A x y ,在单位圆O 上,xOA α∠=,且 62ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,. (1)若11cos()313πα+=-,求1x 的值; (2)若22()B x y ,也是单位圆O 上的点,且3AOB π∠=.过点A B 、分别做x 轴的垂线,垂足为C D 、,记AOC ∆的面积为1S ,BOD ∆的面积为2S .设()12f S S α=+,求函数()f α的最大值.19.(本小题满分12分)已知函数()x af x x b+=+(a 、b 为常数). (1)若1=b ,解不等式(1)0f x -<; (2)若1a =,当[]1,2x ∈-时,21()()f x x b ->+恒成立,求b 的取值范围.20.(本小题满分12分)如图,在三棱台DEF ABC -中,2,,AB DE G H =分别为,AC BC 的中点.(Ⅰ)求证://BD 平面FGH ;(Ⅱ)若CF ⊥平面ABC ,,AB BC CF DE ⊥=,45BAC ∠=,求平面FGH 与平面ACFD 所成角(锐角)的大小. xyOAB C D21.(本题满分12分)如图,O 为坐标原点,点F 为抛物线C 1:)0(22>=p py x 的焦点,且抛物线C 1上点P 处的切线与圆C 2:122=+y x 相切于点Q .(Ⅰ)当直线PQ 的方程为02=--y x 时,求抛物线C 1的方程; (Ⅱ)当正数p 变化时,记S 1 ,S 2分别为△FPQ ,△FOQ 的面积,求21S S的最小值.22.(本小题满分12分)已知函数()()3221ln 2f x a x x a a x =+-+(R a ∈),()223ln 2g x x x x x =--.(Ⅰ)求证:()g x 在区间[]2,4上单调递增;(Ⅱ)若2a ≥,函数()f x 在区间[]2,4上的最大值为()G a ,求()G a 的解析式,并判断()G a 是否有最大值和最小值,请说明理由(参考数据:0.69ln 20.7<<)参考答案一、 选择题(每小题5分,共60分)二、填空题(每小题5分,共20分)13. 1± 14.2- 15. 31,4⎛⎫- ⎪⎝⎭16.○1○3○4 三、解答题(共70分) 17. (1)3327x ≤≤即13333x ≤≤,13x ∴≤≤,∴{}31≤≤=x x A ,2log 1x >,即22log log 2x >,2x ∴>∴{}2B x x =>,{}|23A B x x ∴⋂=<≤;{}2R C B x x =≤,{}|3R C B A x x ∴⋃=≤(2)由(1)知{}31≤≤=x x A ,当A C ⊆当C为空集时,1a ≤当C 为非空集合时,可得 31≤<a 综上所述3a ≤18. (1)由三角函数的定义有1cos x α=,∵11cos()()31362πππαα+=-∈,,, ∴sin()3πα+=, ∴ 1cos cos ()33x ππαα⎡⎤==+-⎢⎥⎣⎦cos()cos sin()sin 3333ππππαα=+++ 111113226=-⋅+=. (2)由1sin y α=,得111111cos sin sin 2224S x y ααα===.由定义得2cos()3x πα=+,2sin()3y πα=+,又5()()62326πππππαα∈+∈由,,得,,于是,22211cos()sin()2233Sx y ππαα=-=-++12sin(2)43πα=-+∴ 12112()sin 2sin(2)443f S S πααα=+=-+=1122sin 2(sin 2cos cos 2sin )4433ππααα-+ =3sin 228αα-12cos 2)2αα-)6πα-,5()2()62666πππππαα∈-∈由,,可得,,262ππα-=于是当,即max ()3f παα==时,. 19. (1)∵()x a f x x b +=+,1=b ,∴()1x af x x +=+,∴()()11(1)11x a x a f x x x -+-+-==-+,∵(1)0f x -<,∴10x ax-+<,等价于()10x x a --<⎡⎤⎣⎦, ①10a ->,即1a <时,不等式的解集为:(0,1)a -, ②当10a -=,即1a =时,不等式的解集为:∅, ③当01<-a ,即1>a 时,不等式的解集为:(1,0)a -,(2)∵1a =,21()()f x x b ->+, ∴211()(1)1()x x b x x b x b +->⇔++>-++ (※) 显然x b ≠-,易知当1x =-时,不等式(※)显然成立; 由[]1,2x ∈-时不等式恒成立,当12x -<≤时,111(1)11b x x x x >--=-++++, ∵10x +>,∴()1121x x ++≥=+, 故1b >-. 综上所述,1b >-.20. (Ⅰ)证明:连接DG ,DC ,设DC 与GF 交于点T .在三棱台DEF ABC -中,2,AB DE =则2,AC DF =而G 是AC 的中点,DF//AC ,则//DF GC ,所以四边形DGCF 是平行四边形,T 是DC 的中点, 又在BDC ∆,H 是BC 的中点,则TH//DB ,又BD ⊄平面FGH ,TH ⊂平面FGH ,故//BD 平面FGH ;(Ⅱ)由CF ⊥平面ABC ,可得DG ⊥平面ABC 而,45,AB BC BAC ⊥∠= 则GB AC ⊥,于是,,GB GA GD 两两垂直,以点G 为坐标原点,,,GA GB GD 所在的直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系,设2AB=,则1,DE CF AC AG ====(((22B C F H -,则平面ACFD 的一个法向量为1(0,1,0)n =,设平面FGH 的法向量为2222(,,)n x y z =,则220n GH n GF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即22220220x y z -=⎪⎨⎪+=⎩,取21x =,则221,y z ==2n =,121cos ,2n n <>==,故平面FGH 与平面ACFD 所成角(锐角)的大小为60.21. (Ⅰ)设点)2,(200p x x P ,由)0(22>=p py x 得,p x y 22=,求导px y =', ……2分因为直线PQ 的斜率为1,所以10=px 且022200=--p x x ,解得22=p , 所以抛物线C 1 的方程为y x 242=.(Ⅱ)因为点P 处的切线方程为:)(20020x x px p x y -=-,即022200=--x py x x , 根据切线又与圆相切,得r d =,即14422020=+-p x x ,化简得2204044p x x +=, 由04420402>-=x x p ,得20>x ,由方程组200222201x x py x x y ⎧--=⎪⎨+=⎪⎩,解得)24,2(200p x x Q -,所以20000||2(2)2P Q x PQ x x x p=-=-=-,点)2,0(pF 到切线PQ的距离是204x d ===,所以32010||1(2)216x S PQ d x p=⋅=-,02221x px OF S Q ==,所以424200001242200(2)(2)82(4)x x x x S S p x x --==-32234424)4(2)2(2020202020+≥+-+-=--=x x x x x , 当且仅当44242020-=-x x 时取“=”号,即2242+=x ,此时,222+=p , 所以21S S 的最小值为223+. 22. (Ⅰ)证明:∵22()3ln 2g x x x x x =--,∴()6ln 1g x x x x '=--, 设()6ln 1h x x x x =--,则()6ln 5h x x '=+,∴当24x <<时,()0h x '>,∴()h x 在区间(2,4)上单调递增.∵(2)3(4ln 21)0h =->,∴当24x <<时,()(2)0h x h >>. ∴()g x 在区间[2,4]上单调递增. (Ⅱ)∵3221()ln ()2f x a x x a a x =+-+(a ∈R ), ∴()f x 的定义域是(0,)+∞,且32()()a f x x a a x '=+-+,即2()()()x a x a f x x--'=. ∵a ≥2,∴2a a <,当x 变化时,()f x 、()f x '变化情况如下表:∴当24a ≤≤时,24a ≥,()f x 在区间[2,4]上的最大值是3321()ln 2f a a a a a =--. 当4a >时,()f x 在区间[2,4]上的最大值为32(4)2ln 2448f a a a =--+.即 332321ln (24),()22ln 2448(4).a a a a a G a a a a a ⎧--≤≤⎪=⎨⎪--+>⎩ (1)当24a <<时,22()3ln 2G a a a a a '=--.由(Ⅰ)知,()G a '在(2,4)上单调递增.又(2)2(6ln 25)0G '=-<,(4)12(8ln 23)0G '=->,∴存在唯一0(2,4)a ∈,使得0()0G a '=,且当02a a <<时,()0G a '<,()G a 单调递减,当04a a <<时()0G a '>,()G a 单调递增.∴当24a ≤≤时,()G a 有最小值0()G a . (2)当4a >时,2228()6ln 2846ln 2()43ln 23ln 2G a a a a '=--=---, ∴()G a '在(4,)+∞单调递增.又(4)12(8ln 23)0G '=->, ∴当4a >时,()0G a '>.∴()G a 在(4,)+∞上单调递增. 综合(1)(2)及()G a 解析式可知,()G a 有最小值,没有最大。

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