河北省唐山市乐亭一中2024年高三下学期5月月考数学试题理试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设双曲线22221y x a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线与抛物线213y x =+有且只有一个公共点，且椭圆22221x y a b +=的焦距为2，则双曲线的标准方程为（ ）A ．22143x y -= B ．22143y x -= C ．22123x y -= D ．22132y x -= 2．设函数()f x 的定义域为R ，满足(2)2()f x f x +=，且当2(]0,x ∈时，()(2)f x x x =--.若对任意(,]x m ∈-∞，都有40()9f x ≤，则m 的取值范围是（ ）. A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．19,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C ．(,7]-∞ D ．23,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦3．下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递减的是（ ）A ．12y x =B ．2x y =C ．12log y = xD ．1y x=- 4．在关于x 的不等式2210ax x ++>中，“1a >”是“2210ax x ++>恒成立”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若1a =，30B =︒，cos C =ABC 的面积为（ ）A B C D 6．设集合{}2A x x a =-<<，{}0,2,4B =，若集合A B 中有且仅有2个元素，则实数a 的取值范围为 A ．()0,2B ．(]2,4C ．[)4,+∞ D ．(),0-∞7．已知,a b ∈R ，3(21)ai b a i +=--，则|3|a bi +=（ ）A ．10B ．23C ．3D ．48．若复数z 满足()112i z i -=-+,则||Z =( )A ．22B ．32C ．102D ．129．设集合{}1,2,3A =，{}220B x x x m =-+=，若{3}A B ⋂=，则B =（ ） A ．{}1,3- B ．{}2,3- C ．{}1,2,3-- D ．{}310．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若111,,tan tan tan A B C 依次成等差数列，则（ ） A ．,,a b c 依次成等差数列B ．,,a b c 依次成等差数列C ．222,,a b c 依次成等差数列D ．333,,a b c 依次成等差数列11．若干年前，某教师刚退休的月退休金为6000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图.该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为（ ）.A ．6500元B ．7000元C ．7500元D ．8000元12．单位正方体ABCD -1111D C B A ，黑、白两蚂蚁从点A 出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段”．白蚂蚁爬地的路线是AA 1→A 1D 1→‥，黑蚂蚁爬行的路线是AB →BB 1→‥，它们都遵循如下规则：所爬行的第i +2段与第i 段所在直线必须是异面直线（i ∈N *）.设白、黑蚂蚁都走完2020段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、白两蚂蚁的距离是（ ）A ．1B 2C 3D ．0二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知盒中有2个红球，2个黄球，且每种颜色的两个球均按A ，B 编号，现从中摸出2个球（除颜色与编号外球没有区别），则恰好同时包含字母A ，B 的概率为________.14．根据如图所示的伪代码，若输出的y 的值为12，则输入的x 的值为_______.15．某校共有师生1600人，其中教师有1000人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为80的样本，则抽取学生的人数为_____．16．已知命题P ：0x ∀>，30x >，那么P 是__________. 三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）设函数()1f x x x=-，()ln g x t x =，其中()0,1x ∈，t 为正实数. （1）若()f x 的图象总在函数()g x 的图象的下方，求实数t 的取值范围；（2）设()()()221ln 1e 11x H x x x x x ⎛⎫=-++-- ⎪⎝⎭，证明：对任意()0,1x ∈，都有()0H x >. 18．（12分）设数列的前项和为，且，数列满足，点在上，（1）求数列，的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 19．（12分）已知动圆过定点(0,1)F ，且与直线:1l y =-相切，动圆圆心的轨迹为C ，过F 作斜率为(0)k k ≠的直线m 与C 交于两点,A B ，过,A B 分别作C 的切线，两切线的交点为P ，直线PF 与C 交于两点,M N ．（1）证明：点P 始终在直线l 上且PF AB ⊥；（2）求四边形AMBN 的面积的最小值．20．（12分）已知点3(1,),(1,),(1,)2P a x y b x y =-=+，且4a b +=，满足条件的(,)Q x y 点的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）是否存在过点(0,1)-的直线l ，直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，直线,PA PB 与y 轴分别交于,M N 两点，使得PM PN ＝？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知3()22sin()sin()2f x x x x ππ=++-，x ∈R ， （1）求()f x 的最小正周期及单调递增区间；（2）已知锐角ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()f A =3a =，求BC 边上的高的最大值．22．（10分）已知函数2()ln ()f x x x ax a =-+∈R .（1）若()0f x ≤恒成立，求a 的取值范围；（2）设函数()f x 的极值点为0x ，当a 变化时，点00(,())x f x 构成曲线M ，证明：过原点的任意直线y kx =与曲线M 有且仅有一个公共点.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B【解题分析】设双曲线的渐近线方程为y kx =，与抛物线方程联立，利用0∆=，求出k 的值，得到a b的值，求出,a b 关系，进而判断,a b 大小，结合椭圆22221x y a b+=的焦距为2，即可求出结论. 【题目详解】设双曲线的渐近线方程为y kx =， 代入抛物线方程得2103x kx -+=， 依题意240,3k k ∆=-==a ab b ∴==>，∴椭圆22221x y a b+=的焦距2222a b -=， 22222411,3,433b b b b a -====， 双曲线的标准方程为22143y x -=. 故选:B.【题目点拨】本题考查椭圆和双曲线的标准方程、双曲线的简单几何性质，要注意双曲线焦点位置，属于中档题.2、B【解题分析】求出()f x 在(2,22]x n n ∈+的解析式，作出函数图象，数形结合即可得到答案.【题目详解】当(2,22]x n n ∈+时，2(0,2]x n -∈，()2(2)2(2)(22)n nf x f x n x n x n =-=----， max ()2n f x =，又40489<<，所以m 至少小于7，此时3()2(6)(8)f x x x =---， 令40()9f x =，得3402(6)(8)9x x ---=，解得193x =或233x =，结合图象，故193m ≤. 故选：B.【题目点拨】本题考查不等式恒成立求参数的范围，考查学生数形结合的思想，是一道中档题.3、C【解题分析】由每个函数的单调区间，即可得到本题答案.【题目详解】因为函数12,2x y x y ==和1y x=-在(0,)+∞递增，而12log y x =在(0,)+∞递减. 故选：C【题目点拨】本题主要考查常见简单函数的单调区间，属基础题.4、C【解题分析】 讨论当1a >时，2210ax x ++>是否恒成立；讨论当2210ax x ++>恒成立时，1a >是否成立，即可选出正确答案.【题目详解】解：当1a >时，440a ∆=-<，由221y ax x =++开口向上，则2210ax x ++>恒成立；当2210ax x ++>恒成立时，若0a =，则210x +> 不恒成立，不符合题意，若0a ≠ 时，要使得2210ax x ++>恒成立，则0440a a >⎧⎨∆=-<⎩ ，即1a > .所以“1a >”是“2210ax x ++>恒成立”的充要条件.故选:C.【题目点拨】本题考查了命题的关系，考查了不等式恒成立问题.对于探究两个命题的关系时，一般分成两步，若p q ⇒，则推出p 是q 的充分条件；若q p ⇒，则推出p 是q 的必要条件.5、A【解题分析】先求出sin A ，由正弦定理求得c ，然后由面积公式计算．【题目详解】由题意sin 7C ==，1sin sin()sin cos cos sin (27A B C B C B C =+=+=⨯+= 由sin sin a b A B =得sin sin a B b A ===11sin 12272S ab C ===⨯=．故选：A ．【题目点拨】本题考查求三角形面积，考查正弦定理，同角间的三角函数关系，两角和的正弦公式与诱导公式，解题时要根据已知求值要求确定解题思路，确定选用公式顺序，以便正确快速求解．6、B【解题分析】由题意知{}02A ⊆，且4A ∉，结合数轴即可求得a 的取值范围. 【题目详解】由题意知，{}=02A B ，，则{}02A ⊆，，故2a >，又4A ∉，则4a ≤，所以24a <≤，所以本题答案为B.【题目点拨】本题主要考查了集合的关系及运算，以及借助数轴解决有关问题，其中确定A B 中的元素是解题的关键，属于基础题.7、A【解题分析】根据复数相等的特征，求出3a 和b ，再利用复数的模公式，即可得出结果.【题目详解】 因为3(21)ai b a i +=--，所以3,(21),b a a =⎧⎨--=⎩， 解得3,31,b a =⎧⎨=⎩则|3|13a bi i +=+==故选：A.【题目点拨】本题考查相等复数的特征和复数的模，属于基础题.8、C【解题分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的除法运算化简，再由复数模的计算公式求解．【题目详解】解：由()112i z i -=-+，得()()()()121123111122i i i z i i i i -++-+===-+--+，∴2z z ===． 故选C ．【题目点拨】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．9、A【解题分析】根据交集的结果可得3是集合B 的元素，代入方程后可求m 的值，从而可求B .【题目详解】依题意可知3是集合B 的元素，即23230m -⨯+=，解得3m =-，由2230x x --=，解得1,3x =-.【题目点拨】本题考查集合的交，注意根据交集的结果确定集合中含有的元素，本题属于基础题.10、C【解题分析】 由等差数列的性质、同角三角函数的关系以及两角和的正弦公式可得2sin 2cos sin sin B B A C=，由正弦定理可得22cos a B b =，再由余弦定理可得2222a c b +=，从而可得结果.【题目详解】 111,,tan tan tan A B C依次成等差数列，()sin +112cos sin sin cos sin 2cos ,==tan tan tan sin sin sin sin sin sin sin A C A C A C B B A C B A C A C A C B+∴+==， 2sin 2cos sin sin B B A C= 正弦定理得22cos a B b =， 由余弦定理得2222a c b b +-= ，2222a c b +=，即222,,a b c 依次成等差数列，故选C.【题目点拨】本题主要考查等差数列的定义、正弦定理、余弦定理，属于难题. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．11、D【解题分析】设目前该教师的退休金为x元，利用条形图和折线图列出方程，求出结果即可．【题目详解】设目前该教师的退休金为x元，则由题意得：6000×15%﹣x×10%＝1．解得x＝2．故选D．【题目点拨】本题考查由条形图和折线图等基础知识解决实际问题，属于基础题．12、B【解题分析】根据规则，观察黑蚂蚁与白蚂蚁经过几段后又回到起点，得到每爬1步回到起点，周期为1．计算黑蚂蚁爬完2020段后实质是到达哪个点以及计算白蚂蚁爬完2020段后实质是到达哪个点，即可计算出它们的距离．【题目详解】由题意,白蚂蚁爬行路线为AA1→A1D1→D1C1→C1C→CB→BA，即过1段后又回到起点，可以看作以1为周期，÷=，由202063364白蚂蚁爬完2020段后到回到C点；同理,黑蚂蚁爬行路线为AB→BB1→B1C1→C1D1→D1D→DA，黑蚂蚁爬完2020段后回到D1点，2.故选B.【题目点拨】本题考查多面体和旋转体表面上的最短距离问题，考查空间想象与推理能力，属于中等题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。