(时间：120分钟；满分：150分)一、选择题(本大题共12小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.若a ＝(2x ，1，3)，b ＝(1，－2y ，9)，如果a 与b 为共线向量，则( )A ．x ＝1，y ＝1B ．x ＝12，y ＝－12C ．x ＝16，y ＝－32D ．x ＝－16，y ＝32答案：C2.向量a ，b 与任何向量都不能构成空间的一个基底，则( ) A ．a 与b 共线 B ．a 与b 同向 C ．a 与b 反向 D ．a 与b 共面解析：选A.∵a ，b 不能与任何向量构成空间基底，故a 与b 一定共线． 3.已知向量a ＝(0，2，1)，b ＝(－1，1，－2)，则a 与b 的夹角为( ) A ．0° B ．45° C ．90° D ．180°解析：选C.已知a ＝(0，2，1)，b ＝(－1，1，－2)， 则cos 〈a ，b 〉＝0，从而得出a 与b 的夹角为90°.4.已知A (1，2，1)，B (－1，3，4)，C (1，1，1)，AP →＝2PB →，则|PC →|为( )A.773B. 5C.779D.779解析：选A.设P (x ，y ，z )，由AP →＝2PB →得： (x －1，y －2，z －1)＝2(－1－x ，3－y ，4－z )，∴x ＝－13，y ＝83，z ＝3，即P ⎝⎛⎭⎫－13，83，3，∴PC →＝⎝⎛⎭⎫43，－53，－2， ∴|PC →|＝773.故选A.5.如图，已知空间四边形OABC 中，M 、N 分别是对边OA 、BC 的中点，点G 在MN 上，且MG ＝2GN ，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，现用基底{a ，b ，c }表示向量OG →，OG →＝x a ＋y b ＋z c ，则x ，y ，z 的值分别为( )A ．x ＝13，y ＝13，z ＝13B ．x ＝13，y ＝13，z ＝16C ．x ＝13，y ＝16，z ＝13D ．x ＝16，y ＝13，z ＝13解析：选D.由线段中点的向量表达式，得OG →＝OM →＋MG →＝OM →＋23MN →＝12OA →＋23(MO →＋OC →＋CN →)＝12a ＋23⎣⎡⎦⎤－12a ＋c ＋12（b －c ） ＝12a －13a ＋23c ＋13b －13c ＝16a ＋13b ＋13c ，∴x ＝16，y ＝13，z ＝13. 6.在以下命题中，不正确的个数为( ) ①|a |－|b |＝|a ＋b |是a ，b 共线的充要条件； ②若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb ；③对空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若OP →＝2OA →－2OB →－OC →，则P ，A ，B ，C 四点共面；④若{a ，b ，c }为空间的一个基底，则{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }构成空间的另一个基底； ⑤|(a·b )·c |＝|a |·|b |·|c |. A ．2 B ．3 C ．4 D ．5解析：选C.①|a |－|b |＝|a ＋b |⇒a 与b 的夹角为π，故是充分不必要条件，故不正确；②b 需为非零向量，故不正确；③因为2－2－1≠1，由共面向量定理知，不正确；④由基底的定义知正确；⑤由向量的数量积的性质知，不正确，故选C.7.如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E 、F 分别是棱AB 、BB 1的中点，则直线EF 与BC 1所成的角是( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°解析：选B.以点B 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设各棱长为2，则E (0，1，0)，F (0，0，1)，C 1(2，0，2)，B (0，0，0)则EF →＝(0，－1，1)，BC 1→＝(2，0，2)，∴cos 〈EF →，BC 1→〉＝22×22＝12，∴〈EF →，BC 1→〉＝60°，所以直线EF 与BC 1所成的角为60°.8.已知ABCD 是一个四面体，O 为△BCD 内一点，则“AO →＝13(AB →＋AC →＋AD →)”是“O为△BCD 的重心”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.设BC 中点为E ，若O 为△BCD 的重心，则AO →＝AE →＋13ED →，AE →＝12(AB →＋AC →)，又∵ED →＝AD →－AE →，∴AO →＝AE →＋13(AD →－AE →)＝23AE →＋13AD →＝13(AB →＋AC →＋AD →)．故选C.9.已知A (－4，6，－1)、B (4，3，2)，则下列各向量中是平面AOB 的一个法向量的是( ) A ．(0，1，6)B ．(－1，2，－1)C ．(－15，4，36)D ．(15，4，－36)解析：选D.设法向量为(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧－4x ＋6y －z ＝0，4x ＋3y ＋2z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝154y ，z ＝－9y .令y ＝4，则得法向量(15，4，－36)． 10.四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4，2，0)，AP →＝(－1，2，－1)，则P A 与底面ABCD 的关系是( )A ．相交B ．垂直C ．不垂直D ．成60°角解析：选B.∵AP →·AB →＝0，AP →·AD →＝0，∴PA ⊥AB ，PA ⊥AD ，又AB ∩AD ＝A .∴PA ⊥平面ABCD .11.已知正四棱锥S -ABCD 的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE 与平面SBC 所成的角的余弦值为( )A.223B.13C.33D.23解析：选B.设AE 与平面SBC 所成的角为θ，以底面中心O 为原点，以射线OA 为x 轴，以射线OB 为y 轴，以射线OS 为z 轴，建立空间直角坐标系，设底面边长为2，则A (1，0，0)，B (0，1，0)，C (－1，0，0)，S (0，0，1)，E ⎝⎛⎭⎫0，12，12，所以BC →＝(－1，－1，0)，SB→＝(0，1，－1)，EA →＝⎝⎛⎭⎫1，－12，－12，设平面SBC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BC →＝0，n ·SB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x －y ＝0，y －z ＝0，令x ＝1，所以n ＝(1，－1，－1)，因为cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝EA →·n |EA →||n |＝223，所以cos θ＝13.故选B.12.如图所示，在四面体PABC 中，PC ⊥平面ABC ，AB ＝BC ＝CA ＝PC ，那么二面角B -AP -C的余弦值为( )A.22B.33 C.77 D.57解析：选C.如图所示，作BD ⊥AP 于D ，作CE ⊥AP 于E . 设AB ＝1，则易得CE ＝22，EP ＝22，PA ＝PB ＝2，可以求得BD ＝144，ED ＝24，因为BC →＝BD →＋DE →＋EC →，所以BC 2＝BD 2＋DE 2＋EC 2＋2BD →·DE →＋2DE →·EC →＋2EC →·BD →，所以EC →·BD →＝－14，所以cos 〈BD →，EC →〉＝－77，由图知，二面角B －AP －C 的余弦值为77.故选C.二、填空题(本大题共4小题．把答案填在题中横线上)13.若a ＝(2，－3，5)，b ＝(－3，1，－4)，则|a －2b |＝________． 解析：∵a －2b ＝(8，－5，13)，∴|a －2b |＝ 82＋（－5）2＋132＝258. 答案：25814.已知a ＝(1，2，－2)，若|b |＝2|a |，且a ∥b ，则b ＝________． 解析：∵a ∥b ，∴b ＝λa ＝(λ，2λ，－2λ)(λ∈R )， 又|b |＝2|a |，∴λ＝±2，∴b ＝(2，4，－4)或b ＝(－2，－4，4)． 答案：(2，4，－4)或(－2，－4，4)15.如图，在空间四边形ABCD 中，AC 和BD 为对角线，G 为△ABC 的重心，E 是BD上一点，BE ＝3ED ，以{AB →，AC →，AD →}为基底，则GE →＝________．解析：GE →＝AE →－AG →＝AD →＋DE →－23AM →＝AD →＋14→－13(AB →＋AC →)＝AD →＋14→－14AD →－13AB →－13AC →＝－112AB →－13AC →＋34AD →.答案：－112AB →－13AC →＋34AD →16.如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，B 1C 和C 1D 与底面所成的角分别为60°和45°，则异面直线B 1C 和C 1D 所成角的余弦值为________．解析：利用空间直角坐标系转化为求向量B 1C →与C 1D →的夹角．建立如图所示的空间直角坐标系，可知∠CB 1C 1＝60°，∠DC 1D 1＝45°. 设B 1C 1＝1，则CC 1＝3＝DD 1， ∴C 1D 1＝3，可知B 1(3，0，0)，C (3，1，3)，C 1(3，1，0)，D (0，1，3)， ∴B 1C →＝(0，1，3)，C 1D →＝(－3，0，3)，∴cos 〈B 1C →，C 1D →〉＝B 1C →·C 1D →|B 1C →||C 1D →|＝326＝64.答案：64三、解答题(本大题共6小题．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.设a ＝(1，5，－1)，b ＝(－2，3，5)． (1)当(λa ＋b )∥(a －3b )时，求λ的值； (2)当(a －3b )⊥(λa ＋b )时，求λ的值．解：(1)∵a ＝(1，5，－1)，b ＝(－2，3，5)， ∴a －3b ＝(1，5，－1)－3(－2，3，5)＝(1，5，－1)－(－6，9，15)＝(7，－4，－16)．λa ＋b ＝λ(1，5，－1)＋(－2，3，5)＝(λ，5λ，－λ)＋(－2，3，5)＝(λ－2，5λ＋3，－λ＋5)．∵(λa ＋b )∥(a －3b )，∴λ－27＝5λ＋3－4＝－λ＋5－16，解得λ＝－13.(2)由(a －3b )⊥(λa ＋b ) ⇔(7，－4，－16)·(λ－2，5λ＋3，－λ＋5)＝0⇔7(λ－2)－4(5λ＋3)－16(－λ＋5)＝0，解得λ＝1063.18.已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外一点，M 、N 分别为PC 、PD 上的点，且M 分PC 成定比2，N 为PD 的中点，求满足MN →＝xAB →＋yAD →＋zAP →的实数x ，y ，z 的值．解：法一：如图所示，取PC 的中点E ，连接NE ，则EN →＝12CD →＝12BA →＝－12AB →.EM →＝PM →－PE →＝23PC →－12PC →＝16PC →. 连接AC ，则PC →＝AC →－AP →＝AB →＋AD →－AP →，∴MN →＝EN →－EM →＝－12AB →－16(AB →＋AD →－AP →)＝－23AB →－16AD →＋16AP →.∵AB →、AD →、AP →不共面，∴x ＝－23，y ＝－16，z ＝16.法二：MN →＝PN →－PM →＝12PD →－23PC →＝12(PA →＋AD →)－23(PA →＋AC →) ＝－12AP →＋12AD →－23(－AP →＋AB →＋AD →)＝－23AB →－16AD →＋16AP →，∵AB →、AD →、AP →不共面，∴x ＝－23，y ＝－16，z ＝16.19.在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，以A 为端点的三条棱长均为1，且两两夹角为π3.(1)求AC 1的长；(2)求AC 1与面ABCD 所成角的余弦值．解：(1)AC 1→＝AA 1→＋AB →＋AD →， AC 1→2＝(AA 1→＋AB →＋AD →)2，∵〈AA 1→，AD →〉＝〈AB →，AD →〉＝〈AA 1→，AB →〉＝π3，∴(AC 1→)2＝6，∴|AC 1→|＝ 6.(2)∵∠A 1AD ＝∠A 1AB ，∴AC 1在底面的射影为AC ， 则∠C 1AC 即为AC 1与面ABCD 所成的角．cos ∠C 1AC ＝cos 〈AC 1→，AC →〉＝AC 1→·AC →|AC 1→||AC →|＝（AA 1→＋AB →＋AD →）·（AB →＋AD →）6·|AC →|，AC 2→＝(AB →＋AD →)2＝3，∴cos ∠C 1AC ＝223.20.如图，四面体ABCD 中，O 是BD 的中点，CA ＝CB ＝CD ＝BD ＝2，AB ＝AD ＝ 2.(1)求证：AO ⊥平面BCD ；(2)求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值． 解：(1)证明：连接OC ，∵BO ＝DO ，AB ＝AD ，∴AO ⊥BD . ∵BO ＝DO ，BC ＝CD ，∴CO ⊥BD .在△AOC 中，由已知可得AO ＝1，CO ＝ 3.而AC ＝2， ∴AO 2＋CO 2＝AC 2，∴∠AOC ＝90°，即AO ⊥OC .∵BD ∩OC ＝O ，∴AO ⊥平面BCD . (2)以O 为原点，如图建立空间直角坐标系，则B (1，0，0)，D (－1，0，0)，C (0，3，0)，A (0，0，1)，BA →＝(－1，0，1)，CD →＝(－1，－3，0)，∴cos 〈BA →，CD →〉＝BA →·CD →|BA →||CD →|＝24，∴异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为24.21.如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，H 是正方形AA 1B 1B 的中心，AA 1＝22，C 1H ⊥平面AA 1B 1B ，且C 1H ＝ 5.(1)求异面直线AC 与A 1B 1所成角的余弦值； (2)求二面角A -A 1C 1­B 1的正弦值．解：如图所示，建立空间直角坐标系，点B 为坐标原点．依题意得A (22，0，0)，B (0，0，0)，C (2，－2，5)，A 1(22，22，0)，B 1(0，22，0)，C 1(2，2，5)．(1)易得AC →＝(－2，－2，5)，A 1B 1→＝(－22，0，0)，于是cos 〈AC →，A 1B 1→〉＝AC →·A 1B 1→|AC →||A 1B 1→|＝43×22＝23， 所以异面直线AC 与A 1B 1所成角的余弦值为23. (2)易知AA 1→＝(0，22，0)，A 1C 1→＝(－2，－2，5)．设平面AA 1C 1的法向量m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·A 1C 1→＝0，m ·AA 1→＝0，即⎩⎨⎧－2x －2y ＋5z ＝0，22y ＝0.不妨令x ＝5，可得m ＝(5，0，2)．同样地，设平面A 1B 1C 1的法向量n ＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1C 1→＝0，n ·A 1B 1→＝0，即⎩⎨⎧－2x 1－2y 1＋5z 1＝0，－22x 1＝0.不妨令y 1＝5，可得n ＝(0，5，2)，于是cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝27×7＝27，从而sin 〈m ，n 〉＝357 所以二面角A -A 1C 1­B 1的正弦值为357.22.如图，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，P A ⊥底面ABCD ，PA ＝AB ＝6，点E是棱PB 的中点．(1)求直线AD 与平面PBC 的距离； (2)若AD ＝3，求二面角A -EC -D 的平面角的余弦值．解：(1)如图，以A 为坐标原点，射线AB 、AD ，AP 分别为x 轴、y 轴，z 轴正半轴，建立空间直角坐标系Axyz .设D (0，a ，0)，则B (6，0，0)，C (6，a ，0)，P (0，0，6)，E ⎝⎛⎭⎫62，0，62.因此，AE →＝⎝⎛⎭⎫62，0，62，BC →＝(0，a ，0)，PC →＝(6，a ，－6)． 则AE →·BC →＝0，AE →·PC →＝0，所以AE ⊥平面PBC .又由AD ∥BC 知AD ∥平面PBC ，故直线AD 与平面PBC 的距离为点A 到平面PBC 的距离，即为|AE →|＝ 3.(2)设平面AEC 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， ∵AE →＝⎝⎛⎭⎫62，0，62，AC →＝(6，3，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧62x 1＋62z 1＝0，6x 1＋3y 1＝0.令x 1＝－1，得y 1＝2，z 1＝1，∴n 1＝(－1，2，1)．设平面EDC 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)， ∵EC →＝⎝⎛⎭⎫62，3，－62，CD →＝(－6，0，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧62x 2＋3y 2－62z 2＝0，－6x 2＝0，令z 2＝2，得y 2＝1.∴n 2＝(0，1，2)．故cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝63.所以二面角A -EC -D 的平面角的余弦值为63.。