《第三章函数的应用》章末检测题及答案一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数y＝x2－2x－3的零点是()A．1，－3B．3，－1C．1,2 D．不存在答案 B解析方程x2－2x－3＝0的解是x1＝3，x2＝－1，因此函数y＝x2－2x－3的零点是－1,3，故选B.2．下列函数图像与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是下图中的()答案 C解析C中图像中的零点两侧的函数值为同号．3．方程x－1＝lg x必有一个根的区间是()A．(0.1,0.2) B．(0.2,0.3)C．(0.3,0.4) D．(0.4,0.5)答案 A解析 设f (x )＝lg x －x ＋1，则f (0.1)＝lg0.1－0.1＋1＝－0.1<0，f (0.2)＝lg0.2－0.2＋1≈0.1>0，f (0.1)f (0.2)<0，选A.4．若函数f (x )＝x 2＋2x ＋a 没有零点，则实数a 的取值范畴是( )A ．a <1B ．a >1C ．a ≤1D ．a ≥1 答案 B解析 f (x )没有零点，即x 2＋2x ＋a ＝0无实数解．∴Δ<0即4－4a <0，∴a >1.5．若函数y ＝x 2＋(m －2)x ＋(5－m )有两个大于2的零点，则m 的取值范畴是( )A ．(－5，－4)B ．(－∞，－4]C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－5)∪(－5，－4] 答案 A解析 ⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)>0，－m －22>2，Δ>0⇔－5<m <－4.6．关于定义在实数集R 上的函数，假如存在实数x 0，使得f (x 0)＝x 0，那么x 0叫做函数f (x )的一个不动点，已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋1不存在不动点，那么a 的取值范畴是( )A ．(－12，32)B ．(－32，12)C ．(－1,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)答案 A解析 因为f (x )＝x 2＋2ax ＋1不存在不动点，即x 2＋2ax ＋1＝x 无实数解．∴x 2＋(2a －1)x ＋1＝0无实数解．从而Δ<0即(2a －1)2－4<0，∴－2<2a －1<2，∴－12<a <32.7．如下图所示，阴影部分的面积S 是h 的函数(0≤h ≤H )，则该函数的图像是下面四个图形中的( )答案 C解析 当h ＝H 2时，对应阴影部分的面积小于整个图形面积的一半，且随着h 的增大，S 随之减小，故排除A ，B ，D ，选择C.8．某人2011年7月1日到银行存入a 元，若按年利率x 复利运算，则到2014年7月1日可取款( )A ．a (1＋x )2元B ．a (1＋x )4元C ．a ＋(1＋x )3元D ．a (1＋x )3元答案 D解析由题意知，2012年7月1日可取款a(1＋x)元，2013年7月1日可取款a(1＋x)·(1＋x)＝a(1＋x)2元，2014年7月1日可取款a(1＋x)2·(1＋x)＝a(1＋x)3元．9．三次方程x3＋x2－2x－1＝0在下列哪些连续整数之间没有根()A．－2与－1之间B．－1与0之间C．0与1之间D．1与2之间答案 C解析∵f(－2)·f(－1)<0，f(－1)·f(0)<0，f(1)·f(2)<0，∴A，B，D 都不符合题意．10．某都市为爱护环境，爱护水资源，鼓舞职工节约用水，作出了如下规定：每月用水不超过8吨，按每吨2元收取水费；每月超过8吨，超过部分加倍收费，某职工某月缴费20元，则该职工那个月实际用水()A．10吨B．13吨C．11吨D．9吨答案 D11．某商品进价为每件40元，当售价为50元/件时，一个月能卖出500件，通过市场调查发觉，若每件商品的单价每提高1元，则商品一个月的销售量会减少10件．商店为使销售该商品月利润最高，则应将每件商品定价为()A．45元B．55元C．65元D．70元答案 D解析 设每件商品定价为x 元，则月利润为[500－10(x －50)](x －40)＝－10(x －70)2＋9 000.因此当x ＝70时，利润最大．12．设函数f (x )＝x 3＋bx ＋c 是[－1,1]上的增函数，且f (－12)·f (12)<0，则方程f (x )＝0在[－1,1]内( )A ．可能有3个实根B ．可能有2个实根C ．有唯独的实根D ．没有实根答案 C解析 因为f (x )在[－1,1]上是增函数，且f (－12)·f (12)<0，因此f (x )在[－12，12]内有唯独实根，因此f (x )在[－1,1]内有唯独实根．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上)13．用二分法求函数y ＝f (x )在区间(2,4)上的近似解，验证f (2)·f (4)<0，给定精确度ε＝0.01，取区间(a ，b )的中点x 1＝2＋42＝3，运算得f (2)·f (x 1)<0，则现在零点x 0∈________.(填区间)答案 (2,3)解析 ∵f (2)f (4)<0，f (2)f (3)<0，∴f (3)·f (4)>0，故x 0∈(2,3)．14．若函数f (x )＝x 2－ax －b 的两个零点是4和6，则函数g (x )＝bx 2＋ax －1的零点是________．答案 14，16解析 ∵4和6是函数f (x )的两个零点，∴⎩⎨⎧ f (4)＝0，f (6)＝0，即⎩⎨⎧ 16－4a －b ＝0，36－6a －b ＝0.∴⎩⎨⎧ a ＝10，b ＝－24.∴g (x )＝－24x 2＋10x －1.令g (x )＝0，得x ＝14或x ＝16.15．方程2－x ＋x 2＝3的实数解的个数为______．答案 216．某种细菌经30分钟繁育为原先的2倍，且知细菌的繁育规律为y ＝e kt ，其中k 为常数，t 表示时刻，y 表示细菌个数，则k ＝________，通过5小时，1个细菌能繁育为________个．答案 2ln2 1 024解析 将(12，2)代入y ＝e kt ，得2＝e 12k .∴12k ＝ln2，k ＝2ln2.这时函数解析式为y ＝e 2t ln2＝eln22t ＝22t ，令t ＝5，则得一个细菌经5小时繁育为y ＝210＝1 024个．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)设函数f (x )＝ax 2＋(b －8)x －a －ab 的两个零点分别是－3和2.(1)求f (x )；(2)当函数f (x )的定义域是[0,1]时，求函数f (x )的值域．解析 (1)∵f (x )的两个零点是－3和2，∴函数图像过点(－3,0)，(2,0)．∴9a－3(b－8)－a－ab＝0，①4a＋2(b－8)－a－ab＝0.②①－②，得b＝a＋8.③③代入②，得4a＋2a－a－a(a＋8)＝0，即a2＋3a＝0.∵a≠0，∴a＝－3，∴b＝a＋8＝5.∴f(x)＝－3x2－3x＋18.(2)由(1)得f(x)＝－3x2－3x＋18＝－3(x＋12)2＋34＋18，图像的对称轴方程是x＝－12，且0≤x≤1，∴f(x)min＝f(1)＝12，f(x)max＝f(0)＝18.∴函数f(x)的值域是[12,18]．18．(12分)某企业实行裁员增效，已知现有职员a人，每人每年可创纯利润1万元，据评估在生产条件不变的情形下，每裁员一人，则留岗职员每人可多创收0.01万元，但每年需付给下岗工人0.4万元的生活费，同时企业正常运行所需人数不得少于现有职员的34，设该企业裁员x人后纯收益为y万元．(1)写出y关于x的函数关系式，并指出x的取值范畴；(2)当140<a≤280时，问该企业应裁员多少人，才能获得最大的经济效益？(注：在保证能获得最大经济效益的情形下，能少裁员，应尽量少裁)解析 (1)y ＝(a －x )(1＋0.01x )－0.4x ＝－1100x 2＋(a 100－140100)x ＋a ，∵a －x ≥34a ，∴x ≤a 4，故x 的取值范畴是0≤x ≤a 4且x ∈N . (2)y ＝－1100x 2＋(a 100－140100)x ＋a ＝－1100[x －(a 2－70)]2＋1100(a 2－70)2＋a ，当140<a ≤280时，0<a 2－70≤a 4，∴当a 为偶数时，x ＝a 2－70，y 取最大值；当a 为奇数时，x ＝a ＋12－70或x ＝a －12－70，y 取最大值．∵尽可能少裁员，∴x ＝a －12－70.综上所述：当a 为偶数时，应裁员a 2－70；当a 为奇数时，应裁员a －12－70.19．(12分)某商品的市场需求量y 1(万件)、市场供应量y 2(万件)与市场价格x (元/件)分别近似地满足下列关系：y 1＝－x ＋70，y 2＝2x －20.y 1＝y 2时的市场价格为市场平稳价格，现在的需求量称为平稳需求量．(1)求平稳价格和平稳需求量；(2)若要使平稳需求量增加4万件，政府对每件商品应给予多少元补贴？解析 (1)由y 1＝y 2，得⎩⎨⎧ x ＝30，y ＝40.∴平稳价格为30元/件，平稳需求量为40万件．(2)⎩⎨⎧ 44＝70－x ，44＝2(x ＋t )－20，∴⎩⎨⎧ x ＝26，t ＝6.∴要使平稳需求量增加4万件，每件需补贴6元．20．(12分)“水”那个曾被认为取之不尽，用之不竭的资源，难道到了严峻制约我国经济进展，严峻阻碍人民生活的程度．因为缺水，每年给我国工业造成的缺失达2 000亿元，给农业造成的缺失达1 500亿元，严峻缺水困扰全国三分之二的都市．为了节约用水，某市打算出台一项水费政策措施，规定每季度每人用水量不超过5吨时，每吨水费收差不多价1.2元，若超过5吨而不超过6吨时，超过部分的水费加收200%，若超过6吨而不超过7吨时，超过部分的水费加收400%，假如某人本季度实际用水量为x (x ≤7)吨，试运算本季度他应交的水费(单位：元)．解析 设本季度他应交水费为y 元，当0<x ≤5时，y ＝1.2x ； 当5<x ≤6时，应把x 分成两部分：5与x －5分别运算，第一部分收差不多水费1.2×5元，第二部分由差不多水费与加价水费组成，即1.2(x －5)＋1.2(x －5)×200%＝1.2(x －5)(1＋200%)，因此y ＝1.2×5＋1.2(x －5)×(1＋200%)＝3.6x －12；同理可得，当6<x ≤7时，y ＝1.2×5＋1.2×(1＋200%)＋1.2(x －6)(1＋400%)＝6x －26.4.综上可得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1.2x ，0<x ≤5，3.6x －12，5<x ≤6，6x －26.4，6<x ≤7.21．(12分)某学校拟建一块周长为400 m 的操场如图所示，操场的两头是半圆形，中间区域是矩形，学生做操一样安排在矩形区域，为了能让学生的做操区域尽可能大，试问如何设计矩形的长和宽？解析 设矩形的长为x ，宽为y ，则2x ＋2π(y 2)＝400，∴y ＝2π(200－x )(0<x <200)．∴S ＝xy ＝2πx (200－x )．∴对称轴为x ＝100.∴x ＝100时，S 最大，现在y ＝200π.答案 把矩形的长和宽分别设计为100 m 和200π m 时，矩形区域面积最大22．(12分)某地有甲、乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都专门好，但收费方式不同．甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月30小时以内(含30小时)每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元．小张预备下个月从这两家中的一家租一张球台使用，其活动时刻许多于15小时，也不超过40小时．(1)设在甲家租一张球台开展活动x 小时的收费为f (x )元(15≤x ≤40)，在乙家租一张球台开展活动x 小时的收费为g (x )元(15≤x ≤40)．试求f (x )和g (x )；(2)你认为选择哪一家比较合算？什么缘故？解析 (1)依题意得f (x )＝5x (15≤x ≤40)，g (x )＝⎩⎨⎧ 90， (5≤x ≤30)，2x ＋30，(30<x ≤40).(2)f (x )－g (x )＝⎩⎨⎧ 5x －90，(15≤x ≤30)，3x －30，(30<x ≤40).易知，当15≤x <18时，f (x )－g (x )<0，∴f (x )<g (x )，即选甲家；当x ＝18时，f (x )－g (x )＝0. ∴f (x )＝g (x )，即选甲家和乙家都一样；当18<x ≤30时，f (x )－g (x )>0，∴f (x )>g (x )，即选乙家；当30<x ≤40时，f (x )－g (x )>0，∴f (x )>g (x )，即选乙家．。