答案：
14．若tan ＝3＋2 ，则 ＝________.
解析：由tan ＝ ＝3＋2 ，得tanα＝ ，
∴ ＝ ＝tanα＝ .
答案：
15．tan10°＋tan50°＋ tan10°tan50°＝________.
解析：∵tan60°＝tan(10°＋50°)
＝ ，
∴tan60°(1－tan10°tan50°)＝tan10°＋tan50°，
因为α∈[0，π]，且sin2α＝－ ，
即2sinαcosα＝－ <0，
所以α∈ ，
所以cosα－sinα<0，
即cosα－sinα＝－ .
所以A＝－ .
21．(12分)已知函数f(x)＝(a＋2cos2x)cos(2x＋θ)为奇函数，且f ＝0，其中a∈R，θ∈(0，π)．
(1)求a，θ的值．
(2)若f ＝－ ，α∈ ，求sin 的值．
解析：由题意知tanα＋tanβ＝－6，tanαtanβ＝7，
所以tanα<0，tanβ<0.
又－ <α< ，－ <β< ，
所以－ <α<0，－ <β<0.
所以－π<α＋β<0.
因为tan(α＋β)＝ ＝ ＝1，
所以α＋β＝－ .
19．(12分)(2015·广东高考)已知tanα＝2.
(1)求tan 的值；
A．x＝0 B．x＝－
C．x＝－ D．x＝－
解析：g(x)＝ sin2x(a>0)的最大值为 ，所以a＝1，
f(x)＝sinx＋cosx＝ sin ，
令x＋ ＝ ＋kπ，k∈Z得x＝ ＋kπ，k∈Z.故选B.
答案：B
10．要使 sinθ＋ cosθ＝ 有意义，则实数m的取值范围是()
A．(4，＋∞) B．[4，＋∞)
所以tanα<0，tanβ<0，
所以－ <α<0，－ <β<0，－π<α＋β<0.
又tan(α＋β)＝ ＝ ＝ .
所以α＋β＝－ ห้องสมุดไป่ตู้故选B.
答案：B
12．(2016·东莞校级三模)定义运算： ＝a1a4－a2a3，已知函数f(x)＝ ，则函数f(x)的最小正周期是()
A. B．π
C．2πD．4π
解析：由题意可得f(x)＝ ＝sinxcosx＋1＝ sin2x＋1，
函数f(x)的最小正周期T＝ ＝π，
令2kπ＋ ≤2x＋ ≤2kπ＋ ，k∈Z，
所以kπ＋ ≤x≤kπ＋ ，k∈Z，
所以函数f(x)的单调递减区间是 ，k∈Z.
(2)由x∈
得－ ≤2x＋ ≤ ，
所以－ ≤sin ≤1，
所以当2x＋ ＝－ ，
即x＝－ 时，f(x)min＝a，
当2x＋ ＝ ，
即x＝ 时，f(x)max＝ ＋a，
C．[8，＋∞) D．(8，＋∞)
解析： sinθ＋ cosθ＝sin ＝ ∈[－1,1]，
即 ≤1，所以8m－32≥0.
解得m≥4.故选B.
答案：B
11．已知tanα，tanβ是方程x2＋3 x＋4＝0的两个根，且－ <α< ，－ <β< ，则α＋β为()
A. B．－
C. 或－ D．－ 或
解析：由题意得
A．－ B．－
C. D.
解析：由题意知sinα＝－ ，α∈ ，所以cosα＝－ ，因为 ∈ ，所以sin ＝cos ＝－ ＝－ .
故选B.
答案：B
8．已知tan ＝3，则 等于()
A. B.
C．－ D．－
解析：因为tan ＝3，
所以tanα＝－2，
所以 ＝ ＝ ＝－ .故选C.
答案：C
9．(2016·福州期中)若函数g(x)＝asinxcosx(a>0)的最大值为 ，则函数f(x)＝sinx＋acosx的图象的一条对称轴方程为()
第三章
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2016·澄城县期末)cos24°cos36°－cos66°cos54°的值等于()
A．0B.
C. D．－
解析：cos24°cos36°－cos66°cos54°
＝sin66°cos36°－cos66°sin36°
答案：B
4．(2016·齐齐哈尔实验中学高一月考) 等于()
A．－ B．－
C. D.
解析：原式＝
＝
＝sin30°＝ .故选C.
答案：C
5．cos275°＋cos215°＋cos75°cos15°的值是()
A. B.
C. D.
解析：原式＝sin215°＋cos215°＋sin15°cos15°＝1＋ sin30°＝1＋ × ＝ .故选B.
(2)求 的值．
解析：(1)tan ＝
＝ ＝ ＝－3.
(2)
＝
＝
＝
＝
＝1.
20．(12分)(2016·杭州高一检测)已知f(x)＝Asin (A≠0)．
(1)若A＝1，将f(x)的图象上各点的纵坐标不变，横坐标扩大到原来的2倍，再将所得图象上各点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的2倍，得到g(x)的图象，求g(x)的解析式及对称轴方程．
由题意得 ＋a＋a＝ ，解得a＝0.
(2)若α∈[0，π]，f(α)＝cos2α，sin2α＝－ ，求A的值．
解析：(1)由题意得g(x)＝2sin ，令2x＋ ＝ ＋kπ得对称轴方程为x＝ ＋ (k∈Z)．
(2)由f(α)＝Asin ＝cos2α，
得A＝
＝
＝ (cosα－sinα)，
因为sin2α＝－ ，
所以(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝1－sin2α＝ ，
解析：(1)因为y＝a＋2cos2x是偶函数，
所以g(x)＝cos(2x＋θ)为奇函数，
而θ∈(0，π)，故θ＝ ，
所以f(x)＝－(a＋2cos2x)sin2x，
代入 得a＝－1.
所以a＝－1，θ＝ .
(2)f(x)＝－(－1＋2cos2x)sin2x＝－cos2xsin2x＝－ sin4x，
因为f ＝－ ，
即 － tan10°tan50°＝tan10°＋tan50°，
∴ ＝tan10°＋tan50°＋ tan10°tan50°.
答案：
16．已知sin ＝ ，则sin ＋sin2 ＝________.
解析：sin ＋sin2
＝sin ＋cos2
＝sin ＋1－sin2
＝ ＋1－ ＝ .
答案：
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
答案：B
6．(2016·南昌模拟)已知sin2α＝－ ，α∈ ，则sinα＋cosα等于()
A. B．－
C．－ D.
解析：因为α∈ ，
所以sinα＋cosα>0，
所以(sinα＋cosα)2＝1＋sin2α＝ ，
所以sinα＋cosα＝ ，故选A.
答案：A
7．(2016·邢台期末)若sin(π－α)＝－ 且α∈ ，则sin 等于()
从而可得函数f(x)的最小正周期T＝ ＝π.故选B.
答案：B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．设向量a＝ ，b＝ ，其中θ∈ ，若a∥b，则θ＝________.
解析：若a∥b，则sinθcosθ＝ ，
即2sinθcosθ＝1，
∴sin2θ＝1，又θ∈ ，∴θ＝ .
17．(10分)化简：sin2αsin2β＋cos2αcos2β－ cos2αcos2β.
解析：原式＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－ (2cos2α－1)·(2cos2β－1)
＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－ (4cos2αcos2β－2cos2α－2cos2β＋1)
＝sin2αsin2β－cos2αcos2β＋cos2α＋cos2β－
＝sin(66°－36°)＝sin30°＝ .
答案：B
2．化简cos2 －sin2 等于()
A．sin2θB．－sin2θ
C．cos2θD．－cos2θ
解析：原式＝cos ＝cos ＝sin2θ.故选A.
答案：A
3．(2016·东北师大附中高一期末)化简 等于()
A．1 B．2
C. D．－1
解析： ＝ ＝ ＝2.故选B.
所以f ＝－ sinα＝－ ，
故sinα＝ ，又α∈ ，
所以cosα＝－ ，sin ＝ × ＋ ＝ .
22．(12分)设函数f(x)＝ sinxcosx＋cos2x＋a.
(1)写出函数f(x)的最小正周期及单调递减区间．
(2)当x∈ 时，函数f(x)的最大值与最小值的和为 ，求a的值．
解析：(1)f(x)＝ sin2x＋ ＋a＝sin ＋ ＋a，
＝sin2αsin2β＋cos2α(1－cos2β)＋cos2β－
＝sin2αsin2β＋cos2αsin2β＋cos2β－
＝sin2β(sin2α＋cos2α)＋cos2β－
＝sin2β＋cos2β－ ＝1－ ＝ .
18．(12分)(2016·大庆高一检测)已知－ <α< ，－ <β< ，且tanα，tanβ是方程x2＋6x＋7＝0的两个根，求α＋β的值．