课时作业18 抛物线的简单几何性质基础巩固1．抛物线y 2＝4x 上一点M 到焦点的距离为3，则点M 的横坐标x 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：x ＋p2＝3，p ＝2，∴x ＝2，选B. 答案：B2．过定点P (0,2)作直线l ，使l 与曲线y 2＝4x 有且仅有1个公共点，这样的直线l 共有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条解析：一条切线，一条y 轴，一条平行于x 轴． 答案：C3．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，若x 1＋x 2＝6，则|PQ |的值为( )A ．10B ．8C ．5D ．6解析：如图1，F (1,0)由定义知|PQ |＝x 1＋x 2＋2＝8.图1答案：B4．设抛物线y 2＝4px 的焦点弦的两端点为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，则y 1y 2的值是( )A ．p 2B ．1－p 2C ．4p 2D ．－4p 2解析：F (p,0)设弦方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －p )y 2＝4px 消去x 得ky 2－4py －4kp 2＝0.由韦达定理y 1y 2＝－4kp 2k ＝－4p 2. 答案：D5．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 29＋y25＝1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为________.解析：由题意椭圆x 29＋y 25＝1， 故它的右焦点坐标是(2,0)，又y 2＝2px (p ＞0)的焦点与椭圆x 29＋y25＝1相同，故p＝4∴抛物线的准线方程为x＝－2.答案：x＝－26．(2017年高考·课标全国卷Ⅱ)已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|＝________.解析：解法1：依题意，抛物线C：y2＝8x的焦点F(2,0)，准线x ＝－2，因为M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，M为FN 的中点，设M(a，b)(b>0)，所以a＝1，b＝22，所以N(0,42)，|FN|＝4＋32＝6.解法2：依题意，抛物线C：y2＝8x的焦点F(2,0)，准线x＝－2，因为M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，M为FN的中点，则点M的横坐标为1，所以|MF|＝1－(－2)＝3，|FN|＝2|MF|＝6.答案：67．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是________．解析：由抛物线定义知P到准线l2：x＝－1的距离等于它到焦点(1,0)的距离，所以P到直线l1和l2的距离之和最小值等于焦点到l1的距离d＝|4×1－3×0＋6|42＋(－3)2＝2.答案：28．斜率为1的直线经过抛物线y2＝4x的焦点，与抛物线相交于两点A、B，求线段AB的长．解：如图2，由抛物线的标准方程可知，焦点F(1,0)，准线方程为x＝－1，由题设，直线AB的方程为y＝x－1，代入抛物线方程y2＝4x，图2整理得x2－6x＋1＝0.解法1：解上述方程得x1＝3＋22，x2＝3－22，分别代入直线方程得y1＝2＋22，y2＝2－22，即A、B的坐标分别为(3＋22，2＋22)、(3－22，2－22)，∴|AB|＝(42)2＋(42)2＝8.解法2：设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则x1＋x2＝6，x1x2＝1，∴|AB|＝2|x1－x2|＝2(x1＋x2)2－4x1x2＝2×62－4＝8.解法3：设A(x1，y1)、B(x2，y2)．由抛物线的定义可知，|AF|＝|AA′|＝x1＋1，|BF|＝|BB′|＝x2＋1，∴|AB|＝x1＋x2＋2＝6＋2＝8.能力提升1．已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0)．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM |＝( )A ．2 2B ．2 3C ．4D ．2 5解析：由题意设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，则点 M 到焦点的距离为x M ＋p 2＝2＋p2＝3， ∴p ＝2.∴抛物线方程为y 2＝4x . ∵点M (2，y 0)在抛物线y 2＝4x 上， ∴y 20＝4×2.∴y 0＝±2 2. ∴|OM |＝4＋y 20＝4＋8＝2 3. 答案：B2．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( )A ．[－12，12] B ．[－2,2] C ．[－1,1]D ．[－4,4]解析：设直线方程为y ＝k (x ＋2)，与抛物线方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝k (x ＋2)，消去x ， 得到关于y 的方程ky 2－8y ＋16k ＝0.当k ＝0时，上述方程有解，所以直线与抛物线有公共点； 当k ≠0时，应有Δ≥0，即64－64k 2≥0， 解得－1≤k ≤1且k ≠0.综上可知，l 斜率的取值范围是[－1,1]． 答案：C3．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，P A⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－3，那么|PF|＝() A．4 3 B．8C．8 3 D．16解析：如图3所示，因为AF的斜率为－3，所以∠AFx＝120°，又因为P A∥x轴，所以∠P AF＝180°－120°＝60°，再加之抛物线的定义得P A＝PF，因此△P AF为等边三角形．此题可通过构造以下三种情境将|PF|解出情境1：如图4，设准线与x轴相交于M，易得∠AFM＝60°，所以在Rt△AMF中，cos∠AFM＝|MF||AF|＝12，所以|AF|＝2|MF|＝8，又因为△APF为等边三角形，故|PF|＝|AF|＝8.情境2：如图5，过F点作AP的垂线，设垂足为N，因为△APF 为等边三角形，所以|P A|＝2|AN|＝2|MF|＝8，故|PF|＝|P A|＝8.情境3：如图6，过点P作x轴的垂线，设垂足为Q，因为∠PFQ＝60°，所以在Rt △PFQ 中，|FQ |＝|PF |·cos60°＝12|PF |，又因为|P A |＝|PF |＝|MQ |＝|MF |＋|FQ |＝4＋12|PF |，易得|PF |＝8.答案：B4．抛物线y 2＝4x 的焦点弦被焦点分成长是m 和n 的两部分，则m 与n 的关系是( )A ．m ＋n ＝mnB ．m ＋n ＝4C ．mn ＝4D ．无法确定解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4xy ＝k (x －1)消y 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，则x 1x 2＝1，x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝x 1＋1n ＝x 2＋1，∴m ＋n ＝mn . 答案：A5．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)由题意，x 1≠x 2，y 1＋y 2＝4且y 2－y 1x 2－x 1＝1∵y 22＝2px 2，y 21＝2px 1，∴y 22－y 21＝2p (x 2－x 1)，∴(y 2－y 1)(y 2＋y 1)＝2p (x 2－x 1)，∴y 2－y 1x 2－x 1·(y 2＋y 1)＝2p .即4＝2p ，∴p ＝2，∴准线方程为：x ＝－p2＝－1，故选B.答案：B6．(2018年高考·课标全国卷Ⅲ)已知点M (－1，1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB ＝90°，则k ＝________．解析：解法1：由题意知抛物线的焦点为(1，0)， 则过C 的焦点且斜率为k 的直线方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x ，消去y ，得k 2(x －1)2＝4x ， 即k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x ，消去x ，得y 2＝4(1k y ＋1)， 即y 2－4k y －4＝0，则y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4，由∠AMB ＝90°，得MA →·MB →＝(x 1＋1，y 1－1)·(x 2＋1，y 2－1) ＝x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＋y 1y 2－(y 1＋y 2)＋1＝0， 将x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1与y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4代入，得k ＝2.解法2：设抛物线的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 12＝4x 1，y 22＝4x 2，所以y 12－y 22＝4(x 1－x 2)， 则k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2，取AB 的中点M ′(x 0，y 0)，分别过点A ，B 作准线x ＝－1的垂线， 垂足分别为A ′，B ′，又∠AMB ＝90°， 点M 在准线x ＝－1上， 所以|MM ′|＝12|AB |＝12(|AF |＋|BF |) ＝12(|AA ′|＋|BB ′|)．又M ′为AB 的中点， 所以MM ′平行于x 轴，且y 0＝1， 所以y 1＋y 2＝2，所以k ＝2. 答案：27．若抛物线y 2＝mx 与椭圆x 29＋y25＝1有一个共同的焦点，则m＝__________.解析：椭圆焦点为(±2,0)，∴抛物线为y 2＝±8x . 答案：±88．过抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点F 作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A 、B 两点(点A 在y 轴左侧)，则|AF ||FB |＝________.解析：图7解法1：几何法：如图7，令AF ＝x ，则AA 1＝x ；FB ＝y ，则BB 1＝y∴HB ＝2y ，∴HB ＝2x ＋x ＋y ＝2y ，∴x y ＝13解法2：特殊值法：令p ＝2，则⎩⎨⎧x 2＝4yy ＝33x ＋1，求出A 、B 坐标即可．答案：139．已知抛物线y 2＝x 上存在两点关于直线l ：y ＝k (x －1)＋1对称，求实数k 的取值范围．解：设抛物线上的A 点的坐标为(y 21，y 1)，B 点的坐标为(y 22，y 2)，并且关于直线l 对称，则⎩⎨⎧k y 1－y 2y 21－y 22＝－1，y 1＋y 22＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 21＋y 222－1＋1.得⎩⎨⎧y 1＋y 2＝－k ，y 1y 2＝k 22＋1k －12.∴y 1，y 2是方程t 2＋kt ＋k 22＋1k －12＝0的两个不同的实数根，∴Δ＝k 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫k 22＋1k －12>0，得－2<k <0. 10．已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px (p >0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且|AF |＝3.图8(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G (－1,0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．解：(1)由抛物线的定义得|AF |＝2＋p 2. 因为|AF |＝3，即2＋p2＝3，解得p ＝2，图9所以抛物线E 的方程为y 2＝4x .(2)因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上， 所以m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设 A (2,22)． 由A (2,22)，F (1,0)可得直线AF 的方程为 y ＝22(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝22(x －1)y 2＝4x ，得2x 2－5x ＋2＝0， 解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2. 又G (－1,0)，所以k GA ＝22－02－(－1)＝223，k GB ＝－2－012－(－1)＝－223，所以k GA ＋k GB ＝0，从而∠AGF ＝∠BGF ，这表明点F 到直线GA ，GB 的距离相等，故以F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．创新拓展1．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)、P 3(x 3，y 3)在抛物线上，且2x 2＝x 1＋x 3，则有( )A ．|FP 1|＋|FP 2|＝|FP 3|B ．|FP 1|2＋|FP 2|2＝|FP 3|2C ．2|FP 2|＝|FP 1|＋|FP 3|D ．|FP 2|2＝|FP 1|·|FP 3|图10解析：如图10所示，由定义知 |FP 1|＝x 1＋p 2， |FP 2|＝x 2＋p2， |FP 3|＝x 3＋p2，由2x 2＝x 1＋x 3知，2|FP 2|＝|FP 1|＋|FP 3|. 答案：C2．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( )A ．x 2＝833y B ．x 2＝1633yC ．x 2＝8yD ．x 2＝16y解析：抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为(0，p2)．双曲线的一条渐近线为y ＝b a x 即bx －ay ＝0.由题意：|－a ·p 2|b 2＋a2＝2即a2c ·p ＝2.∵ca ＝2 ∴p ＝8 ∴抛物线方程为x 2＝16y ∴选D. 答案：D3．已知以F 为焦点的抛物线y 2＝4x 上的两点A 、B 满足AF →＝3FB →，则弦AB 的中点到准线的距离为________．图11解析：如图11，分别过A 、B 作准线x ＝－1的垂线，垂足分别为E 、G ，又过B 作BK ⊥AE 于K 交x 轴于H ，由AF →＝3BF →，可设|FB →|＝m ，|AF→|＝3m ，由抛物线的性质得，|AE |＝3m ， |BG |＝m ，|HF |＝2－m ； 又由HF ∥AE 有|HF ||AK |＝|BF ||BA |＝14. 2－m 3m －m ＝14，m ＝43， 所以弦AB 的中点到准线的距离为12(|BG |＋|AE |)＝12|AB |＝12×4m ＝2×43＝83.答案：834．设抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数，p ＞0)的焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B .设C ⎝ ⎛⎭⎪⎫72p ，0，AF 与BC 相交于点E .若|CF |＝2|AF |，且△ACE 的面积为32，则p 的值为________．解析：抛物线的普通方程为y 2＝2px ，(p >0)，F (p2，0)，l ：x ＝－p 2，|CF |＝3p ，又|CF |＝2|AF |，则|AF |＝32p ，由抛物线的定义得|AB |＝32p ，所以x A ＝p ，则|y A |＝2p ，由CF ∥AB 得EF EA ＝CF AB ，即EF EA ＝CFAF ＝2，所以S △CEF ＝2S △CEA ＝62，所以S △ACF ＝S △AEC ＋S △CFE ＝92，所以12×3p×2p＝92，p＝ 6.答案： 6由Ruize收集整理。