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八年级第二学期数学
22.2(1) 平行四边形
——平行四边形的性质(1)
1
这些图片中，有你熟悉的图形吗？
2
平行四边形的定义
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
用符号“ ”表示
A
D
如图，记作： ABCD
B
C
符号语言:
∵ AB∥CD，AD∥BC
∴四边形ABCD是平行四边形
∵四边形ABCD是平行四边形
解：如图， ABCD 中，AB=8cm
∵ ABCD，AB=8cm
A
D
∴AB=CD=8cm，AD=BC B
C
∵ ABCD的周长是36 cm
∴AD+BC=36-8-8=20cm
∴AD=BC=10cm
答：其它三边的长度分别为8cm、10cm、10cm.15
例2.在 ABCD中，∠A 比∠ B大60°, 求这个平行四边形的四个内角的度数.
3
2
-1 0 3
20
1.已知：平行四边形ABCD中AE、CF分别是 ∠BAD、∠BCD的平分线， 试判断AE和CF相等吗？为什么？
D
E
C
A
F
B
21
2.如图，在□ ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，
垂足分别为E、F，AE=6cm，AF=8cm，∠EAF=300,
求 □ ABCD的周长和面积.
A
D
B
E
C F
22
3.如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E， AF ⊥ CD于点F，AB=3，BC=5，∠EAF=60°. 求四边形AECF的周长和面积.
证明：联结AC
A
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB ∥CD，AD∥ BC
B
∴∠BAC = ∠DCA， ∠DAC = ∠BCA
又∵ AC = CA
∴△BAC≌△DCA(A.S.A)
∴ AB = CD，AD = CB
D C
8
平行四边形的两组对边分别相等.
简述为：平行四边形的对边相等. A
D
符号语言：
B
42
C
（三角形内角和为180° ）
11
∴∠B＝∠D（等式性质）
平行四边形的两组对角分别相等.
简述为：平行四边形的对角相等. A
D
符号语言：
B
C
∵ ABCD（已知），
∴ ∠B= ∠D, ∠A= ∠C（平行四边形的对角相等）.
12
如图，l1∥l2 ，AB、CD是夹在 l1 ，l2 之间的任意 两条平行线段，那么线段AB和CD一定相等吗？
一定相等
A
D
l1
B
C
l2
夹在两条平行线间的平行线段相等！
13
两条平行线间的距离：
可以把两条平行线中一条直线上任意一点到另一条 直线的距离定义为两条平行线间的距离.
过 l1 上任意一点A作AB⊥ l2 于点B，则线段AB的长 就是平行线 l1 ， l2 之间的距离.
A
……
B
C
E
l1
……14
的铁丝围成一个平行 四边形的模型，其中一边长8cm，求其它三边的长.
600、1200、600、1200
5.在□ ABCD中，∠B的平分线BE交AD于E，BC=5，
AB=3，则ED的长为___2___ A
ED
19
B
C
6.已知点A（3，0）、B（-1，0）、C（0，2），以A、 B、C为顶点画平行四边形，你能求出第四个顶点D吗？
（4，2）
（2，-2）
2
2
-1 0
3（– 4，2） -1 0
解：如图， ABCD ∵AD∥BC
A
D
∴ ∠A +∠ B=180°
B
C
∵∠A =∠ B+60°
∴ ∠A =120°, ∠ B=60°
∵ ABCD
∴ ∠A =∠ C =120°, ∠ B=∠D =60°
答：四边形的四个内角的度数分别是120°, 60°16 120°, 60°.
1.一个平行四边形的一个内角是38 °， A
则 1.5BC + BC=30cm ,
解得 BC=12 cm
18
∴ AB=1.5×12=18 cm
3.在 □ ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可能是
A．1：2：3：4
B．1：2：2：1
(D)
C．1：1：2：2
D．2：1：2：1
4.在□ ABCD中，∠A :∠B=1:2,则各角的度数为______
D
问它的每个内角的度数是多少？
B
C
解： 设如图的平行四边形 ABCD 中∠B＝ 38 °
∵四边形ABCD是平行四边形
∴ ∠A＝∠C， ∠B＝∠D（平行四边形的对角相等）
∵AB∥CD，AD∥BC（平行四边形的定义）
∴ ∠A+∠B=180°, ∠B+∠C =180°,
∵ ∠B=38°
∴ ∠D = 38°, ∠A=∠C =142°
17
2.已知平行四边形ABCD的周长为60cm，两邻边AB，BC
长的比为3：2，求AB和BC的长度 .
D
C
解： ∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB = CD，AD = BC
A
B
（平行四边形的对边相等）
∵AB+BC+CD+DA = 60cm
∴AB+BC =30cm
∵ AB:BC=3:2，即AB=1.5BC
C
∵ ABCD（已知），
∴ AB=CD,AD=BC （平行四边形的对边相等）.
从边出发: 位置关系:两组对边分别平行
数量关系:两组对边分别相等
从角出发:
9
平行四边形的对角有怎样的关系呢? 相等
已知:如图, ABCD
求证:AB=CD,AD=BC
A
∠B= ∠D, ∠BAD= ∠DCB
D
思路点拨:
B
C
证△ABC≌ △CDA可得AB=CD ∠B= ∠D 同理可证AD=BC ∠BAD= ∠DCB
3
∴ AB∥CD，AD∥BC
平行四边形的相关概念
（1）平行四边形的对边:
平行四边形不相邻（相对）的两边．
（2）平行四边形的对角:
A
平行四边形不相邻的两角．
（3）平行四边形的邻角:
B
平行四边形相邻的两角．
（4）平行四边形邻角的性质: 平行四边形的邻角互补．
D C
4
平行四边形的性质
平行四边形是特殊的四边形，它的基本特征是 两组对边分别平行.
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平行四边形的对角相等
已知： ABCD（如图）
求证：∠B=∠D，∠BAD=∠DCB 证明：联结AC
∵AB∥CD，AD∥BC（平行四边形的定义） ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4（两直线平行，内错角相等）
∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4（等式性质）
A
D
即∠BAD＝∠DCB
13
∵∠1+∠4+∠B＝180° B
∠2+∠3+∠D＝180°
那么 还具备什么其他特征呢? A
D
B
C
5
从边出发: 位置关系:两组对边分别平行
数量关系: 两组对边分别相等
6
已知:如图, ABCD 求证:AB=CD,AD=BC
思路点拨:联结AC
A
证△ABC≌ △CDA可得AB=CD
同理可证AD=BC
B
D C
7
平行四边形的对边相等
已知： ABCD（如图）
求证：AB = CD，AD = BC