习题8-4
1. 求下列各函数在所给的限制下的极大值或极小值
(a) f(x,y)=xy ; x+3y=6。
解：令()63,-+=y x y x g 故()0,=y x g
令拉格朗日函数为()()()()63,,,,-++=+=y x xy y x g y x f y x F λλλ
6
33-+=+=+=y x F x F y F y x λλλ
令⎪⎩
⎪⎨⎧=-+=+=+063030y x x y λλ 将λ消掉可得⎩⎨⎧⎩⎨⎧==⇒=-+=-1306303y x y x y x ()31,3=f
取一满足063=-+y x 的点()2,0代入()302,0,<=f f
故知()31,3=f 为绝对极大值
(b) f(x,y)=x 2+2y 2
; x –2y+1=0。
解：令()12,++=y x y x g 故()0,=y x g
令拉格朗日函数()()()()12,,,,22+-++=+=y x y x y x g y x f y x F λλλ 1
2242+-=-=+=y x F y F x F y x λλλ
令⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-=+01202402y x y x λλ 将λ消掉可得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧=-=⇒=+-=+3131012044y x y x y x 3
131,31=⎪⎭⎫ ⎝⎛-f 取一满足012=+-y x 的点()0,1-代入()3
110,1,>
=-f f 故知3
131,31=⎪⎭⎫ ⎝⎛-f 为绝对极小值
(c) f(x,y)=x 3–y 3
; x –y=3。
解：令()3,--=y x y x g 故()0,=y x g
令拉格朗日函数()()()()3,,,,33--+-=+=y x y x y x g y x f y x F λλλ
33322--=--=+=y x F y F x F y x λλ
λ
令⎪⎩
⎪⎨⎧=--=--=+03030322y x y x λλ 将λ消掉可得y x =或y x -=
当y x =则0303=-⇒=--y x 矛盾
当y x -=则2
32303-=⇒=
⇒=--x y y x 42723,23-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-f 取一满足03=--y x 的点()0,3代入()4
27270,3,->
=f f 故知42723,23-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-f 为绝对极小值
(d) f(x,y)=2x+y –z ; x 2+y 2+z 2=24。
解：令()24,222-++=z y x y x g 故()0,,=z y x g
令拉格朗日函数
()()()()
242,,,,,,222-+++-+=+=z y x z y x z y x g z y x f y x F λλλ
242112222-++=+-=+=+=z y x F z
F y
F x F z y x λλλλ
令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++=+-=+=+0
240210102222z y x z y x λλλ
当0=λ代入022=+x λ则02=矛盾
故0≠λ则λλλ21,21,1=-=-=
z y x 代入024222=-++z y x 得41=
λ或41- 当41=
λ则()()2,2,4,,--=z y x 当4
1-=λ则()()2,2,4,,-=z y x ()()122,2,4122,2,4=-<-=--f f
故()122,2,4-=--f 为绝对极小值
()122,2,4=-f 为绝对极大值
(e) f(x,y)=x+y+2z ; x 2+y 2+z 2=4。
解：令()4,,222-++=z y x z y x g 故()0,,=z y x g
令拉格朗日函数
()()()()
42,,,,,,,222-+++++=+=z y x z y x z y x g z y x f z y x F λλλ
4222121222-++=+=+=+=z y x F z
F y
F x F z y x λλλλ
令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++=+=+=+0
4022021021222z y x z y x λλλ 当0=λ代入021=+x λ则01=矛盾
故0≠λ则λλλ1,21,21-=-=-=
z y x 代入04222=-++z y x 得46=λ或4
6- 当46=λ则()⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---=362,36,36,,z y x
当46-=λ则()⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=362,36,36,,z y x 62362,36,3662362,36,36=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛<-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---f f 故62362,36,36-=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---f 为绝对极小值
62362,36,36=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛f 为绝对极大值
(f) f(x,y)=xy ; x 2+y 2 =8。
解：令()8,22--=y x y x g 故()0,=y x g
令拉格朗日函数()()()()
8,,,,22--+=+=y x xy y x g y x f y x F λλλ
82222-+=+=+=y x F y
x F x y F y x λλλ
令⎪⎩
⎪⎨⎧=-+=+=+08020222y x y x x y λλ
将x y λ2-=代入02=+y x λ得()0412=-x x
若0=x 则0=y 但)0,0(不满足0822=-+y x
故0≠x 则21-21或=
λ 当21=
x 则2y 4y 08-y 222±=⇒==+-=得代入x y x 当2
1-=x 则2y 4y 08-y 222±=⇒==+=得代入x y x ()()()()()()()()為絕對極小值
故為絕對極大值故 42,22,2 42,22,2 4
2,2 , 42,2 , 42,2 , 42,2=-=-=--==---=--=-=f f f f f f f f
2. 假设利润函数P(x,y)=30x+60y –x 2–y 2，求在容量x+y=60的限制下，P(x,y)的极大值。
解：令()60,-+=y x y x g 故()0,=y x g
令拉格朗日函数
()()()()606030,,,,22-++--+=+=y x y x y x y x g y x f y x F λλλ
60
260230-+=+-=+-=y x F y F x F y x λλλ
令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧==⇒=-+=+-=-+=+-=+-2
75245060015 06002600230y x y x y x y x y x 消掉得將λλλ 22025275,245=⎪⎭
⎫ ⎝⎛P 取一满足2
20251800)0,60( , ),( (60,0) 60<
-==+P y x P y x 代入的點 故22025275,245=⎪⎭⎫ ⎝⎛P 为绝对极大值 3. 假设产量函数P(x,y)=12x+30y –6xy ，求在成本4x+2y=40的限制下之最大产量。
解：令()4024,-+=y x y x g 故()0,=y x g
令拉格朗日函数
()()()()402463012,,,,-++-+=+=y x xy y x y x g y x f y x F λλλ
40
2426304612-+=+-=+-=y x F x F y F y x λλλ
令⎪⎩
⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧==⇒=-+=--=-+=+-=+-6704024082 040240263004612y x y x y x y x x y 消掉得將λλλ ()126,7=P
取一满足12120)0,10( , ),( (10,0) 4024>==+P y x P y x 代入的點 故()126,7=P 为绝对极小值
故绝对极大值发生在边界上，即x = 0，y = 0和04024=-+y x 所围区域的边界上
case(i) x = 0，200≤≤y
)(300630012),(1y g y y y y x P ==⋅⋅-+⋅=
030)(1>=y g dy d ，故极大值仅可能出现在端点上 即0)0,0()0(1==P g 或600)20,0()20(1==P g case(ii) y = 0，100≤≤x
)(1206030012),(2x g x x y x P ==⋅⋅-⋅+⋅=
012)(2>=x g dx d ，故极大值仅可能出现在端点上 即0)0,0()0(2==P g 或120)0,10()10(2==P g case(iii) 04024=-+y x
令x y 220-=代入P (x , y )得
)220(6)220(3012)220,(x x x x x x P -⋅⋅--+=-
600168122+-=x x
)(3x g = 令016824)(3=-=x x g dx d
得 x = 7，代入04024=-+y x 得 y = 6
故极大值可能出现在 (0,20)，(10,0) 或 (7,0) 上 其值分别为600)20,0(=P ，120)0,10(=P ，12)6,7(=P 综合case(i)、(ii)及(iii)知最大值为600)20,0(=P。