比较可知 最大值为 1 ，最小值为 1 .
2
2
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小结 12
求条件极值的方法: 1. 转化为无条件极值.
2. 利用拉格朗日乘数法. 注意要正确 地写出目标函数和约束条件.
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13 思考题
思考题
若 f ( x0 , y)及 f ( x, y0 ) 在( x0 , y0 ) 点均取得 极值，则 f ( x, y)在点( x0 , y0 )是否也取得极值？
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1 回顾：求极值的一般步骤
求函数z f ( x, y)极值的一般步骤：
第一步 解方程组 fx ( x, y) 0, f y ( x, y) 0
求出实数解，得驻点.
第二步 对于每一个驻点( x0 , y0 )，
求出二阶偏导数的值 A、B、C.
第三步 定出 B 2 AC 的符号，再判定是否是极值.
Fx 3 x2 y2z 0
则
Fy 2x3 yz 0 Fz x3 y2 0
解得唯一驻点(6,4,2) ，
x y z 12
故最大值为 umax 63 42 2 6912.
根据具体情况从实际问题的物理、几何、经济意义
可以判断是否为最值
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8 例题2
在区域{( x,
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5 拉格朗日乘数法
要找函数z f ( x, y)在条件 ( x, y) 0 下的
可能极值点，
1. 先构造函数F ( x, y) f ( x, y) ( x, y)，
其中 为拉格朗日乘数.
2. 由
f f
x y
( (
x x
, ,
y y
) )
x y
( (
x x
, ,
y y
) )
y) |
x2
y2
50}上,求z
x2
x y y2 1
的最大值和最小值.
解
zx
(x2
y2 1) 2x( x ( x2 y2 1)2
y)
0,
由
( x2 y2 1) 2 y( x y)
zy
( x2 y2 1)2
0,
得驻点( 1 , 1 )和( 1 , 1 ),
22
22
z( 1 , 1 ) 1 , 22 2
1 ( x, y, z, t ) 2 ( x, y, z, t )
其中1 ,2均为拉格朗日乘数，可由 偏导数为零及
约束条件解出 x, y, z, t ，即得可能的极值点的坐标.
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7 例题1
将正数 12 分成三个正数x, y, z 之和 使得 u x3 y2z 为最大.
解 令 F ( x, y, z) x3 y2z ( x y z 12),
0, 0,
( x, y) 0.
解出 x, y, ，其中(x, y )就是可能的极值点的坐
标.
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6 更一般的情形
拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况：
要找函数u f ( x, y, z,t)在条件
( x, y, z,t) 0， ( x, y, z, t) 0
下的极值，
先构造函数F ( x, y, z,t) f ( x, y, z,t)
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3 7.7 条件极值与拉格朗日乘数法
条件极值：对自变量有附加条件的极值．
实例：求表面积为 S(固定) 、体积最大的长方
体的体积
V ( x, y, z) xyz
求极值
2xy 2 yz 2zx S 限制条件
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4 求条件极值的方法
1. 转化为无条件极值问题. 2. 利用拉格朗日乘数法.
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14 思考题解答
思考题解答
不是. 例如 f ( x, y) x 2 y 2,
当x 0时， f (0, y) y2在(0,0) 取极大值;
当 y 0时， f ( x,0) x 2在(0,0) 取极小值;
但 f ( x, y) x2 y2在(0,0) 不取极值.
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2 回顾：多元函数的最值的求法
与一元函数相类似，我们可以利用函数的 极值来求函数的最大值和最小值.
设函数在有界闭区域 D 上连续，在D内 可微且只有有限个驻点。
则可按如下方法求最值：
将函数在区域 D 内的所有驻点处的 函数值及在D 的边界上的最大值和最小
值相互比较，其中最大者即为最大值， 最小者即为最小值.
z( 1 , 1 ) 1 ,
22
2
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9 例题2续
x y z x2 y2 1 在边界上 {( x, y) | x2 y2 50}
利用拉格朗日乘数法得可能的最值点为 （5，5）以及（－5，－5）：
z(5,5)=10/51
z(-5,-5)=-10/51
Байду номын сангаас
10 10 1 1
51 50 5 2