取步长h=0.1，并把计算结果与精确解比较
解：据后向欧拉法 yn＋1
yn
2 h(
t n1
yn1
t n2＋1e tn＋1 )
即 : yn＋1
yn
ht e 2
t n＋1
n＋1
2
1 h
t n＋1
又
y0 y(1) 0
tn t0 nh 1 0.1n
计算结果列表（yn为后向欧拉法计算近似值，
y(为tn )精确值）
yk1 yk hf (tk1 , yk1 )
y(t)
y3
在任一步长内，用一段直线
代替函数 y(的t)曲线，此直
线段的斜率等于该函数在该 步长终点的斜率。
y2
y1
y(t3)
y(t2)
y(t1)
y0
y(t0) h
h
h
t
0
t0
t1
t2
t3
例2. 应用后向欧拉法解初值问题
y' 2 y t 2e t ,1 t 2, y(1) 0 t
二、后向欧拉法
对于给定初始条件 y(t0 ) y0的微分方程
y'(t) f ( y(t), t)
用一阶差商近似代替 y(在t) 一个步长终点的一阶导数， 则原微分方程化为：
其近似值：
y(tk1 ) h
y(tk )
y'(tk1 )
yk1 yk y'k1 h 欧拉隐式公式
后向欧拉法的几何意义：
n
tn
0 1.0
1 1.1
2 1.2
3 1.3
4 1.4
5 1.5
6 1.6
7 1.7
yn
0 0.271828183 0.684755578 1.276978344 2.093547688 3.187445122 4.620817846 6.466396378
y(tn )
0 0.345919877 0.866642536 1.607215078 2.620359551 3.967666294 5.720961526 7.963873478
三. 梯形法及其预估-校正法
y'(t) f (t, y) t t0
y(t
0
)
y0
用一阶差商近似地代替函数在一个步长起点和终点的 一阶导数的平均值
y(tk1 ) h
y(t k
)
1 2
( y'(tk
)
y'(tk1 ))
梯形公式
h
（欧拉中点公式） y(tk1 ) y(tk ) 2 [ y'(tk ) y'(tk1 )]
y1 y2 yn
一.前向欧拉法
当两相邻离散点之间的间隔较小时，用一阶差商 取代一阶导数
y(tk1 ) y(tk ) tk1 tk
y'(tk )
令步长 h tk，1 则tk
y(tk1 ) y(tk ) y'(tk )h
其近似值为： yk1 yk y'k h
前向欧拉法的几何意义：
yk1 yk hf (tk , yk )
解：据前向欧拉法
yn＋1
2 yn h( tn
yn tn2etn )
又 y0 y(1) 0
tn t0 nh 1 0.1n
t
2 0
e
t0
)
0.271828183
y2
y1
h(
2 t1
y1 t12et1 ) 0.684755578
微分方程 y' 2 y 是t 2e一t 阶线性微分方程，
近似值：
yk 1
yk
h 2
(
y'k
y'k
1
)
显然，梯形公式是隐式法，一般求 yk需1 要解方程，
常采用迭代法，初值由显式的欧拉公式给出：
y (0) k 1
yk
hf (t k , yk )
然后将 yk(0替)1 代梯形公式等式右边出现的 yk1
y(1) k 1
yk
h[ 2
f (tk ,
yk )
f (tk1,
6 1.6 7.141585856 5.720961526
7 1.7 9.886697539 7.963873478
y(tn ) yn
0 -0.098362898 -0.240212999 -0.433745534 -0.688050222 -1.013245029 -1.420624330 -1.922824061
n
tn
yn
0 1.0
0
y(tn )
0
1 1.1 0.444282775 0.345919877
2 1.2 1.106855535 0.866642536
3 1.3 2.040960612 1.607215078
4 1.4 3.308409773 2.620359551
5 1.5 4.980911323 3.967666294
y(t) y3
在任一步长内，用一段直 线代替函数 y(t的) 曲线，此 直线段的斜率等于该函数
y2
y1
y(t3)
在该步长起点的斜率。
y(t2)
y(t1)
y0
y(t0) h
h
h
t
0
t0
t1
t2
t3
例1. 应用前向欧拉法解初值问题
y' 2 y t 2et ,1 t 2, y(1) 0 t
取步长h=0.1，并把计算结果与精确解比较
4.3 一阶微分方程的求解
一阶微分方程的求解可归结为在给定初始条件下， 求微分方程的初值问题
y'(t) f ( y, t) t t0
y(t
0
)
y0
数值解法的基本思想： 在初值问题存在唯一解的时间区间内，在若干个时间离
散点上，用差分方程代替微分方程，然后逐点求解差分方
程，得到各时间离散点 、 … t处1 的t2函数tn 近似值 y、(t) …
y(0) k 1
)]
y ( i 1) k 1
yk
h 2 [ f (tk ,
yk )
f (tk1,
y(i) k 1
)]
i 0,1,2,
当步长h足够小，且由前向欧拉法计算的已是较好 的近似，则迭代一、二次即可
例3. 应用梯形预估-校正法解初值问题
y(tn ) yn
0 0.0740191694 0.181886958 0.330236736 0.526811863 0.780221172 1.100143680 1.497477100
分析：
当步长不是很小时，前向欧拉法的精度不 是很高。步长取定后，步数越多，误差越 大。 由于前向欧拉法舍弃一阶导数以后诸项， 造成的截断误差是 h 2的数量级，故称为 二阶精度。
t
可求出其通解： y t 2 (e t＋C)
带入初值y(1) 可0得 C e
则方程的解为： y t 2 (e t - e)
从而有：
y(tn )
t
2 n
(e
t
n
- e)
y1
t
2 1
(
e
t1
e)
0.345919876
y2
t
2 2
(e
t
2
e)
0.86642536
计算结果列表（ y为n 前向欧拉法计算近似值， y(t为n )精确值）