3-37-88、
3-38-89、 , ,
3-39-90、 , ,
3-40-91、
3-41-92、
3-42-93、
3-43-94、
3-44-95、 , ,
3-45-96、 , ,
3-46-97、 , ,
3-47-98、 , ,
3-48-99、 , ,
3-49-100、 , ,
3-50-101、
3-51-102、
第十章微分方程习题
一
1-1-40、微分方程 的阶数是.
1-2-41、微分方程 的阶数是.
1-3-42、微分方程 的阶数是.
1-4-43、 的阶数是.
1-5-44、微分方程 满足条件 的特解是.
1-6-45、微分方程 的通解是.
1-7-46、方程 的通解是.
1-8-47、方程 的通解是.
1-9-48、方程 的通解是.
A. B. C. D.
2-17-72、齐次方程 化为可分离变量的方程,应作变换( )
A. B. C. D.
2-18-73、设方程 有两个不同的解 ,若 也是方程的解,则( )
A. B. C. D. 为任意常数
2-19-74、方程 的通解是( )
A. B. C. D.
2-20-75、下面各微分方程中为一阶线性方程的是()
根据解得 ,即
将 代入上式得 ,故
而 ,得
积分得 ,将 代入上式得 ,
所以鱼雷的航行曲线为
490．根据经验可知,某产品的纯利润 与广告支出 有如下关系 ，（其中 ）,若不做广告,即 时纯利润为 ,且 ,试求纯利润 与广告费 之间的函数关系.
A. 6 B.5 C. 4D. 3
2-26-81、如果一条曲线在它任意一点的切线斜率等于 ，则这条曲线是()
A.椭圆B.抛物线C.双曲线D.圆
2-27-82、下列可分离变量的方程是( )
A. B.
C. D.
2-28-83、微分方程 的通解是( )
A. B. C. D.
2-29-84、已知微分方程 的通解为 ,则 的值()
489.如图,位于坐标原点的我舰向位于 轴上 点处的敌舰发射制导鱼雷,鱼雷始终对准敌舰,设敌舰以常数 沿平行与 轴的直线行驰,又设鱼雷的速度为 ,求鱼雷的航行曲线方程.
解：设鱼雷的航行曲线方程为 ,在时刻 ,鱼雷的坐标巍巍 ,敌舰的坐标为 .
因鱼雷始终对准敌舰,故 ,又弧 的长度为 ,
从以上两式消去 得 ,即
1-17-56、方程 化为齐次方程是.
1-18-57、通解为 为任意常数)的微分方程为.
1-19-58、方程 满足条件 的特解是.
1-19-59、方程 化为可分离变量方程是
1-20-60、方程 的通解是
1-21-61、方程 化为齐次方程是
1-22-62、若 是微分方程 的解,则 .
1-23-63、若 满足 ,则 .
A. B. C. D.
2-12-67、 的通解为 ( )
A. B. C. D.
2-13-68、微分方程 满足 的特解为( )
A. B. C. D.
2-14-69、微分方程 的通解是( )
A. B. C. D.
2-15-70、微分方程 的通解是( )
A. B. C. D.
2-16-71、过点 的曲线,使其上每一点的切线斜率都比这点纵坐标大5的曲线方程是( )
解：依题意: , ,解之得通解 ,将 代入通解得
,所以国民收入函数为
492．试建立描述市场价格形成的动态过程的数学模型.
解：设在某一时刻 ,商品的价格为 ,因供需差价,促使价格变动.对新的价格,又有新的供需差,如此不断地调节价格,就构成了市场价格形成的动态过程.
假设价格 的变化率 与需求和供给之差成正比.记需求函数为 ,供给函数为 ,其中 为参数.于是得微分方程 , ,其中 为 时商品的价格, 为正常数.
3-52-103、
3-53-104、
3-54-105、
3-55-106、 , ,
3-56-107、 , ,
3-57-108、 , ,
3-58-109、 , ,
3-59-110、
四
4-1-9、一曲线通过点 ,它在两坐标轴间的任一切线段均被切点所平分,求这曲线方程.
4-2-10、已知 ,求函数
4-3-13、求一曲线,这曲线通过原点,并且它在点 处的切线斜率等于 .
4-13-15、在宏观经济研究中,知道某地区的国民收入 ,国民储蓄 和投资 均是时间 的函数,且在任一时刻 ,储蓄 为国民收入 的 ,投资额 是国民收入增长率 的 .设 时国民收入为5(亿元),假定在时刻 的储蓄全部用于投资,试求国民收入函数.
4-14-16、试建立描述市场价格形成的动态过程的数学模型.
1-30-70、方程 是微分方程 的解.
1-31-71、二阶常系数非齐次微分方程的结构为其一个特解与之和.
1-32-72、二阶常系数齐次线性微分方程 对应的特征方程有两个不等实根，则其通解为.
1-33-73、将微分方程 写成齐次微分方程的标准形式为
二
2-1-56、微分方程 的通解是( )
A. B. C. D.
4-11-13、如图,位于坐标原点的我舰向位于 轴上 点处的敌舰发射制导鱼雷,鱼雷始终对准敌舰,设敌舰以常数 沿平行与 轴的直线行驰,又设鱼雷的速度为 ,求鱼雷的航行曲线方程.
4-12-14、根据经验可知,某产品的纯利润 与广告支出 有如下关系 ，（其中 ）,若不做广告,即 时纯利润为 ,且 ,试求纯利润 与广告费 之间的函数关系.
=
将 代入通解得
488.设质量为 的物体在高空中静止下落,空气对物体运动的阻力与速度成正比.求物体下落的数率 与时间 的关系,再求物体下落距离与时间 的关系
解：.物体重力为 ,阻力为 ,其中 是重力加速度, 是比例系数.
由牛顿第二定律得 ,从而得线性方程 ,
,将 代入通解得
,再积分得 ,
将 代入求得
2-7-62、下列方程中是可分离变量的方程是( )
A. B.
C. D.
2-8-63、微分方程 的通解是( )
A. B. C. D.
2-9-64、已知微分方程 的通解为 ,则 的值是()
A.1 B.0C. D.
2-10-65、微分方程 的通解是( )
A. B. C. D.
2-11-66、方程 的通解是( )
解：依题意得 , ,解可分离变量得微分方程,得通解
,将 代入通解,得 ,所以纯利润 与广告费 之间的函数关系为 .
491．
在宏观经济研究中,知道某地区的国民收入 ,国民储蓄 和投资 均是时间 的函数,且在任一时刻 ,储蓄 为国民收入 的 ,投资额 是国民收入增长率 的 .设 时国民收入为5(亿元),假定在时刻 的储蓄全部用于投资,试求国民收入函数.
五
5-1-18、设 是二阶齐次线性方程 的两个解,令
证明: 满足方程
5-2-19、设 , , 是线性方程 的3个相异特解,
证明 为一常数.
部分应用题答案
487．在串联电路中,设有电阻R,电感L和交流电动势 ,在时刻 时接通电路,求电流 与时间 的关系( , 为常数).
解.设 ,由回路电压定律 ,即
=
若需求供给函数均为线性函数, , ,则方程为
, ,其中 均为正常数,其解为
下面对所得结果进行讨论:
(1)设 为静态均衡价格,则应满足 ,即 ,
则 ,从而价格函数 ,取极限: .
它表明:市场价格逐步趋于均衡价格.若初始价格 ,则动态价格就维持在均衡价格 上,整个动态过程就变为静态过程.
(2)由于 ,所以当 时, , 单调下降向 靠拢,这说明:初始价格高于均衡价格时,动态价格会逐渐降低,逐渐接近均衡价格;而当初始价格低于均衡价格时,动态价格会逐渐增高,逐渐接近均衡价格.
3-19-70、
3-20-71、 ,
3-21-72、
3-22-73、
3-23-74、
3-24-75、
3-25-76、 ,
3-26-77、 ,
3-27-78、 ,
3-28-79、 ,
3-29-80、
3-30-81、
3-31-82、
3-32-83、
3-33-84、
3-34-85、
3-35-86、
3-36-87、
1-24-64、 的解是
1-25-65、某城市现有人口50(万),设人口的增长率与当时的人口数 (万)和 的积成正比,则该城市人口 所满足的微分方程为
1-26-66、圆 满足的微分方程是
1-27-67、 满足的微分方程是
1-28-68、一阶线性微分方程 的通解是.
1-29-69、已知特征方程的两个根 ,则二阶常系数线性齐次微分方程为.
1-10-49、方程 的通解是.
1-11-50、方程 的通解是.
1-12-51、已知特征方程的两个特征根 则二阶常系数齐次微分方程为
1-13-52、微分方程 的通解为.
1-14-53、微分方程 的通解为.
1-15-54、若 是全微分方程,则 应满足.
1-16-55、与积分方程 等价的微分方程初值问题是.
4-8-10、已知某商品需求量Q对价格 的弹性为 ,最大需求量为 ,求需求函数 .
4-9-11、设质量为 的物体在高空中静止下落,空气对物体运动的阻力与速度成正比.求物体下落的数率 与时间 的关系,再求物体下落距离与时间 的关系
4-10-12、在串联电路中,设有电阻R,电感L和交流电动势 ,在时刻 时接通电路,求电流 与时间 的关系( , 为常数).
A. B. C. D.
2-21-76、曲线上任一点P的切线均与OP垂直的曲线方程是( )
A. B. C. D.
2-22-77、方程 的解是( )