第2节旋转体与简单组合体的结构特征
学习目标 1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义.2.掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征.3.了解简单组合体的概念及结构特征．
知识点一圆柱
思考观察如图所示的旋转体，你能说出它们是什么平面图形通过怎样的旋转得到的吗？
梳理圆柱的结构特征
圆柱图形及表示
定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面
所围成的旋转体叫做圆柱
图中圆柱表示为圆柱O′O 相关概念：
圆柱的轴：旋转轴
圆柱的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面
圆柱的侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面
圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边
知识点二圆锥
思考仿照圆柱的定义，你能定义什么是圆锥吗？
梳理圆锥的结构特征
圆锥图形及表示
定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，
其余两边旋转形成的面所围成的旋转体
图中圆锥表示为圆锥SO 相关概念：
圆锥的轴：旋转轴
圆锥的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面
侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面
母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边
知识点三圆台
思考下图中的物体叫做圆台，也是旋转体，它是什么图形通过怎样的旋转得到的呢？除了旋转得到以外，对比棱台，圆台还可以怎样得到呢？
梳理圆台的结构特征
圆台图形及表示
定义：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面
之间的部分叫做圆台
旋转法定义：以直角梯形中垂直于底边的腰所在直线为
旋转轴，将直角梯形绕旋转轴旋转一周而形成的旋转体
叫做圆台
图中圆台表示为：圆台O′O 相关概念：
圆台的轴：旋转轴
圆台的底面：垂直于轴的边旋转一周所形成的圆面
圆台的侧面：不垂直于轴的边旋转一周所形成的曲面
母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边
知识点四球
思考球也是旋转体，它是由什么图形旋转得到的？
梳理球的结构特征
球图形及表示
定义：以半圆的直径所在直线为旋转
轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做
球体，简称球
图中的球表示为球O
相关概念：
球心：半圆的圆心
半径：半圆的半径
直径：半圆的直径
知识点五简单组合体
思考下图中的两个空间几何体是柱、锥、台、球体中的一种吗？它们是如何构成的？
梳理简单组合体
(1)概念：由简单几何体组合而成的，这些几何体叫做简单组合体．常见的简单组合体大多是由具有柱、锥、台、球等几何结构特征的物体组合而成的．
(2)基本形式：一种是由简单几何体拼接而成，另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成．
类型一旋转体的结构特征
例1下列命题正确的是________．
①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；
②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；
③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；
④以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的几何体是圆锥；
⑤半圆面绕其直径所在直线旋转一周形成球；
⑥用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面．
反思与感悟(1)判断简单旋转体结构特征的方法
①明确由哪个平面图形旋转而成．
②明确旋转轴是哪条直线．
(2)简单旋转体的轴截面及其应用
①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量．
②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想．
跟踪训练1下列命题：
①圆柱的轴截面是过母线的截面中最大的一个；
②用任意一个平面去截圆锥得到的截面一定是一个圆；
③圆台的任意两条母线的延长线，可能相交也可能不相交；
④球的半径是球面上任意一点与球心的连线段．
其中正确的个数为()
A．0 B．1 C．2 D．3
类型二简单组合体
命题角度1直接描述组合体的构成
例2观察下图中的几何体，分析它们是由哪些基本几何体组成的．
跟踪训练2请描述如图所示的几何体是如何形成的．
(1)________________________________________________________________________；
(2)________________________________________________________________________；
(3)________________________________________________________________________．
命题角度2图形旋转所得组合体问题
例3直角梯形ABCD如图所示，分别以CD，DA所在直线为轴旋转，试说明所得几何体的形状．
解以CD为轴旋转可得到一个圆台，下底挖去一个小圆锥，上底增加一个较大的圆锥，以AD为轴旋转可得到一个圆柱，上面挖去一个圆锥，如图所示．
引申探究
例3中直角梯形分别以AB、BC所在直线为轴旋转，试说明所得几何体的形状．
反思与感悟(1)判断旋转体形状的关键是轴的确定，看是由平面图形绕哪条直线旋转所得，同一个平面图形绕不同的轴旋转，所得的旋转体一般是不同的．
(2)在旋转过程中观察平面图形的各边所形成的轨迹，应利用空间想象能力或亲自动手做出平面图形的模型来分析旋转体的形状．
跟踪训练3如图所示，已知梯形ABCD中，AD∥BC，且AD<BC.当梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周时，其他各边旋转形成的面围成一个几何体，试描述该几何体的结构特征．
类型三旋转体中的有关计算
例4一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2，求：
(1)圆台的高；
(2)将圆台还原为圆锥后，圆锥的母线长．
反思与感悟用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程组而得解．跟踪训练4有一根长为3π cm，底面半径为1 cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，求铁丝的最短长度．
1．下列说法正确的是()
A．圆锥的母线长等于底面圆直径
B．圆柱的母线与轴垂直
C．圆台的母线与轴平行
D．球的直径必过球心
2．下列选项中的三角形绕直线l旋转一周，能得到如图1中的几何体的是()
图1
3．下面几何体的截面一定是圆面的是()
A．圆台B．球
C．圆柱D．棱柱
4．下图中的组合体的结构特征有以下几种说法：
①由一个长方体割去一个四棱柱构成；
②由一个长方体与两个四棱柱组合而成；
③由一个长方体挖去一个四棱台构成；
④由一个长方体与两个四棱台组合而成.
其中正确说法的序号是________．
5．如图，用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥，截得圆台的上、下底面半径之比是1∶4，截去的小圆锥的母线长是3 cm，则圆台的母线长为________ cm.
1．圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示．
2．处理台体问题常采用还台为锥的补体思想．
3．处理组合体问题常采用分割思想．
4．重视圆柱、圆锥、圆台的轴截面在解决几何问题中的特殊作用，切实体会空间几何平面化的思想．
课时作业
一、选择题
1．下列几何体中不是旋转体的是()
2．下列命题中正确的是()
A．将正方形旋转不可能形成圆柱
B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体
C．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台
D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线
3．如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形旋转而形成的()
4．如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是()
A．该几何体是由两个同底的四棱锥组成的
B．该几何体有12条棱、6个顶点
C．该几何体有8个面，并且各面均为三角形
D ．该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余均为三角形
5．用一张长为8，宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则相应圆柱的底面半径是( ) A ．2 B ．2π C.2π或4π
D.π2或π4
6．一个圆锥的母线长为20 cm ，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的高为( ) A ．10 3 cm B ．20 3 cm C ．20 cm
D ．10 cm
7.如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为( )
A ．一个球体
B ．一个球体中间挖去一个圆柱
C ．一个圆柱
D ．一个球体中间挖去一个长方体
8．一个正方体内有一个内切球，作正方体的对角面，所得截面图形是下图中的( )
二、填空题
9．正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周，所得几何体是________． 10．若母线长是4的圆锥的轴截面的面积是8，则该圆锥的高是________．
11．如图所示，已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且距离为1，那么这个球的半径是________．
三、解答题
12．一个有30°角的直角三角尺绕其各条边所在直线旋转一周所得的几何体都是圆锥吗？如果以斜边上的高所在的直线为轴旋转180°得到什么图形？旋转360°又得到什么图形？
13．如图所示，圆台的上、下底面半径分别为5 cm,10 cm，母线长AB＝20 cm，从圆台母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到点A，求：
(1)绳子的最短长度；
(2)在绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离．
四、探究与拓展
14．用一个平面去截几何体，如果截面是三角形，那么这个几何体可能是________．(填序号)
①棱柱；②棱锥；③棱台；④圆柱；⑤圆锥；⑥圆台；⑦球．
15．指出图中的三个几何体分别是由哪些简单几何体组成的．。