第三章 平差随机模型的验后估计3－1 概述众所周知，一个平差问题必须首先建立改平差问题的数学模型，平差的数学模型包括函数模型和随机模型两类。

描述平差问题中观测量与观测量之间、观测量与未知参数之间相互关系的函数表达式，称平差函数模型。

随机模型是描述观测误差∆的一些随机特征，在平差中主要是∆的数学期望和方差，具有0)(=∆E （3-1-1）和10202)(-==∆P Q D σσ （3-1-2）（3-1-1）式表明观测误差中不含系统误差和粗差，是一般情况下最小二乘平差的要求（3-1-2）式式平差时定权的根据。

平差前，随机模型要已知)(∆D ，称为验前方差。

只有精确地已知验前方差)(∆D 才能精确地定权，所以随机模型的估计，就是验前方差)(∆D 的估计，也就是观测值权的估计。

过去很长的时间，平差都在单一的同类观测量中进行，例如测角网平差，水准网平差。

定权可从定义式（3-1-2）出发，采用测量平差中常用方法定权，例如，水准高差按路线长度倒数定权等。

随着平差对象从单一同类观测量扩展为不同类的多种观测量，一般，它们的验前方差又不能都已知，如果能精确地估计它们的方差，达到精确地定权就需要深入研究了。

所以，近20年来国内外测量界把平差随机模型的估计作为主要课题进行研究，取得了丰富的成果。

对不同类的观测量，一般采用经验公式定权，即根据仪器出厂标明的标称精度估算各自的方差，然后再按定义式（3-1-2）定权。

例如在边角同测的控制网中，测距仪给出的测边中误差标称精度公式为)(i i bs +±=ασ测角中误差为βσ（按规范），以i σ和βσ为测边和测角的验前方差定权，得122==βββσσP)/)'('(2222cm P iiss 单位：σσβ=在卫星网与地面网、重力网与水准网的联合平差，摄影测量与大地测量数据联合处理中，也可按上述经验公式的方法定权。

这种估计验前方差确定各类观测量权的方法，时间证明，在许多情况下是不够精确的。

为了提高方差估计的精度，70年代开始出现了用验后的方法估计各类观测量的方差，然后定权，我们称之为平差随机模型的验后估计法。

随机模型的验后估计，其基本思想是，先对各类观测量定初权，进行预平差，利用预平差后得到的信息，主要是各类观测值改正数V ，依据一定的原则对各类观测量的验前方差和协方差做出估计，依此定权，实践已经证明这种定权方法的优越性，并已在实际工作中广泛应用。

本章首先介绍方差估计法，即赫尔默特估计法，并介绍改法在实际计算中的一些简化计算公式。

接着介绍方差、协方差估计法。

然后介绍二次无偏估计法，主要介绍 C.R.Rao 于1970年提出的最小范数二次无偏估计（MINQUE ）法和K.R.Koch 于1980年提出的最优不变二次无偏估计（BIQUE ）法。

最后介绍方差分量估计中的精度评定以及方差分量估计在测量实践中的应用。

3－2 赫尔默特方差估计法1． 严密估计公式利用预平差的改正数V ，按验后估计各类观测量验前方差方法，最早是由赫尔默特提出的，若各类观测量之间相互独立，即观测量的方差阵是拟对角型矩阵，称为方差估计，或称方差分量估计，以下介绍由Welsch 推证的赫尔默特方差估计严密公式。

间接平差的基本公式为函数模型：111n n t t n L B X ⨯⨯⨯⨯=+∆ （3-2-1）随机模型：212100(),()0,(),()()E L BX E D L P D D L Pσσ--=∆==∆==% （3-2-2）误差方程：V BXL =-% （3-2-3） 法方程及其解为1ˆ,NXW X N W -==% （3-2-4） 式中,TTN B PB W B PL ==。

现设在L 中包含有两类相互独立的观测值111n L ⨯和121n L ⨯，它们的权阵分别为111n n P ⨯和222n n P ⨯，并且120P =，它们的误差方程为111222ˆˆV B X L V B XL ⎫=-⎪⎬=-⎪⎭（3-2-5） 且有下列关系式：111122220,,,0L V B PL V B P L V B P ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦1112221211122212T T TTTTN B PB B PB B P B N N W B PL B PL B P L W W ==+=+==+=+ （3-2-6）一般地说，第一次平差时给定的两类观测值的权1P 和2P 是不恰当的，或者说它们所对应的单位权方差不相等，令其分别为120σ和220σ，则有122110121202()()D L P D L P σσ--⎫=⎪⎬=⎪⎭（3-2-7）方差分量估计的目的是利用各次平差后各类改正数的平方和111T V PV 及222T V PV 来估计120σ及220σ。

为此，必须建立残差平方和与120σ及220σ之间的关系。

因为对于数学期望为η，方差阵为∑的随机向量Y ，其二次型T Y MY (M 为任何一对称可逆阵）的数学期望为()()T T E Y MY tr M M ηη=∑+ （3-2-8）而改正数V 的期望为零，即有1()0E V = （3-2-9）所以11111()(())T E V PV tr PD V = （3-2-10）式中1()D V 为改正数1V 的方差。

由（3-2-5）式可知：111111111211111111222ˆ()()TTV B X L B N W L B N W W L B N B P E L B N B P L ----=-=-=+-=-+ （3-2-11）故1V 的方差为1111111111111222221()()()()()T T TT T D V B N B P E D L B N B P E B N B P D L P B N B----=--+将上式展开，并顾122121101202(),()D L P D L P σσ--==，则上式可整理得：1221111101111112110121()(2)()T T TD V B N N N B B N B P B N N N B σσ------=-++（3-2-12）将上式代入（3-2-10）式，得：{}{}{}{}{}12111212111112111101111111112110112121110111111121102111111211110112120()(())222()()()T T TTT T n n T E V PV tr PD V tr PP PB N B PB N N N B tr PB N N N B tr E N B PB N N N B PB tr N N N B PB n tr N N tr N N N N tr N N N N σσσσσσ---------⨯-------==-++=-++=-++ （3-2-13）同理可得：1111211222221202220()(){2()()}T E V PV tr N N N N n tr N N tr N N σσ----=+-+ （3-2-14） 在（3-2-13）和（3-2-14）两式中，将数学期望得符号去掉，改成由平差得到的计算值111TV PV 及222T V PV ，则求出的120σ和220σ也应该改为估计值120ˆσ和220ˆσ。

将上二式写成矩阵形式为 222121ˆS W θθ⨯⨯⨯= （3-2-115） 式中11211111121122222()()()2()()n tr N N tr N N tr N N N N S n tr N N tr N N ------⎡⎤-+=⎢⎥-+⎣⎦（对称） （3-2-16） 122200111111ˆˆˆ[],[]T T T TW V PV V PV θθσσ==公式(3-2-15)、(3-2-16)即为两类观测值按间接平差时的赫尔默特估算公式，由(3-2-15)式知，被估参数与方程的个数相同，一般说来，有惟一解，即1ˆS W θθ-= 将两类观测值扩展到m 类观测值的一般情况，则对应的公式如下：111ˆ,(1,2,,)i i i i i i in n t t n V B X L i m ⨯⨯⨯⨯=-=L (3-2-17) 210()i i iD L P σ-= (3-2-18) 将111ˆmjj XN W N W--===∑代入(3-2-17)式，并整理集项得：11111,ˆ()mmT Ti i i i j i i i i i ijj j j j iV B X L B N W L B N B P E L B N BP L ---==≠=-=-=-+∑∑由协方差传播律得：{}11112011201,()(2)()ijT T i i i i i i i mTij ij iD V P B N N N B B N B B NN N B σσ------=≠=+-+∑根据二次型的期望定理：ηηM M tr T +∑)(MY Y E T ）＝（，并顾及i V Y =，i P M ＝，)(D i V ＝∑及0)(==i V E η，则有{}111112011201,()(2)()jT T i i i i i i i i i i i i mTij ij iE V PV tr PP PB N N N B PB N B B NN N B σσ------=≠=+-+∑所以{}1122011201,()(2()())()i jT i i i i i i mi j j iE V PV n tr N N tr N N tr NN N N σσ----=≠=-++∑ (3-2-19)在上式中，被估参数m 个，将上式写成矩阵形式，即得m 类观测值的赫尔默特估计公式：11ˆm m m m S W θθ⨯⨯⨯= (3-2-20)式中1121111211112111211222221122()()()()2()()()(2()()m m m m m n tr N N tr N N tr N N N N tr N N N N S n tr N N tr N N tr N N N N n tr N N tr N N ------------⎡⎤-+⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦L LL对称）12222000111222ˆˆˆˆ,mTTT TTm m m W V PV V PV V P V θθσσσ⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦LL其解为1ˆS W θθ-= (3-2-21)方差分量估计的迭式计算步骤如下：(1) 将观测值按等级或按不同观测来源分类，并进行验前权估计，即确定各类观测值的 权的初值m P P ,...,,P 21；(2)进行第一次平差，求得i i Ti V P V ；(3)按(3-2-20)式进行第一次方差分量估计，求得各类观测值单位权方差的第一次估值20i＾θ，再依下列定权：210ˆˆi iicP P σ-= (3-2-22) 式中c 为任一常数，一般是选20i ＾θ中的某一个值；(4)反复进行第二项和第三项，即进行：平差－方差分量估计一定权后再平差，直至12222000ˆˆˆmσσσ===L 为止，或通过必要的检验认为各类单位权方差之比等于1为止。