高一数学综合测试试卷【模拟试题】一. 选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把所选答案的标号字母填在题后的括号内。
1. 设θθ|{=A 为锐角}，θθ|{=B 为小于︒90的角}，θθ|{=C 为第一象限的角}，则下面正确的是（ ）A. A=B=CB. C A ≠⊂C. B C A =⋂D. C B A =⋂ 2. )619cos(π-的值等于（ ） A.21 B.21- C. 23 D. 23-3. 若命题0:=x p ，命题0:=a x q ，则命题q 是命题p 的（ ） A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 角α终边在直线x y 2=上，则下面结论中正确的是（ ） A. 552sin =αB. 55cos -=α C. 2tan =αD. 2tan ±=α5. 函数)225sin(x y -=π是（ ） A. 最小正周期为π的偶函数B. 最小正周期为π的奇函数C. 最小正周期为π2的偶函数D. 最小正周期为π的非奇非偶函数6. 设=a （23，αsin ），)31,(cos α=b ，且b a //，则锐角α为（ ） A. 30° B. 60° C. 45° D. 75°7. 已知两点P 1（1-，6-），P 2（3，0），点P （37-，y ）分有向线段21P P 所成的比为λ，则λ，y 的值为（ ）A. 8,41-B. 8,41-C. 8,41--D. 81,4 8. 已知1||=a ，2||=b ，且（b a -）和a 垂直，则a 与b 的夹角是（ ）A. 90°B. 60°C. 45°D. 30° 9. 要得到函数)32sin(π-=x y 的图象，只要将x y 2sin =的图象（ ）A. 向右平移6π个单位 B. 向左平移6π个单位 C. 向右平移3π个单位D. 向左平移3π个单位10.（I ）（只重点校做）当函数x x y sin 3cos 2-=取得最大值时，x tan 的值是（ ） A.23 B. 23- C. 13 D. 4 （II ）（只非重点校做） 函数x x y cos sin +=，]2,0[π∈x 的最大值是（ ）A. 1B. 22C. 2D. 2二. 填空题：本大题共5个小题，每小题3分，共15分。
请把答案直接填在题中横线上。
11. 函数1sin 2-=x y 的定义域为 。
12. ABC ∆中，AB=3，AC=2，︒=∠60BAC ，则BC 边的长为 。
13. 已知)1,2(--=a ，)3,4(-=b ，则a 与b 的夹角的余弦值是 。
14. 已知a x a x 7)(23=-+且)3,1(=a ，则=||x 。
15.（I ）（只重点校做）把函数5422+-=x x y 按向量a 平移，得22x y =的图象，且b a ⊥，)1,1(-=c ，4=⋅c b ，则=b 。
（II ）（只非重点校做）把函数322++=x x y 的图象c ，按)1,3(-=a 平移到c '，则c '的函数解析式是 。
三. 解答题：本大题共6个小题，共55分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16.（本小题满分10分） 已知53sin =α，),2(ππα∈ 求)4sin(πα-，)3cos(πα+及α2tan 的值。
17.（本小题满分8分） 已知2||=a ，3||=b ，a 与b 的夹角为︒45，求使向量b a λ+与b a +λ的夹角为锐角时λ的取值范围。
18.（本小题满分8分） （I ）（只重点校做） 已知βα<<02π<，且αcos 、βcos 是方程02150sin )50sin 2(22=-︒+︒-x x 的两根，求)2tan(αβ-的值。
（II ）（只非重点校做） 已知20πβα<<<，且αtan 、βtan 是方程0652=+-x x 的两根，求)2tan(αβ-的值。
19.（本小题满分9分）已知函数x x x x y 22cos cos sin 32sin -+=，R x ∈，（1）求函数y 的最大值，并求y 取得最大值时，自变量x 的集合； （2）求函数y 的单调递减区间。
20.（本小题10分）设两个非零向量1e 和2e 不共线（1）如果21e e AB +=，2182e e BC +=，)(321e e CD -=，求证A 、B 、D 三点共线； （2）试确定实数k ，使21e e k +和21e k e +共线；（3）（只重点校做，非重点校不做）若2||1=e ，3||2=e ，1e 与2e 的夹角为︒60，试确定实数k ，使21e e k +与21e k e +垂直。
21.（本小题10分）已知向量)23sin,23(cos x x a =，)2sin ,2(cos x x b -=，且]2,0[π∈x ，（1）求b a ⋅及||b a +；（2）（只非重点校做，重点校不做）求函数||2)(b a b a x f +-⋅=的最小值； （3）（只重点校做，非重点校不做）若||2)(b a b a x f +-⋅=λ的最小值是23-，求实数λ的值。
【试题答案】一. 选择题：（每小题3分，共30分）1. B2. D3. B4. C5. A6. C7. C8. C9. A 10.（I ）B （II ）C二. 填空题：（每小题3分，共15分） 11. },65262|{Z k k x k x ∈+≤≤+ππππ 12.7 13. 55-14. 10 15.（I ）（3，1-） （II ）171122+-=x x y三. 解答题：（共55分，以下各题为累计得分，其他解法请相应给分） 16. 解： ∵ 53sin =α ),2(ππα∈ ∴ 54)53(1sin 1cos 22-=--=--=αα（2分）435453cos sin tan -=-==ααα（4分）∴ 210722)54(22534sincos 4cossin )4sin(=⨯--⨯=-=-παπαπα（6分）10334235321)54(3sinsin 3coscos )3cos(+-=⨯-⨯-=-=+παπαπα（8分） 724)43(1)43(2tan 1tan 22tan 22-=---⨯=--=ααα（10分） 17. 解：由已知得0)()(>+⋅+b a b a λλ（2分） 即0)(222>⋅+++⋅b a b a b a λλ（3分） 又 ∵ 3cos ||||==⋅αb a b a （5分） ∴ 031132>++λλ（6分）)(b a b a +=+λμλ ⎩⎨⎧==μλμλ1 ∴ 1±=λ 解得68511--<λ或68511+->λ且1≠λ 18. 解：（I ）∵ βα<<02π<∴ 0cos cos >>βα由韦达定理得⎪⎩⎪⎨⎧-︒=⋅︒=+)2(2150sin cos cos )1(50sin 2cos cos 2βαβα（2分） ∴ ︒=-+=-50cos 2cos cos 4)cos (cos cos cos 2βαβαβα（3）（4分）由（1）、（3）可得︒=︒+︒=︒+︒=5cos )4550sin(250cos 250sin 2cos α（5分）︒=︒=︒-︒=︒-︒=85cos 5sin )4550sin(250cos 250sin 2cos β（6分）∵ 20πα<<，20πβ<< ∴︒=5α，︒=85β（7分）∴ 3275tan )2tan(+=︒=-αβ（8分） （II ）∵ 20πβα<<< ∴ βαtan tan <由韦达定理得⎩⎨⎧=⋅=+6tan tan 5tan tan βαβα（2分）解得⎩⎨⎧==3tan 2tan βα（4分） ∴ 342122tan 1tan 22tan 22-=-⨯=-=ααα（6分） ∴ 913)34(31)34(32tan tan 12tan tan )2tan(-=-⨯+--=⋅+-=-αβαβαβ（8分） 19. 解：)62sin(2)212cos 232(sin 22cos 2sin 3π-=-=-=x x xx x y （3分） （I ）y 的最大值为2，当)62sin(π-x 1= 即2262πππ+=-k x 时即ππ31+=k x ∴ y 取最大值时自变量x 的集合为},3|{Z k k x x ∈+=ππ（6分）（II ）由题意知πππππ2326222+≤-≤+k x k ，Z k ∈，解得+≤≤+πππk x k 31π65，即函数y 的单调递减区间是]65,3[ππππ++k k Z k ∈（9分）20. 解：（I ）∵ AB e e e e e e CD BC BD 5)(5)(382212121=+=-++=+= ∴ BD 与AB 共线 ∴ A 、B 、D 三点共线；重点校3分，非重点校5分 （II ）由题意可知存在非零实数λ使)(2121e k e e e k +=+λ 即2121e k e e e k λλ+=+∴ ⎩⎨⎧==1λλk k 解得1±=k （重点校6分，非重点校10分）（III ）由题意知0)()(2121=+⋅+e k e e e k即0)1(2221221=+⋅++e k e e k e k又 ∵ 4||2121==e e ，2222||e e =9=，3213260cos ||||2121=⨯⨯=︒=⋅e e e e 即09)1(342=+++k k k 化简得031332=++k k 即613313±-=k （重点校10分） 21. 解：（I ）x xx x x b a 2cos 2sin 23sin 2cos 23cos=-=⋅（1分） 22222)(||b b a a b a b a +⋅+=+=+（2分）又 ∵ 123sin 23cos||2222=+==x x a a （3分） 12sin 2cos ||2222=+==xx b b （4分）x b a 2cos =⋅∴ x x x b a 22cos 4)2cos 1(22cos 22||=+=+=+（5分） 又 ∵ ]2,0[π∈x∴ x b a cos 2||=+（6分）（II ）x x b a b a x f cos 42cos ||2)(-=+-⋅= 3)1(cos 21cos 4cos 222--=--=x x x ∵ ]2,0[π∈x ∴ ]1,0[cos ∈x∴ 当1cos =x 时，)(x f 有最小值3-（非重点校10分）（III ）1cos 4cos 2cos 42cos )(2--=-=x x x x x f λλ 2221)(cos 2λλ---=x （重点校7分） 设t x =cos ，则]1,0[∈t2221)(2)()(λλϕ---==t t x f ]1,0[∈t（1）当0<λ时，)0(ϕ最小，1)0(-=ϕ与最小值为23-矛盾； （2）当10≤≤λ时，)(λϕ最小，此时有2321)(2-=--=λλϕ 21=λ（3）当1>λ时，)1(ϕ最小，此时有2341)1(-=-=λϕ，85=λ与1>λ矛盾综上可知21=λ（重点校10分）。