2019届江苏省泰州中学高三3月月考数学试题一、解答题1．已知三棱锥中，，.（1）若平面分别与棱、、、相交于点、、、，且平面，求证：.（2）求证：；【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）平面，且平面平面，由线面平行的性质定理得：，同理，即可证明；（2）由，，且，得平面，由（1）得，即可证明.【详解】（1）平面，平面平面，平面，由线面平行的性质定理得：；平面平面，平面，由线面平行的性质定理得：，所以成立.（2），.又平面，平面，，平面.又平面，，由（1）得，. 【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理和线面平行的性质定理，熟记定理的内容是关键，属于中档题.2．在中，三个内角，，，所对的边依次为，，，且.（1）求的值；（2）设，求的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】⑴利用同角三角函数基本关系式可求，利用三角函数恒等变换的应用即可计算得解．⑵由余弦定理，基本不等式可求的最大值，利用三角形两边之和大于第三边可求，即可得解的取值范围．【详解】，又C为三角形内角，，，，由余弦定理可得：，，可得：，当且仅当时等号成立，可得：，可得：，当且仅当时等号成立，，的取值范围为：【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，三角函数恒等变换的应用，余弦定理，基本不等式，三角形两边之和大于第三边等知识的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．3．某避暑山庄拟对一个半径为1百米的圆形地块（如图）进行改造，拟在该地块上修建一个等腰梯形，其中，，圆心在梯形内部，设.当该游泳池的面积与周长之比最大时为“最佳游泳池”.（1）求梯形游泳池的面积关于的函数关系式，并指明定义域；（2）求当该游泳池为“最佳游泳池”时的值.【答案】（1），；（2）.【解析】（1）分别取的中点，连接，易知，，，则，.（2），梯形的周长，设，，求导判断单调性，求其最大值即可.【详解】（1）如图，分别取的中点，连接，由平面几何得知，，三点共线，且，.易知，，且，得则梯形的面积（平方百米）， .（2）易知由（1）可得梯形的周长（百米）设，，由得，当时，，单调递增，当时，，单调递减所以当，该游泳池的面积与周长之比最大.即：时、该游泳池为“最佳游泳池”.【点睛】本题考查了函数解析式的求法和导数在函数最值中的应用，也考查了等腰梯形的性质，属于中档题．4．设椭圆，点为其右焦点，过点的直线与椭圆相交于点，.（1）当点在椭圆上运动时，求线段的中点的轨迹方程；（2）如图1，点的坐标为，若点是点关于轴的对称点，求证：点，，共线；（3）如图2，点是直线上的任意一点，设直线，，的斜率分别为，，，求证，，成等差数列.【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析.【解析】（1）设出中点的坐标，利用点的坐标得到点的坐标，将点的坐标代入椭圆方程，化简得到点的轨迹方程.（2）当斜率存在时，设出直线的方程，代入椭圆椭圆方程化简后写出韦达定理，计算，由此证得点，，共线. 当斜率不存在时，由椭圆对称性,易得结论成立.（3）设出的坐标，利用（2）的结果化简的表达式，化简得到结果为，由此证得，，成等差数列.【详解】（1），设，则，在椭圆上，所以所求轨迹方程为. （2）当斜率存在时，设其方程为：，，将代入椭圆方程并化简得其中，所以，点，，共线，而当斜率不存在时，由椭圆对称性，，重合，结论显然成立，综上点，，共线；（3）设，由（2）知，故，，成等差数列.【点睛】本小题主要考查代入法求点的轨迹方程，考查利用斜率证明三点共线的方法，考查等差中项的性质.有关中点求轨迹方程的问题，往往是设出中点的坐标，利用已知条件得到另一个点的坐标，而这个点在一个已知的曲线上，故将这个点的坐标代入曲线的方程，即可求得所求点的轨迹方程.5．如果数列对于任意，都有，其中为常数，则称数列是“间等差数列”，为“间公差”.若数列满足，，.（1）求证：数列是“间等差数列”，并求间公差；（2）设为数列的前项和，若的最小值为-153，求实数的取值范围；（3）类似地：非零数列对于任意，都有，其中为常数，则称数列是“间等比数列”，为“间公比”.已知数列中，满足，，，试问数列是否为“间等比数列”，若是，求最大的整数使得对于任意，都有；若不是，说明理由.【答案】（1）见解析；（2）；（3）63.【解析】（1）直接利用定义求出数列为间等差数列．（2）利用分类讨论思想，利用数列的前n项和公式求出数列的和，进一步利用不等量关系求出结果．（3）利用分类讨论思想，进一步求出数列的通项公式，再利用函数的单调性求出k的最大值．【详解】（1）若数列{a n}满足a n+a n+1＝2n﹣35，n∈N，则：a n+1+a n+2＝2（n+1）﹣35，两式相减得：a n+2﹣a n＝2．故数列{a n}是“间等差数列”，公差d＝2．（2）（i）当n＝2k时，（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a n﹣1+a n）＝﹣33﹣29+…+（2n﹣37）＝易知：当n＝18时，最小值S18＝﹣153．（ii）当n＝2k+1时，S n＝a1+（a2+a3）+（a4+a5）+…+（a n﹣1+a n）＝a1+（﹣33）+（﹣29）+…+（2n﹣37）＝，当n＝17时最小，其最小值为S17＝a﹣136，要使其最小值为﹣153，则：a﹣136≥﹣153，解得：a≥﹣17．（3）易知：c n c n+1＝2018•（）n﹣1，则：c n+1c n+2＝2018•（）n，两式相除得：，故数列{c n}为“间等比数列”，其间等比为．，易求出数列的通项公式为：，由于n＞n+1，则数列{n}单调递减．那么，奇数项和偶数项都为单调递减，所以：k＞0．要使数列为单调递减数列．只需2m﹣1＞2m＞2m+1，即：，解得，即最大的整数.【点睛】本题考查了数列的通项公式的求法及应用，数列的前n项和的应用，函数的单调性的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题．6．已知函数，，其中.（1）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围；（2）若，设函数，其中，证明：当时，【答案】（1）；（2）见解析【解析】（1）由在区间上单调递减，则在恒成立，变量分离求最值即可；（2）由，且，得，，所以，即不等式成立.【详解】（1），，函数在区间上单调递减，，即，，.（2），因为，，，时，，即成立.【点睛】本题考查了利用函数的单调性求参数的范围，变量分离求最值，不等式恒成立等问题，属于中档题.7．在平面直角坐标系xOy中，直线x+y﹣2＝0在矩阵对应的变换作用下得到直线x+y﹣b＝0（a，b∈R），求a+b的值．【答案】4【解析】根据矩阵的坐标变换，，整理得，与直线相对应得a和b的值即可．【详解】设P（x，y）是直线x+y﹣2＝0上一点，由，得x+ay+（x+2y）﹣b＝0，即，与直线x+y﹣2＝0相对应，得,解得：，∴a+b＝4．【点睛】本题主要考查了几种特殊的矩阵变换，同时考查了计算能力，属于基础题．8．已知在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，以轴的非负半轴为极轴的坐标系中，直线的极坐标方程为，直线与曲线相交于两点，求线段的值.【答案】【解析】把曲线化简为直角坐标方程，和直线化成参数方程，利用参数的几何意义，求出弦长即可.【详解】曲线，直线，设直线的参数方程为(t为参数)，代入曲线，得，设的参数分别为，.成立，，，弦长.【点睛】本题考查了圆的参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程和参数方程，属于基础题．9．已知抛物线方程，为焦点，为抛物线准线上一点，为线段与抛物线的交点，定义：.（1）当时，求；（2）证明：存在常数，使得.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）求得抛物线的焦点和准线方程，求得PF的斜率和方程，解得Q的坐标，由两点的距离公式可得所求值；（2）求得P（﹣1，0），可得a＝2，设P（﹣1，y P），y P＞0，PF：x＝my+1，代入抛物线方程，求得Q的纵坐标，计算2d（P）﹣|PF|，化简整理即可得证.【详解】（1）抛物线方程y2＝4x的焦点F（1，0），准线方程 ,当，k PF＝＝，PF的方程为y＝（x﹣1），代入抛物线的方程，解得x Q＝，抛物线的准线方程为x＝﹣1，可得|PF|＝＝，|QF|＝+1＝，d（P）＝＝；（2）当时，易得，不妨设，直线，则，联立，得，，，所以存在常数，使得.【点睛】本题考查抛物线的定义及性质，考查新定义的理解和运用，考查两点的距离公式和化简运算能力，属于中档题．10．设数列{an} 满足a1＝a，+1＝can+1﹣c（n∈N），其中a、c为实数，且c≠0．（1）求数列{an} 的通项公式；（2）设a＝，c＝，bn＝n（a﹣an）（n∈N），求数列{bn}的前n项和Sn．【答案】（1）；（2）【解析】（1）把给出的递推式移向后讨论a，当a1＝a≠1时，{a n﹣1}是首项为a﹣1，公比为c的等比数列，求出通项公式后验证a＝1时成立；（2）把数列{a n} 的通项公式代入b n＝n（a﹣a n），然后利用错位相减法求数列 {b n}的前n项和S n；【详解】（1）解：∵a n+1＝ca n+1﹣c，∴a n+1﹣1＝c（a n﹣1）∴当a1＝a≠1时，{a n﹣1}是首项为a﹣1，公比为c的等比数列，∴，即．当a＝1时，a n＝1仍满足上式．∴数列{a n} 的通项公式为；（2）由（1）得，当a＝，c＝时，b n＝n（1﹣a n）＝n{1﹣[1﹣]}＝n∴两式作差得＝.【点睛】本题考查了由数列递推关系求通项公式，考查了分类讨论的数学思想，考查了错位相减法求数列的前n项和，属于中档题．二、填空题11．已知集合，，则__________．【答案】【解析】利用交集定义直接求解即可．【详解】∵集合，，则=故答案为：【点睛】本题考查交集的求法等基础知识，属于基础题．12．设为虚数单位，，则的值为__________【答案】【解析】把已知等式变形得，再由，结合复数模的计算公式求解即可．【详解】由，得，即本题正确结果：【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，属于基础题．13．已知一组数据4，3，5，7，1，则该组数据的标准差__________．【答案】【解析】先求出这组数据4，3，5，7，1的平均数，进而由标准差的公式计算即可．【详解】这组数据4，3，5，7，1的平均数为：（4+3+5+7+1）＝4，故这组数据的标准差为：，故答案为：2【点睛】本题考查了数据的平均数，标准差，熟记标准差的公式是关键，属于基础题．14．执行如图所示的伪代码，最后输出的的值__________．【答案】【解析】模拟执行程序代码，依次写出每次循环得到的i，的值，当i＝3时，不满足条件退出循环，输出的值即可．【详解】模拟执行程序代码，可得i＝1，＝2满足条件i，执行循环体，＝2，i＝2满足条件i，执行循环体，＝2，i＝3不满足条件i，退出循环，输出的值为4．故答案为：4．【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的i，的值是解题的关键，属于基础题．15．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，则取到的2个数的和大于5的概率为__________．【答案】【解析】先求出基本事件总数，再用列举法列出2个数和大于5包含的基本事件，从而由古典概型的公式计算即可．【详解】在1，2，3，4，5中任取2个不同的数，基本事件总数n＝＝10，其中和大于5包含的基本事件有：（1，5），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5），共有m＝6个，由古典概型的公式得故答案为：．【点睛】本题考查古典概型的概率的求法，注意列举法的合理运用，属于基础题.16．已知，则__________．【答案】【解析】由，得tanα＝-2，由二倍角的正切公式化简后，把tanα的值代入即可．【详解】∵sina+2c osa=0，得，即tanα＝-2，∴tan2α＝．故答案为：【点睛】本题考查了二倍角的正切公式，以及同角三角函数间的基本关系，属于基础题．17．在平面直角坐标系中，双曲线的离心率为2，则实数的值是__________．【答案】【解析】根据题意，得双曲线的焦点在x轴上，由双曲线的离心率公式可得e2＝＝4，解得m的值即可．【详解】双曲线的方程为，分析可得双曲线的焦点在x轴上，其离心率为2，则有e2＝=4，解得m＝；故答案为：．【点睛】本题考查由双曲线的离心率求双曲线的方程，注意先确定双曲线焦点的位置，属于基础题.18．魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体“牟合方盖”.刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π：4.若正方体的棱长为2.则“牟合方盖”的体积为__________．【答案】【解析】由题意先求出正方体内切球的体积，再由已知体积比求得“牟合方盖”的体积即可．【详解】正方体的棱长为2，则其内切球的半径r＝1，∴正方体的内切球的体积，又由已知，∴．故答案为：．【点睛】本题考查正方体内切球的体积，理解题意是关键，属于基础题．19．已知，，，，则__________．【答案】【解析】由，即，且，所以=，又因为，得，，计算即可得答案.【详解】因为，即，且，所以是以为首项，以为公差的等差数列，所以=.又因为，所以， .即 .故答案为：【点睛】本题考查了判断一个数列是不是等差数列的方法，也考查了等差数列通项公式的应用，属于中档题.20．在平面直角坐标系xOy中，若直线ax+y﹣2＝0与圆心为C的圆（x﹣1）2+（y﹣a）2＝16相交于A，B两点，且△ABC为直角三角形，则实数a的值是__【答案】-1【解析】由题意可得△ABC是等腰直角三角形，即圆心C（1，a）到直线ax+y﹣2＝0的距离等于r•sin45°，再由点到直线的距离公式求得a的值．【详解】由题意可得△ABC是等腰直角三角形，∴圆心C（1，a）到直线ax+y﹣2＝0的距离等于r•sin45°＝＝，再由圆心C到直线ax+y﹣2＝0的距离公式计算，得，∴a＝﹣1.故答案为：﹣1．【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，直角三角形中的边角关系，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．21．如图，已知半圆的直径，是等边三角形，若点是边（包含端点）上的动点，点在弧上，且满足，则的最小值为__________．【答案】2【解析】将向量转化为，代入，将所求向量的数量积转化为,表示在上的投影，由此可求得最小值. 【详解】，由数量积的几何意义可知，当与重合时，在上的投影最短，此时，,故填2.【点睛】本小题主要考查向量的线性运算，考查向量的数量积运算，以及几何图形中向量问题的求解.属于中档题.22．已知集合，，存在正数，使得对任意，都有，则的值是____________【答案】1或【解析】根据所处的不同范围，得到和时，所处的范围；再利用集合的上下限，得到与的等量关系，从而构造出方程，求得的值.【详解】，则只需考虑下列三种情况：①当时，又且可得：②当即时，与①构造方程相同，即，不合题意，舍去③当即时可得：且综上所述：或【点睛】本题考查利用集合与元素的关系求解参数的取值问题，关键在于能够通过的不同取值范围，得到与所处的范围，从而能够利用集合的上下限得到关于的等量关系，从而构造出关于的方程；难点在于能够准确地对的范围进行分类，对于学生的分析和归纳能力有较高的要求，属于难题.23．在锐角△ABC中，C＝，则tanA+tanB的最小值为_____【答案】【解析】根据tanC＝﹣tan（A+B），利用正切的两角和公式求得tanA+tanB与tanAtanB 的关系式，利用基本不等式获得关于tanA+tanB的一元二次不等式求解即可．【详解】∵△ABC为锐角三角形，∴tanA＞0，tanB＞0，且，所以 tanC＝﹣tan（A+B）＝＝1，∴tanA+tanB＝﹣1+tanAtanB，∵tanAtanB≤（tanA=tanB取等号），∴tanA+tanB≤﹣1+，求得tanA+tanB≥，或tanA+tanB≤（舍去），故答案为：．【点睛】本题考查了两角和与差的正切函数的应用，基本不等式的应用．解题的关键找到tanA+tanB与tanAtanB的关系,属于中档题.24．定义在R上的偶函数f（x），且对任意实数x都有f（x+2）＝f（x），当x∈[0，1）时，f（x）＝x2，若在区间[﹣3，3]内，函数g（x）＝f（x）﹣kx﹣3k有6个零点，则实数k的取值范围为__．【答案】【解析】由函数的奇偶性、周期性可作y＝f（x）的图象，又直线y＝k（x+3）过定点（﹣3，0），数形结合计算可得解．【详解】由定义在R上的偶函数f（x），且对任意实数x都有f（x+2）＝f（x），当x∈[0，1）时，f（x）＝x2，可得函数f（x）在区间[﹣3，3]的图象如图所示，在区间[﹣3，3]内，函数g（x）＝f （x）﹣kx﹣3k有6个零点，等价于y＝f（x）的图象与直线y＝k（x+3）在区间[﹣3，3]内有6个交点，又y＝k（x+3）过定点（﹣3，0），观察图象可知实数k的取值范围为：，故答案为：（0，]【点睛】本题考查了由函数的奇偶性、周期性画图像的问题，及直线过定点，也考查了数形结合的思想方法，属于中档题．。