A与B的并(记作A∪B)是X上的一个模糊集, 其隶属函数为 (A∪B)(x)=max{A(x), B(x)}=A(x)B(x), xX.
(A∪B)(x)
4. 模糊集的交 定义 非空论域X上的两个模糊集合A与B的交(记作A∩B)是 X上的一个模糊集, 其隶属函数为 (A∩B)(x)=min{A(x), B(x)}=A(x)B(x), xX.
A 0 /1 0 / 2 0.3 / 3 0.7 / 4 1/ 5 1/ 6 0.7 / 7 0.3 / 8 0 / 9 0 /10
或 或
A 0.3 / 3 0.7 / 4 1/ 5 1/ 6 0.7 / 7 0.3 / 8 A (0, 0, 0.3, 0.7,1,1, 0.7, 0.3, 0, 0)
且BA, 即对任意xX有A(x)= B(x).
3. 模糊集的并 设X为非空论域, A, B为X上的两个经典集合。 A∪B={xX| xA或xB}. 易证 CAB(x)=max{CA(x), CB(x)}=CA(x)CB(x).
1
X
定义
设X为非空论域, A, B为X上的两个模糊集合。
模糊集“年轻”A可表示为
1 A x[0,25] x x 25 2 1 [1 ( ) ] 5 x(25,100) x 0 x[100,200] x
注意：当论域明确的情况下 , 在序偶和 Zadeh 表示法 中 , 隶属度为 0 的项可以不写出。而在向量表示法中 , 应 该写出全部分量。 例如 , 论域 X 为 1 到 10 的所有正整数 , 模糊集“近似于 5”A可表示为：
特别地, 空集的隶属函数恒为0, 全集X的隶属函数恒为1,
即、X都是X上的模糊集。
2. 模糊集的包含关系
设X为非空论域, A, B为X上的两个经典集合。 AB 当且仅当属于A的元素都属于B. 易证AB当且仅当对任意xX有CA(x) CB(x).
1
1
X
定义 设X为非空论域, A, B为X上的两个模糊集合。 称A包含于B(记作AB), 如果对任意xX有A(x) B(x). 这时也称A为B的子集。
Ai : X [0,1];
iI
Ai ( x) iI
iI
A ( x), x X .
iI i
Ai : X [0,1]; Ai ( x) iI
A ( x), x X .
iI i
例 设论域X={x1, x2, x3, x4}为一个4人集合, X上的模糊集合 A表示“高个子”: A={ (x1, 0.6), (x2, 0.5), (x3, 1) , (x4, 0.4) }. 模糊集合B表示“胖子”: B= { (x1, 0.5), (x2, 0.6), (x3, 0.3) , (x4, 0.4) }. 则模糊集合“高或胖”为: A∪B={(x1,0.6∨0.5),(x2,0.5∨0.6),(x3,1∨0.3),(x4,0.4∨0.4)} ={(x1, 0.6), (x2, 0.6), (x3, 1), (x4, 0.4)}. 模糊集合“又高又胖”为: A∩B={(x1, 0.5), (x2, 0.5), (x3, 0.3), (x4, 0.4)}. 模糊集合“个子不高”为: A ={(x1, 0.4), (x2, 0.5), (x3, 0), (x4, 0.6)}.
四.模糊集的运算性质
1. 经典集合的运算性质
经典集合关于并、交、补运算具有以下性质: 设X为论域, A, B, C为X上的经典集合, 则 (1) 幂等律: A∪A=A, A∩A=A; (2) 交换律: A∪B=B∪A, A∩B=B∩A; (3) 结合律: (A∪B)∪C=A∪(B∪C), (A∩B)∩C=A∩(B∩C); (4) 吸收律: A∪(A∩B)=A, A∩(A∪B)=A; (5) 分配律: A∩(B∪C)= (A∩B)∪(A∩C), A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C);
xa x a (b, c 0)
0 xa A( x) b a 1
xa a xb xb
xa 0 1 1 ab A( x) sin [x ] a xb ba 2 2 2 xb 1
“年轻”模糊集合的隶属函数为降半柯西分布, 其中取
二. 典型的隶属函数
构造恰当的隶属函数是模糊集理论应用的基础。一 种基本的构造隶属函数的方法是“参考函数法”, 即参 考一些典型的隶属函数, 通过选择适当的参数, 或通过拟 合、整合、实验等手段得到需要的隶属函数。 下面介绍典型隶属函数。 1. 偏小型 降半矩形分布, 降半Γ形分布, 降半正态分布, 降半柯 西分布, 降半梯形分布, 降岭形分布。
1 A( x) 0
xa xa
xa 1 A( x) k ( x a ) x a, k 0 e
1 A( x) k ( x a )2 e
xa x a, k 0
1 A( x) 1 1 b( x a)c
2. 模糊集合的运算性质 定理 设X为论域, A, B, C为X上的模糊集合, 则 (1) 幂等律: A∪A=A, A∩A=A; (2) 交换律: A∪B=B∪A, A∩B=B∩A; (3) 结合律: (A∪B)∪C=A∪(B∪C), (A∩B)∩C=A∩(B∩C); (4) 吸收律: A∪(A∩B)=A, A∩(A∪B)=A; (5) 分配律: A∩(B∪C)= (A∩B)∪(A∩C), A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C); (6) 对合律(复原律): (A)=A; (7) 两极律(同一律): A∩X=A, A∪X=X, A∩=, A∪=A; (8) De Morgan对偶律: (A∪B)=A∩B, (A∩B)=A∪B.
三. 模糊集上的运算 1. 几点说明
经典集合可用特征函数完全刻画, 因而经典集合可看成 模糊集的特例(即隶属函数只取0, 1两个值的模糊集)。 设 X 为 非 空 论 域 , X 上 的 全 体 模 糊 集 记 作 F(X). 于 是 ,
P(X)F(X), 这里P(X)为X的幂集(即X的全体子集构成的集合).
2) 向量表示法 当论域X={x1, x2, …, xn}时, X上的模糊集A可表示为向量 A=(A(x1), A(x2), …,A(xn)). 模糊集“帅哥”A可记为: A=(0.55, 0.78, 0.91, 0.56). 向量的每个分量都在0与1之间,称之为模糊向量。 3） Zadeh表示法 当论域为有限集{x1, x2, …, xn}时, 模糊集合可表示为 A=A(x1)/x1+A(x2)/x2+ …+A(xn)/xn. 注意, 这里仅仅是借用了算术符号+和/, 并不表示分数 和运算, 而只是描述A中有哪些元素,以及各个元素的隶属 度值。 对于任意论域X中的模糊集合A可记为: A( x) A A( x) / x A xX xX x
k ( x a )2
k ( xa ) e A( x) k ( x a ) e
xa xa
A( x) e
,k 0
1 A( x) 1 b( x a ) c
0 c x a c b A( x) 1 c x a c b 0
(6) 对合律(复原律): (A)=A; (7) 两极律(同一律): A∩X=A, A∪X=X, A∩=, A∪=A; (8) De Morgan对偶律: (A∪B)=A∩B, (A∩B)=A∪B; (9) 排中律(互补律): A∪A=X, A∩A=. 注：满足上述前四条规律的代数系统称为格(可诱导出一个序 ABA∩B=AA∪B=B)。 满足以上9条性质的代数系统 称为布尔代数(Boolean algebra, 即“有补的有界分配格”.
b 0 (c为正偶数)
x ac a c x a b a b x a b ab x ac x ac
x b 0 1 1 sin [ x a b ] b x a 2 2 2 b a A( x) 1 a x a 1 1 ab sin [x ] a xb 2 2 2 b a xb 0
(A∩B)(x)
5. 模糊集的补 定义 非空论域X上的一个模糊集合A的补(记作A或AC)X 上的一个模糊集, 其隶属函数为 A(x)=1A(x), xX.
注：两个模糊集的并、交运算可以推广到一般情形 , 即 对任意指标集I, 若Ai是X上的模糊集, iI. 则模糊集的 (任意)并、(任意)交定义为:
0 A( x) 1
xa xa
xa
0 A( x) k ( x a )2 1 e
xa x a, k 0
0 A( x) k ( x a ) 1 x) 1 1 b( x a) c
第二章
模糊集的基本运算
一. 模糊集的表示方法
模糊集合是论域X 到[0,1]的映射, 因此用隶属函 数来表示模糊集合是最基本的方法。除此以外 , 还有 以下的表示方法： 1)序偶表示法 A={(x, A(x)|xX}.
例如: 用集合X={x1, x2, x3, x4}表示某学生宿舍中的四 位男同学 , “帅哥”是一个模糊的概念。经某种方法 对这四位学生属于帅哥的程度(“帅度” ) 做的评价依 次为: 0.55, 0.78, 0.91, 0.56, 则以此评价构成的模糊集 合A记为: A={(x1, 0.55), (x2, 0.78), (x3, 0.91), (x4, 0.56)}.
1 B(x) A(x)
X
例
论域X={x1, x2, x3, x4}时, X上的模糊集A为: A=(0.55, 0.78, 0.91, 0.56).
X上的模糊集B为:
B=(0.35, 0.52, 0.65, 0.37).
帅哥
则根据定义有BA.