1、模糊子集
定义：设U是论域，称映射
A : U [0,1],
U
~
x A( x) [0,1]
A
~
~
确定了一个U上的模糊子集 A 。映射 A 称为 A 隶属函
~
~
~
数，A( x)
~
称为 x
对
A 的隶属程度，简称隶一确定，故认为二者
~
~
是等同的。为简单见，通常用A来表示
表示取大； 表示取小。
余： Ac ( x) 1 A( x),x U
例 设论域U = {x1, x2, x3, x4, x5}(商品集)，在U 上定义两个模糊集： A =“商品质量好” B =“商 品质量坏”，并设
A = (0.8, 0.55, 0, 0.3, 1). B = (0.1, 0.21, 0.86, 0.6, 0). 则Ac=“商品质量不好”, Bc=“商品质量不坏”.
（4）有界和、取小算子 (,)
a b 1 (a b),a b min{a,b}
（5）有界和、乘积算子 (,)
a b 1 (a b),a b ab

（6）Einstain算子 ( , )

a b
ab

,a b
ab
1 ab
A : U {0,1} u A(u),
其中

A (u)

1, 0,
u A u A
函数 A 称为集合A的特征函数。
二、模糊集合及其运算
美国控制论专家Zadeh教授正视了经典集合描述的 “非此即彼”的清晰现象，提示了现实生活中的绝大多数 概念并非都是“非此即彼”那么简单，而概念的差异常以 中介过渡的形式出现，表现为“亦此亦彼”的模糊现象。 基于此，1965年， Zadeh教授在《Information and Control》杂志上发表了一篇开创性论文“Fuzzy Sets”, 标志着模糊数学的诞生。
A A( x) xU x
2、模糊集的运算
定义：设A，B是论域U的两个模糊子集，定义
相等： A B A( x) B( x),x U
包含： A B A( x) B( x),x U
并： ( A B)(x) A( x) B( x),x U 交： ( A B)(x) A( x) B( x),x U
1 (1 a)(1 b)
3、模糊矩阵 定义：设 R (rij )mn ,0 rij 1,称R为模糊矩阵。
当 rij 只取0或1时，称R为布尔（Boole）矩阵。 当模糊方阵 R (rij )nn的对角线上的元素 rii 都为1时， 称R为模糊自反矩阵。
（1）模糊矩阵间的关系及运算 定义：设 A (aij )mn , B (bij )mn 都是模糊矩阵，定义 相等：A B aij bij 包含：A B aij bij
A
~
和
A
~
。
“高个子”——1.80高个子，1.79可以略低于1 （99%）的程度属于高个.
模糊子集通常简称模糊集，其表示方法有： （1）Zadeh表示法
A A( x1) A( x2 ) A( xn )
x1
x2
xn
这里
A( xi xi
)
表示
xi
对模糊集A的隶属度是
A(
xi
)。
如
Ac= (0.2, 0.45, 1, 0.7, 0). Bc= (0.9, 0.79, 0.14, 0.4, 1). 可见Ac B, Bc A. 商品质量不好商品质量坏 又 A∪Ac = (0.8, 0.55, 1, 0.7, 1) U,
A∩Ac = (0.2, 0.45, 0, 0.3, 0) .
A 1 0.8 0.2 0 12 34
（2）序偶表示法 A {( x1, A( x1)),( x2, A( x2 )),,( xn , A( xn ))}
（3）向量表示法 A ( A( x1), A( x2 ),, A( xn ))
若论域U为无限集，其上的模糊集表示为：
模糊性是一种内在结构的不确定性。
一、经典集合与特征函数
集合：具有某种特定属性的对象集体。
通常用大写字母A、B、C等表示。
论域：对局限于一定范围内进行讨论的对象的全体。
通常用大写字母U、V、X、Y等表示。
论域U中的每个对象u称为U的元素。
在论域U中任意给定一个元素u及任意给定一个
经典集合A，则必有 u A或者u A ，用函数表示为：
模糊集合及其运算
确定性
—— 经典数学
量
随机性 —— 随机数学
不确定性
模糊性 —— 模糊数学
随机性：事件本身的状态是清楚的，但是否发生
不确定 。 （事件是否发生不确定）
明天有雨，掷一枚骰子出现6点
模糊性：事件本身的状态不很分明，不在于事件
发生与否。（事件本身的状态不确定）
青年人，高个子
模糊数学也是由于实践的需要而产生的，模糊概念 （或现象）处处存在。 有时使用模糊性比使用精确性还要好 。 例如，“大胡子高个子长头发戴宽边黑色眼镜的中年 男人” 模糊数学决不是把数学变成模模糊糊的东西，它也 具有数学的共性：条理分明、一丝不苟。即使描述模 糊概念（或现象），也会描述得清清楚楚。 一般来说，随机性是一种外在因果的不确定性，
模糊集合的截集
定义：设 AF ( X ) ， [0，1]，记 (A) ={ xX | A(x) },
称 (A) 为 A 的 截集，简记为 A 。
例取 则有
A 1 0.8 0.6 0.5 0.2 0
x1 x2
x3
x4
x5
x6
A1 {x1}, A0.8 {x1, x2}, A0.7 {x1, x2}, A0.6 {x1, x2 , x3}, A0.4 {x1, x2 , x3 , x4}, A0.2 {x1, x2 , x3 , x4 , x5} A0 X。
几个常用的算子：
（1）Zadeh算子 (,) a b max{a,b},a b min{a,b}
（2）取大、乘积算子 (,) a b max{a,b},a b ab
（3）环和、乘积算子 (ˆ ,) a ˆ b a b ab,a b ab