相等： A B A( x) B( x),x U
包含： A B A( x) B( x),x U
并： ( A B)(x) A( x) B( x),x U 交： ( A B)(x) A( x) B( x),x U
表示取大； 表示取小。
余： Ac ( x) 1 A( x),x U
取小运算
例：设A 1 0.1, B 0.4 0 ,则 0.2 0.3 0.3 0.2
A B 1 0.1 A B 0.4 0
0.3 0.3
0.2 0.2
Ac 0 0.9 0.8 0.7
Bc 0.6 1 0.7 0.8
（2）模糊矩阵的合成 定义：设 A (aij )ms , B (bij )sn , 称模糊矩阵 A B (cij )mn
1
1/2
0
a1 a1 a 2 a2
x
2
(3) 中间型（ 型）：这种类型的隶属函数在 ( －，
a) 上为偏大型，在 (a, +) 为偏小型，所以称为中间 型.
描述“中”，“暖和”、“中年”等处于中间的模 糊现象。
越居中越好（人的体重）
A(x)
1）矩形分布
0 , x a b ,
1
Ax 1, a b x a b ,
Ac= (0.2, 0.45, 1, 0.7, 0). Bc= (0.9, 0.79, 0.14, 0.4, 1). 可见Ac B, Bc A. 商品质量不好商品质量坏 又 A∪Ac = (0.8, 0.55, 1, 0.7, 1) U,
A∩Ac = (0.2, 0.45, 0, 0.3, 0) .
越大越好（食品中营养物质的含量）
1）升半矩形0分, 布x a, A(x)
A(x) 1, x a.
1
0
a
x
2）升半 分布
0,
x a,
A(x) 1 ek(xa) , x a.
A(x)
1
0
a a+1/k x
图 3.8
3）升半正态分布
0,
x a,
A(x) 1 ek(xa)2 , x a. k 0
模糊集合的截集
定义：设 AF ( X ) ， [0，1]，记 (A) ={ xX | A(x) },
称 (A) 为 A 的 截集，简记为 A 。
例取 则有
A 1 0.8 0.6 0.5 0.2 0
x1 x2
x3
x4
x5 x6
A1 {x1}, A0.8 {x1, x2}, A0.7 {x1, x2}, A0.6 {x1, x2 , x3}, A0.4 {x1, x2 , x3 , x4}, A0.2 {x1, x2 , x3 , x4 , x5} A0 X。
（5）有界和、乘积算子 (,)
a b 1 (a b),a b ab
（6）Einstain算子 ( , )
a b
ab
,a b
ab
1 ab
1 (1 a)(1 b)
3、模糊矩阵 定义：设 R (rij )mn ,0 rij 1,称R为模糊矩阵。
当 rij 只取0或1时，称R为布尔（Boole）矩阵。 当模糊方阵 R (rij )nn的对角线上的元素 rii 都为1时， 称R为模糊自反矩阵。
2、指派方法 这是一种主观的方法，但也是用得最普遍的一种
方法。它是根据问题的性质套用现成的某些形式的模 糊分布，然后根据测量数据确定分布中所含的参数。
(1) 偏大型（S 型）：这种类型的隶属函数随 x 的 增大而增大，随所选函数的形式不同又分为：
描述“大”，“热”、“老年”等偏向大的一方的 模糊现象。
例 设论域U = {x1, x2, x3, x4, x5}(商品集)，在U 上定义两个模糊集： A =“商品质量好” B =“商 品质量坏”，并设
A = (0.8, 0.55, 0, 0.3, 1). B = (0.1, 0.21, 0.86, 0.6, 0). 则Ac=“商品质量不好”, Bc=“商品质量不坏”.
A(x) 1
0
a
x
5）降半梯形分布
1 ,
Ax
a2 a2
x a1
,
0 ,
x a1 , a1 x a2 , a2 x .
A(x)
1
0
a1
a2 x
6）降岭形分布
Ax
1 , 1 2
1 2
sin
x
a2
a1 a1
, (x
a2
2
a1
)
,
0 ,
a2 x .
A(x)
a1 x a2 ,
（2）序偶表示法 A {( x1, A( x1)),( x2, A( x2 )), ,( xn , A( xn ))}
（3）向量表示法 A ( A( x1), A( x2 ), , A( xn ))
若论域U为无限集，其上的模糊集表示为：
A A( x) xU x
2、模糊集的运算
定义：设A，B是论域U的两个模糊子集，定义
（4）U中的一个以 A* 作为弹性边界的模糊子集A，
制约着 A* 的运动。A* 可以覆盖 u0 ,也可以不覆盖 u0 , 致使 u0对A的隶属关系是不确定的。
特点：在各次试验中，u0是固定的，而 A* 在随机变动。 模糊统计试验过程：
（1）做n次试验，计算出
u0对A的隶属频率
u0
A*的次数 n
（2）随着n的增大，频率呈现稳定，此稳定值即为
A : U {0,1} u A(u),
其中
A (u)
1, 0,
u A u A
函数 A 称为集合A的特征函数。
二、模糊集合及其运算
美国控制论专家Zadeh教授正视了经典集合描述的 “非此即彼”的清晰现象，提示了现实生活中的绝大多数 概念并非都是“非此即彼”那么简单，而概念的差异常以 中介过渡的形式出现，表现为“亦此亦彼”的模糊现象。 基于此，1965年， Zadeh教授在《Information and Control》杂志上发表了一篇开创性论文“Fuzzy Sets”, 标志着模糊数学的诞生。
A
~
和A
~
。
“高个子”——1.80高个子，1.79可以略低于1 （99%）的程度属于高个.
模糊子集通常简称模糊集，其表示方法有： （1）Zadeh表示法
A A( x1) A( x2 ) A( xn )
x1
x2
xn
这里
A( xi xi
)
表示
xi
对模糊集A的隶属度是
A( xi
)。
如
A 1 0.8 0.2 0 12 34
0 , a b x .
0 a-b a a+b x
2）尖分布
A x
ek xa ek xa
, ,
几个常用的算子：
（1）Zadeh算子 (,) a b max{a,b},a b min{a,b}
（2）取大、乘积算子 (,) a b max{a,b},a b ab
（3）环和、乘积算子 (ˆ ,) a ˆ b a b ab,a b ab
（4）有界和、取小算子 (,)
a b 1 (a b),a b min{a,b}
（1）模糊矩阵间的关系及运算 定义：设 A (aij )mn , B (bij )mn 都是模糊矩阵，定义 相等：A B aij bij 包含：A B aij bij
并： A B (aij bij )mn
取大运算
交： A B (aij bij )mn 余： Ac (1 aij )mn1）降半矩形分布 NhomakorabeaAx
1 , 0 ,
xa, x a.
1
0
a
x
2）降半分布
Ax
1 , ek
xa
,
xa, xa,
其中
k 0.
A(x)
1
0
a a+1/k
x
3）降半正态分布
Ax
1 ,
e
k
x
a
2
,
xa, xa,
其中
k 0.
A(x) 1
0
a
x
4）降半柯西分布
Ax
1 , 1
x
a
1
,
xa,
x a ,其中 0, 0 .
为A与B的合成，其中 cij {(aik bkj ) 1 k s} 。
模糊矩阵的幂 A2 Ao A
例：
设A 0.4 0.1
0.5 0.2
0.6 , B 0.3
0.1 0.3 0.5
0.2 0.4
,
则
0.6
A B 0.5 0.6 0.3 0.3
0.1 0.2 0.2 B A 0.3 0.3 0.3
A(x)
1
0
a
x
图 3.9
4）升半柯西分布
0,
A(x) [1 (x a) ]1,
x a, x a.
0, 0
A(x)
1
0
a
x
5）升半梯形分布
0,
A(
x)
x a2
a1 a1
,
1
x a, a1 x a2
a2 x.
A(x)
1
0
a1 a2
x
6）升岭形分布
0,
A(
x)
62 68 76 85 95 101 0.78 0.76 0.76 0.75 0.79 0.78
由表 1可见，隶属频率随试验次数 n 的增加而呈现
稳定性，稳定值为 0.78，故有 [青年人] (27) = 0.78。
模糊统计与概率统计的区别：
模糊统计：变动的圆盖住不动的点 概率统计：变动的点落在不动的圆内