第6章 勒让德函数6.1 勒让德方程与勒让德多项式一、线性常微分方程的级数解法
主要内容：利用复变函数论求二阶线性齐次常微分方程 的级数解。

1. 级数解法的基本思想：
把方程的解表示为以
为中心、带有待定系数的幂级数，将这个幂级数带入方程及定解条件，求出所有待定系数即可得该方程的解。

0z
说明：
(1)级数解法是一个比较普遍的方法，对方程无特殊的要求。

(2)对于级数，存在是否收敛和收敛范围的问题。

用级数解法要选定某个点 作展开中心，得到的解是以
为中心的幂级数。

另外还必须确定幂级数的收敛圆，级数解只在收敛圆内部才有意义。

0z 0z
2. 方程的常点和奇点方程的标准形式：
(1)
其中：w (z )—未知的复变函数，p (z )、q (z )—已知的复
变函数 (方程的系数)
要求解的问题：
在一定条件下( 如初始条件 )满足(1)的w (z )。

''()()'()()()0w z p z w z q z w z ++=1000)(',)(c z w c z w ==
方程(1)的解的性质 (解的存在性、唯一性、稳定性、单值性等) 由方程的系数p (z )和q (z )的解析性确定。

设p (z )和q (z )在一定的区域中，除若干个孤立奇点外，是z 的单值解析函数。

区域中的点可分为两类：
(i)方程的常点：如果p (z )和q (z )都在点 的邻域解析，则
称为方程的常点。

0z 0z
(ii) 方程的奇点：只要两系数p (z )和q (z )之一在点 不 解析， 就称为方程的奇点。

如果
最多是p (z )的一阶极点、q (z )的二阶极点，则
称为方程的正则奇点。

否则，则 称为方程的非正则奇点。

0z 0z 0z 0z 0z
解：1. 级数解的形式
由于 ，在 解析 是方程 的常点。

级数解具有以下形式：
0()k k k w z C z ∞
==∑
2.将级数解代入方程，求待定系数。

210
(1)20k k k
k k k k k k C k k z z C kz C z λ∞
∞
∞
−−===−−+=∑∑∑ (1)
为比较同次幂的系数，对上式作变换：
λ=−=)(,
2)(z q z z p 00=z 0z ⇒(
：任意常数)10,c c 22
2
(1)(1)k k k k k k C k k z C k k z ∞
∞
−−==−=−∑∑
求正则解的步骤：
为方便起见，设正则奇点 （对于一般的 点，只需把0z z z →−）
以2
z 乘方程 '''0w pw qw ++= (5)
得： 2
11''()'()0z w zp z w q z w ++= (6)
其中： 1
()()p z zp z = 2
1()()q z z q z =
由条件(4)可知： ，
在z =0点及其邻域内是解析的， 作泰勒展开：
10
()s
s s p z a z
∞
==∑
10
()s
s s q z b z ∞
==∑ (7)
0=z 0z )(1z p )(1z q
由z 的最低次幂的系数为零得：
000[(1)]0C a b ρρρ−++= (00,a b 已知) 0000(1)0C a b ρρρ≠⇒−++= (10)
—— 的二次方程，指标方程 又由(9)式中的 的系数为零得：
()(1)()0n s n s s n s s s C n n a n s C b C ρρρ∞
∞
−−==++−++−+=∑∑ (1,2)n = (11)
利用递推关系，可以逐一把(8)式中的 用 和 以及已知的 和 表示出来。

说明：由指标方程 的两个根。

故用递推关系(11)一般可以得到两组系数 。

具体讨论参见郭敦仁《数学物理方法》。

0C 1C (0)k C k >s a s b ρ⇒21,ρρk k d c ,ρn
z
9. 勒让德多项式的递推公式
递推关系：相邻的勒让德多项式以及它们的导数
之间存在着一定的关系。

具体如下：
1()()'()
(2)
l l l l P x x P x P x −′=−11(1)()(21)()()0(1)
l l l l P x l x P x l P x +−+−++=11(21)()'()'()
(4)
l l l l P x P x P x +−+=−1(1)()'()'()
(3)
l l l l P x P x x P x ++=−
整理上式后比较等式两边 的系数，得递推关系式 (2)。

(3) 由(1)式两边对x 求导，再与递推关系式(2)联立消去
含
的项，即得递推关系式(3) (4) 递推关系式(2)+递推关系式(3) 递推关系式(4)
⇒)('
1
x P l −10
()()'()l l
l l l l t l P x t x t P x t ∞∞
−==⇒=−∑∑l
t。