第三篇:勒让德多项式
本篇主要内容： 勒让德多项式及球函数；贝塞 尔函数和柱函数. 本篇重点：勒让德多项式和贝塞尔函数. 本篇特点：加强了思维能力的训练, 以及计算机 仿真绘图在特殊函数中的应用.
第十九章 勒让德多项式 球函数
19.1 勒让德方程及其解的表示 19.1.1 勒让德方程 勒让德多项式
在分离变量法一章中，我们已经知道拉普拉斯方程
l l 1 1 l ! 1 2 2 l 2 l k k k l 2 k ( x 1 ) ( x ) ( 1 ) ( 1 ) x l l l ( l k )! k ! 2 l ! 2 l ! 2 k ! ( l k )! k 0 k 0
．
（19.１.8）
l 2n （即为偶数）时， 则 P 2 n ( x ) 含有常数项，即
（19.１.7）中
n
k l 2 n 的那一项，所以
( 2 n ) ! ( 2 n 1 ) ! ! n P ( 0 ) (1 ) n n (1 ) （19.１.9） 2 n 2 n ! 2 n ! ( 2 n ) ! ! 2 n ) ! ! ( 2 n ) ( 2 n 2 ) ( 2 n 4 ) 6 4 2 式中记号 ( 而 ( 2 n 1 ) ! ! ( 2 n 1 ) ( 2 n 3 ) ( 2 n 5 ) 5 3 1 因此， ( 2 n ) ! ( 2 n ) ! ! ( 2 n 1 ) ! !
P0 ( x ) 1
P ( x ) x c o s 1
1 2 1 P () x ( 3 x 1 ) ( 3 c o s 2 1 ) 2 2 4
1 3 1 P () x ( 5 x 3 x ) ( 5 c o s 3 3 c o s) 3 2 8
（19.1.1）
和球谐函数方程
2 1 Y Y 1 s i n 2 l ( l1 ) Y 0 2 s i n i n s
（19.１.2）
(19.1.2)式的解 Y ( , ) 与半径 ，或简称为球函数．
r 无关，故称为球谐函数
k
l [] 2
（19.1.7）
式中
l , l [ ] 2 l 1 2 , 2
l 2 n ( n 0 , 1 ,2 , ) l 2 n 1
上式具有多项式的形式，故称
Pl ( x )
为
l
阶勒让德多项式．勒让德多项式也称为第一类勒让德函数．
式（19.1.7）即为勒让德多项式的级数表示． 注意到 xc o s , 故可方便地得出前几个勒让德多项式:
2 1 2 u 1 u 1 u ( r ) (sin ) 0 2 2 2 2 2 r r r r sin r sin


在球坐标系下分离变量后得到欧拉型常微分方程
2 d R d R 2 r 2 2 r ll ( 1 ) R 0 d r d r





勒让德多项式的图形可通过计算机仿真(如MATLAB仿真) 得到
图 1 9 .1
计算 P l ( 0 ) ，这应当等于多项式 P l ( x ) 的常数项．
如
l
为
2n 1
则 （即为奇数）时，
P2 n 1 ( x )
只含奇 数次幂，不含常数项，所以
P ) 0 2n 1(0
，则上述方程也可写为下列形式的
l
阶勒让德方程
d y 2 d [ ( 1 x) ] ll ( 1 ) y 0 d x d x
(19.1.6)
19．1．2 勒让德多项式的表示
1. 勒让德多项式的级数表示 我们知道：在自然边界条件下，勒让德方程的解 P l ( x ) 为
( 2 l 2) k! l 2 k P ( x ) ( 1 ) x l l 2 k ! ( l k ) ! ( l 2) k! k 0
球谐函数方程进一步分离变量，令
Y (, ) () ()
得到关于
的常微分方程
2 1d m d s i n ll ( 1 ) 2 0 s i nd s i n d
（19.1.3）
称为 令
l
阶连带勒让德方程 . l
2 勒让德多项式的微分表示
l 1 d 2 l P( x ) ( x 1 ) l l l 2 l!d x
（19.1.10）
上式通常又称为勒让德多项式的罗德里格斯（Rodrigues） 表示式．
下面证明表达式(19.1.10)和（19.1.7）是相同的．
2 l ( x 1 ) 【证明】 用二项式定理把 展开
x cos 和 y (x ) (x )
把自变数从 换为
x，则方程（19.1.3）可以化为下列
形式的 l 阶连带勒让德方程
2 2 d ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ d y m 2 ( 1 x ) 2 2 x ll ( 1 ) y 0 （19.1.4） 2 d x d x 1 x
若所讨论的问题具有旋转轴对称性，即定解问题的解与
无关，则
m0
，即有 （19.1.5）
1 d d s i n ll ( 1 ) 0 s i n d d
称为 l 阶勒让德（legendre）方程．
同样若记
a r cc o sx ， y (x ) (x )
1 4 1 2 P ( x ) ( 3 5 x 3 0 x 3 ) ( 3 5 c o s 42 0 c o s 29 ) 4 8 6 4 15 1 3 P ( x ) ( 6 37 x 01 x 5 x ) ( 6 3 c o s 5 3 5 c o s 3 3 0 c o s ) 5 8 1 2 8 16 1 4 2 P ( x ) ( 2 3 1 x 3 1 5 x 1 0 5 x 5 ) ( 2 3 1 c o s 6 1 2 6 c o s 4 1 0 5 c o s 2 5 0 ) 6 1 6 5 1 2