等比数列及其前n 项和教学目标：1、熟练掌握等比数列定义；通项公式；中项；前n 项和；性质。
2、能熟练的使用公式求等比数列的基本量，证明数列是等比数列，解决与等比数列有关的简单问题。
知识回顾： 1．定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示。
用递推公式表示为)2(1≥=-n q a a n n 或q a ann =+1。
注意：等比数列的公比和首项都不为零。
（证明数列是等比数列的关键） 2．通项公式：等比数列的通项为：11-=n n q a a 。
推广：m n m n q a a -= 3．中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项；其中ab G =2。
4．等比数列的前n 项和公式⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)1(1)1()1(11q qq a q na S n n5．等比数列项的性质（1）在等比数列{}n a 中，若m ，n ，p ，q N +∈且m n p q +=+，则q p n m a a a a =；特别的，若m ，p ，q N +∈且q p m +=2，则q p m a a a =2。
（2）除特殊情况外，,...,,232n n n n n S S S S S --也成等比数列。
n q q ='。
（其中特殊情况是当q=-1且n 为偶数时候此时n S =0，但是当n 为奇数是是成立的）。
4、证明等比数列的方法（1）证：q a a nn =+1（常数）；（2）证：112·+-=n n na a a （2≥n ）. 考点分析考点一：等比数列基本量计算 例1、已知{}n a 为等比数列，S n 是它的前n 项和。
若2312a a a ⋅=， 且4a 与27a 的等差中项为54，求5S 。
例2、成等差数列的三项正数的和等于15，且这三个数加上2、5、13后成等比数列{}n b 中的543,,b b b 。
（1）求数列{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 和为n S 。
练习：1、设{}n a 是有正数组成的等比数列，n S 为其前n 项和。
已知142=a a ,37S =,则5S =A ．215 B ．431 C ． 433 D ．2172、在等比数列{a n }中，若a 4－a 2＝6，a 5－a 1＝15，则a 3＝________.3、已知正项数列{a n }为等比数列，且5a 2是a 4与3a 3的等差中项，若a 2＝2，则该数列的前5项的和为( )A.3312 B ．31 C.314 D ．以上都不正确4、设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1的值为________．5、（4）、已知{}n a 是首项为1的等比数列，n S 是{}n a 的前n 项和，且639S S =，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前5项和为（ ）。
A ．158或5 B ．3116或5 C ．3116 D ．158考点二：等比数列性质应用例2、设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知3432S a =-，2332S a =-，则公比q =A ．3B ．4C ．5D ．6练习：1、在等比数列{}n a 中，201020078a a =，则公比q 的值为A ．2B ．3C ．4D ．8例3、等比数列{}n a 满足：1161=+a a ，93243=a a ，且公比()1,0∈q （1）数列{}n a 的通项公式；（2）若该数列的前n 项和21=n S ，求n 的值。
练习：1、已知正项等比数列{}n a 满足25932a a a =，22=a ，则=1a 。
2、已知等比数列{}n a 满足25932a a a =，22=a ，则=1a 。
3、已知等比数列{}n a 满足18,251==a a ，则=432a a a ___________。
4、在等比数列{a n }中，各项均为正值，且a 6a 10＋a 3a 5＝41，a 4a 8＝5，则a 4＋a 8＝________. 例4、等比数列{}n a 满足0>n a ，n ∈N *，且473=•a a ，则当1≥n 时，=++++92322212log ...log log log a a a a .例5、等比数列{a n }的首项a 1＝－1，前n 项和为S n ，若S 10S 5＝3132，则公比q ＝________.练习：1、已知正项等比数列{}n a 满足5321=a a a ，10987=a a a ，则=654a a a _______。
2、在等比数列{a n }中，若a 1a 2a 3a 4＝1，a 13a 14a 15a 16＝8，则a 41a 42a 43a 44＝________. 例6、设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6∶S 3＝1∶2，则S 9∶S 3＝________. 练习：1、设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若336=S S ，则69S S＝________. 考点三：等比数列的证明例7、（2017成都市高三一诊）已知数列{}n a 满足42,211+=-=+n n a a a 。
（1）证明数列{}4+n a 是等比数列。
（2）求数列{}n a 的前n 项和n S 。
练习：1、已知数列{}n a 满足12,311+-==+n a a a n n ，数列{}n b 满足n a b n n -=。
证明数列{}n b 为等比数列。
2、已知数列{}n a 满足n n n a a a 221+=+，数列{}n b 满足)1(lg +=n n a b 。
证明数列{}n b 为等比数列。
3、在数列{}n a 中，*11,21,21N n a n n a a n n ∈+==+。
求证：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a n 为等比数列。
例8、已知()())1(4,)1(2-=-=x x g x x f ，数列{}n a 满足：1,21≠=n a a 且)()()()*1N n a f a g a a n n n n ∈=--（。
证明：数列{}1-n a 是等比数列。
练习1、已知函数212)(++=x x x f ，数列{}n a 满足),2(1R t t t a ∈-≠=，))((1N n a f a n n ∈=+ （1）若数列{}n a 是常数列，求t ； （2）当21=a 时，记)(11*∈-+=N n a a b n n n ，证明：数列{}n b 是等比数列，并求出数列{}n a 的通项公式。
例9、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＋S n ＝n .(1)设c n ＝a n －1，求证：{c n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．练习：1、设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2. (1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明：数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．例10、已知数列{}n a 的首项123a =，121n n n a a a +=+，*n N ∈证明：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-11n a 是等比数列。
小结与拓展： （1）定义法：q a a nn =+1（+∈N n ，q 是常数）⇔{}n a 是等比数列； （2）中项法：221++=n n n a a a (+∈N n )⇔{}n a 是等差数列。
考点四：等差、等比数列的综合应用 例11、在等差数列{}n a 中，50,302010==a a (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)令102-=n n a b ，证明：数列{}n b 为等比数列；练习：一个等比数列有三项，如果把第二项加上4，那么所得的三项就成为等差数列，如果再把这个等差数列的第三项加上32，那么所得的三项又成为等比数列，求原来的等比数列。
例12、某企业的资金每一年都比上一年分红后的资金增加一倍，并且每年年底固定给股东们分红500万元．该企业2010年年底分红后的资金为1 000万元．(1)求该企业2014年年底分红后的资金；(2)求该企业从哪一年开始年底分红后的资金超过32 500万元．习题15.31、在等比数列{}n a 中，（1）74,3,27a q a 求-==；（2）32415,6,15a a a a a 求=-=-；（3）已知q a S a 与求133,29,23==。
2、已知{}n a 为等比数列，324202,3a a a =+=，求{}n a 的通项式。
3、已知等比数列{}n a 满足71134a a a =，数列{}n b 是等差数列满足77b a =则=+95b b4、设等比数列{}n a 的公比2q =，前n 项和为n S ，则42S a =（ ） A ．2 B ．4 C ．215 D ．2175、设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知3432S a =-，2332S a =-，则公比q =A ．3B ．4C ．5D ．6 6、设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a +=则52S S = A ．-11 B ．8 C ．5 D ．117、设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知43=a ，122542=a a a （1）数列{}n a 的通项公式；（2）若该数列的前n 项和1210-=n S ，求n 的值。
8、设n S 为数列{}n a 的前n 项和，2n S kn n =+，*n N ∈，其中k 是常数。
（1）求1a 及n a ；（2）若对于任意的*m N ∈，m a ，2m a ，4m a 成等比数列，求k 的值9、在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝4a n －3n ＋1，n ∈N *.(1)证明数列{a n －n }是等比数列； (2)求数列{a n }的前n 项和S n .10、（选做题）已知数列{}n a ，{}n b 满足：λ=1a ，4321-+=+n a a n n ，)213()1(+--=n a b n n n 其中λ为实数，n 为正正数。
（1）对任意的实数λ，证明数列{}n a 不是等比数列； （2）试判断数列{}n b 是否是等比数列，并证明你的结论。