多元函数的极值与最值
1.求函数z=x3+y3−3xy的极值。

步骤：
1)先求驻点(另偏导数等于0，联立)
2)再求ABC
A=f xx(x0, y0)
B=f xy(x0, y0)
C=f yy(x0, y0)
3)(1)当B2-AC<0时，f(x，y)在点(x o，y o)处取得极值，
且当A<0时取得极大值f(x o，y o)，当A>0时取得极小值f(x o，y o),当A<0时取得极大值f(x o，y o);
(2)当B2-AC>0时，f(x o, y o )不是极值;
(3)当B2-AC=0时，f(x o,y o)是否为极值不能确定，需另做讨论.
=3x2−3y=0
解：∂z
∂x
∂z
=3y2−3x=0
∂y
联立得驻点为(0,0),(1,1)
A=f xx(x0, y0)=6x(对x求偏导,再对x求偏导)
B=f xy(x0, y0)=-3(对x求偏导,再对y求偏导)
C=f yy(x0, y0)=6y(对y求偏导,再对y求偏导)
在点(0,0)处，A=0,B=-3，C=0,由B2-AC=9>0,故在此处
无极值。

在点(1,1)处，A=6,B=-3,C=0, B2-AC=-27<0,又因为
A>0,故在此处为极小值点，极小值为
F (1, 1) =x3+y3−3xy=−1
2.求函数f(x, y)=x2+(y−1)2的极值。

解：f x’=2x=0
F y’=2y-2=0
联立得驻点为(0,1)
A=f xx(x0, y0) =2
B=f xy(x0, y0) =0
C=f yy(x0, y0) =2
在点(0,1)处A=2，B=0，C=2由B2-AC=-4<0,又因为A>0,故在此处为极小值点，极小值为
F (0, 1) = 0
3.制造一个容积为a的无盖长方体，使之用料最少，则长宽高为多少？
解：另长宽高分别为x, y, z
故xyz=a, z=a
xy
S=xy+2(x a
xy +y a
xy
)=xy+2(a
y
+a
x
)
S x’=y+2(−a
x2
)=0
S y ’= x+2(−a
y2
)=0
解得当X=Y=Z=3√2a的时候用料最少。