求系统的单位取样响应。
解：
c
H (e j )
低通
c 2c
H (e j )
高通
Hh (e j ) 1 Hl (e j )
hh
(n)
(n)
sin(c n) n
2 c c
c 2c
逆变换积分区间：,
1.5.4 离散信号通过系统的频域表示法
令 x[n]F X (e j ); h[n]F H (e j ); y[n]F Y (e j ).
(
k
2k)
(6)
采样函数序列:
sin cn n
X (e j ) 0,1, cc ,
(7) 矩形信号RN[n] u[n]-u[n-M ] :
x[ n]
1, 0,
0 n M sin[(M 1) / 2] e-jM/2
otherwise
sin( / 2)
• 线性: • 时移: • 调制: • 反转: • 微分: • 共轭
H
(e
j
)
1
0
c c
H (e j )
求系统的单位取样响应。
c
c
解：
h(n) 1 c 1 e jnd 1
e e jcn
jcn
2 c
2 jn
sin(cn) n
1.5.3 离散序列的傅立叶变换和反变换
例 1.6 一个理想高通滤波器的频率响应为
H
(e
j
)
0
1
c c
1-6 傅立叶变换的对称性质（补充）
ax[n] by[n] aX (e j ) bY (e j )
x[n-d] e j d X (e j )
e jo n x[n] X (e j( 0) )
x[n] X (e j )
nx[n]
dX (e j ) j
d
x* (n) X *(e jn )
总结：1-5 +1-6 ：信号频域表示
➢ LTI 系统在时域由 h(n) 表示，在频域由 H (e j ) 表示
H (e j )
h(n)e j n
n
频率响应
➢ LTI 系统，输入为 x(n) ，输出为 y(n) ，且
频谱
X (e j ) x[n]e j n n
Y (e j ) y[n]e j n n
对应关系
1.5.3 离散序列的傅立叶变换和反变换
• 离散序列Fourier变换，i.e., DTFT
—Discrete Time Fourier Transform
X (e j ) x[n]e j n n
x[n] 1 X (e j )e j nd
2
X (e j ) －－信号x(n)的频谱
(1) 延迟序列 :
[n-n0 ] e-j n0
(2) 常数序列: 1 2 ( 2k) k
(3) 复指数序列:
e j0n 2 ( 0 2k) k
(4)
正弦序列:
c os0 n
( 0 2k)
( 0 2k)
k
k
(5) 单位阶跃序列:
u[n]
1 1 e j
其频域表示为 Y (e j ) 1 X (e j )H (e j( ) )d
2
（1-32）
y(n) 1 Y (e j )e jnd 1 1 X (e j )H (e j( ) )de jnd
2
2 2
1 X (e j )e jnd 1 H (e j( ) )e j( )nd
1.5.4 离散信号通过系统的频域表示法
y[n] 1 H (e j ) X (e j )e j nd
2 输出 y[n] 的幅度受 H (e j ) 的影响
两个相乘序列的傅立叶变换， 是两序列各自傅立叶变换的卷积
输出 y[n] 的相位受 arg(H (e j )) 的影响
• 两个序列的时域乘积：y(n) x(n)h(n) 频域卷积定理
1-6 傅立叶变换的对称性质（补充）
• 线性卷积:
x[n] y[n] X (e j )Y (e j )
• 序列相乘:
x[n]y[n]
1
X (e j )Y (e j() )d
2
— — 周期卷积
• Parseval定理 :
x[n] 2 1
X
(e
j
)
2
d
2
2
x(n)h(n)
1-6 傅立叶变换的对称性质—存在性（补充）
• 若下式成立
x[n]e jn x[n] — —绝对可和，
n
n
则， DTFT存在且连续。
• 若 h[n] ,则H (e j )存在
LTI系统
n
若系统稳定，则其ห้องสมุดไป่ตู้里叶变换是存在的
1-6 傅立叶变换的对称性质（补充）
频率成分 分布
x(n)
y(n)
h(n)
X (e j )
Y (e j )
H (e j )
y[n] x[n] h[n] h[k]x[n k] k
Y(e j ) H (e j ) X (e j )
总结：1-5 +1-6 ：信号频域表示
思考：
已知两个LTI系统的单位脉冲响应分别为h1(n)和h2 (n)， 频率响应分别为H1(e j )和H2 (e j )，将这两个系统并联 后得到的新离散系统是线性时不变的吗？若是，其单位 脉冲响应为，若将这两个系统串联，得到的新离散系统 是线性时不变的吗？若是，其频率响应为
H (e j ) h[n]e j n n
h[n] 1 H (e j )e j nd
2
----傅立叶变换 ----傅立叶反变换
• 傅立叶变换对存在的条件：级数收敛条件
h(n)
n
若系统稳定，其频率 响应总是存在的
1.5.3 离散序列的傅立叶变换和反变换
例 1.5 一个理想低通滤波器的频率响应为
y[n] x[n] h[n] h[k]x[n k]
时域卷积
k
时
Y (e j ) y[n]e j n h[k ] x[n k]e j n
n
k
n
域 卷
积
h[k ]e j k x[n k ]e j(nk )
定
k
n
理
频域乘积
H (e j ) X (e j )
时域卷积定理：离散信号通过系统后输出信号的频谱，等 于输入信号频谱和系统频率响应的乘积。
第一章主要内容
1-2 时域离散信号—序列 1-3 DT 系统 和 LTI系统 1-4 时域离散系统的因果性和稳定性 1-5 DT 系统 和信号的频域表示
--时域表示—差分方程 （补充） -- 频域表示—系统的频率响应 1-6 离散时间序列的Fourier变换（DTFT ） 1-7 信号的采样与恢复 1-8 Z变换 1-9 系统函数 1-10 系统的信号流图