概率论与数理统计习题 第四章 随机变量的数字特征习题4-1 某产品的次品率为，检验员每天检验4次，每次随机地取10件产品进行检验，如发现其中的次品数多于1个，就去调整设备，以X 表示一天中调整设备的次数，试求)(X E （设诸产品是否为次品是相互独立的）.解：设表示一次抽检的10件产品的次品数为ξP =P （调整设备）=P (ξ>1)=1－P (ξ≤1)= 1－[P (ξ=0)+ P (ξ=1)]查二项分布表1－=.因此X 表示一天调整设备的次数时X ～B (4, . P (X =0)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛04××=.P (X =1)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛14××=, P (X =2)= ⎪⎪⎭⎫⎝⎛24××=.P (X =3)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛34××=, P (X =4)= ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛44××=. 从而E (X )=np =4×=习题4-2 设随机变量X 的分布律为Λ,2,1,323)1(1==⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=+j j X P jjj ,说明X的数学期望不存在.解： 由于1111133322(1)((1))3j j j j j j j j j P X j j j j ∞∞∞++===-=-==∑∑∑，而级数112j j ∞=∑发散，故级数11133(1)((1))j jj j j P X j j∞++=-=-∑不绝对收敛，由数学期望的定义知，X 的数学期望不存在. 习题X-2 0 2 k p求)53(),(),(22+X E X E X E .解 E (X )=(-2)+0+2=由关于随机变量函数的数学期望的定理，知E (X 2)=(-2)2+02+22=E (3X 2+5)=[3 (-2)2+5]+[3 02+5]+[322+5]=如利用数学期望的性质，则有E (3X 2+5)=3E (X 2)+5=3+5=4.135)(3)53(,8.23.04.0)(,2.03.023.004.02)(222222)2(=+=+=⨯+⨯=-=⨯+⨯+⨯-=-X E X E X E X E习题4-4 设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=-0,0,0,)(x x e x f x 求XeY X Y 2)2(;2)1(-==的数学期望.解22)(2)0(2)(2)2()()(00=-=+-=+⋅===∞-∞+-∞-+∞-∞-+∞∞-⎰⎰⎰⎰xx xx e dx e xe dx xe dx x dx x xf X E Y E I3131)()()(0303022=-==⋅==∞-∞+-∞+---⎰⎰xx x x X edx e dx e e e E Y E II 习题4-5 设),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤=其它,0,10,12),(2x y y y x f求)(),(),(),(22Y X E XY E Y E X E +.解 各数学期望均可按照⎰⎰+∞∞-+∞∞-=dxdy y x f y x g Y X g E ),(),()],([计算。

因),(y x f 仅在有限区域}10|),{(:≤≤≤x y y x G 内不为零，故各数学期望均化为G 上相应积分的计算。

541212),()(1022====⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-xGdy xy dx dxdy xy dxdy y x xf X E 531212),()(1032====⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-xGdy y dx dxdy yy dxdy y x yf Y E 211212),()(132====⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-xGdy xy dx dxdy xyy dxdy y x xyf XY E 1516)(1212)()(142222222=+=+=+⎰⎰⎰⎰xGdy y y x dx dxdy y y x Y X E 习题4-6 将n 只球)~1(n 号随机地放进n 只)~1(n 盒子中去，一只盒子装一只球，若一只球装入与球同号的盒子中，称为一个配对，记X 为总的配对数，求)(X E .解：10i i i X i i ⎧=⎨⎩第只球放在第只盒子中第只球没有放在第只盒子中1ni i X X ==∑ 表示所有配对的个数()()11101i i P X P X n n====- 1i EX n∴=111ni i EX EX n n=∴==⨯=∑ 习题4-7 设随机变量X 服从瑞利分布，其概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0,0,0,)(222/2x x ex x f x σσ其中0>σ是常数，求)(),(X D X E .解 ⎰⎰∞+∞--∞+∞-==dx e xxdx x xf X E x222/2)()(σσσπσσσσ2)2/1(212)2/3(222/02/122=Γ=Γ==⎰∞+-du e u x u u 令⎰⎰+∞∞--+∞∞-==dx e xx dx x f x X E x222/2222)()(σσ2202222)2(222/σσσσ=Γ==⎰+∞-du ue x u u 令故 222222422))(()()(σπσπσ-=-=-=X E X E X D 习题4-8 设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤+=其它,0,1,1),(22y x y x f π试验证：X 和Y 是不相关的，但X 和Y 不是相互独立的. 设22{(,)|1}D x y x y =+≤.2211()(,)d d d d πx y E X xf x y x y x x y +∞+∞-∞-∞+≤==⎰⎰⎰⎰ 2π1001=cos d d 0.πr r r θθ=⎰⎰g同理E (Y )=0.而 Cov(,)[()][()](,)d d X Y x E x y E Y f x y x y +∞+∞-∞-∞=--⎰⎰g222π1200111d d sin cos d d 0ππx y xy x y r r r θθθ+≤===⎰⎰⎰⎰, 由此得0XY ρ=,故X 与Y 不相关. 下面讨论独立性，当|x |≤1时，1()X f x y 当|y |≤1时，1()Y f y x . 显然()()(,).X Y f x f y f x y ≠g 故X 和Y 不是相互独立的.习题4-9 设随机变量),(Y X 具有概率密度⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤+=其它,0,20,20),(81),(y x y x y x f求)(,),,(),(),(Y X D Y X Cov Y E X E XY +ρ.解 因),(y x f 仅在有限区域}20,20|),{(:<<<<y x y x G 内不为零，故有⎰⎰⎰⎰+==∞+∞-∞+∞-2020)(8),()(dy y x xdx dxdy y x xf X E⎰⎰=+=+=202020267)1(4|)2(8dx x x dx y xy x⎰⎰⎰⎰+==∞+∞-∞+∞-2020222)(8),()(dy y x x dx dxdy y x f x X E⎰⎰=+=+=20220202235)(4|)2(8dx x x x dx y xy x⎰⎰⎰⎰+==∞+∞-∞+∞-2020)(8),()(dy y x xydx dxdy y x xyf XY E⎰⎰=+=+=202020234)34(4|)2(8dx x x dx y xy xy由x ,y 在f (x ,y )的表达式中的对称性(即在表达式f (x ,y )中将x 和y 互换，表达式不变)，得知,35)()(,67)()(22====Y E X E Y E X E且有 3611)67(35)]([)()()(222=-=-==X E X E X D Y D ，而 361364934)()()(),(-=-=-=Y E X E XY E Y X Cov 111)()(),(-==Y D X D Y X Cov XY ρ； 95),(2)()()(=++=+Y X Cov Y D X D Y X D习题4-10 设),(Y X 服从二维正态分布，且)3,0(~N X ，)4,0(~N Y ，相关系数4/1-=XY ρ，试写出X 和Y 的联合概率密度.解 因41,2,3,02121-=====ρσσμμ，故X 和Y 的联合概率密度为 )]4343()16/11(21exp[16/11341),(22y xy x y x f ++---=π)]4343(158exp[53122y xy x ++-=π。