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《概率论与数理统计》袁荫棠_课后答案_概率论第四章
1− P{ξ = 0}
1 − q 4 − 4 pq 3 =
1− q4
其中 q=1-p 11. ξ服从参数为 2,p 的二项分布, 已知 P(ξ≥1)=5/9, 那么成功率为 p 的 4 重贝努里试验
中至少有一次成功的概率是多少?
解: 因ξ~B(2,p), 则必有 P(ξ ≥ 1) = 1 − P(ξ = 0) = 1 − (1 − p)2 = 5 / 9 , 解得
(1 − p)2 = 1 − 5 / 9 = 4 / 9 1− p = 2/3 p =1− 2/3 =1/3
则假设η为成功率为 1/3 的 4 重贝努里试验的成功次数, η~B(4,1/3), 则
P(η
≥ 1)
=1−
P(η
=
0)
= 1 − (1 −
p)4
=
1
−
⎛ ⎜
2
⎞ ⎟
4
= 1 − 16
=
0.802
λ=np=800×0.001=0.8
P{ξ = 2} ≈ 0.82 e −0.8 = 0.1438 2
∑ P{ξ ≤ 2} ≈ 2 0.8i e−0.8 = 0.9526
i=0 i!
17. 某种产品表面上的疵点数服从普哇松分布, 平均一件上有 0.8 个疵点, 若规定疵点
数不超过 1 个为一等品, 价值 10 元, 疵点数大于 1 不多于 4 为二等品, 价值 8 元, 4 个以上为
解: 设ξ为这 20 件产品中的废品数, 则ξ~B(20,0.1), 又通过检查已经知道ξ定不少于 2
件的条件, 则要求的是条件概率
P{ξ ≥ 3 | ξ ≥ 2} = P{ξ ≥ 3 ∩ξ ≥ 2} P{ξ ≥ 2}
因事件{ξ ≥ 2} ⊃ {ξ ≥ 3}, 因此{ξ ≥ 3 ∩ξ ≥ 2} = ξ ≥ 2
解: 因掷一次骰子出现一点的概率为 1/6, 则ξ~B(4,1/6), 因此有
P{ξ
=
k} =
C 4k
×
1 6k
×
⎛ ⎜
5
⎞ ⎟
4−k
(k
⎝6⎠
=
0,1,2,3,4),
⎧0
∑ F
(
x)
=
⎪⎪ ⎨ ⎪k≤x
C
k 4
⎛ ⎜ ⎝
1 6
⎞ ⎟ ⎠
k
⎛ ⎜ ⎝
5 6
4−k
⎞ ⎟ ⎠
⎪⎩1
x<0 0≤ x< 4 x≥4
⎝3⎠
81
12. 一批产品 20 个中有 5 个废品, 任意抽取 4 个, 求废品数不多于 2 个的概率 解: 设ξ为抽取 4 个中的废品数, 则ξ服从超几何分布, 且有
∑ P{ξ ≤ 2} =
2
C Ci 4−i 5 15
= 0.968
C4
i=0
20
13. 如果产品是大批的, 从中抽取的数目不大时, 则废品数的分布可以近似用二项分布 公式计算. 试将下例用两个公式计算, 并比较其结果. 产品的废品率为 0.1, 从 1000 个产品
P{η ≥ 270} = P{15ξ ≥ 270} = P{ξ ≥ 270} = P{ξ ≥ 18} = 15
20
∑ =
C
i 20
× 0.8i
× 0.2 20−i
= 0.2061
i =18
4. 从一批废品率为 0.1 的产品中, 重复抽取 20 个进行检查, 求这 20 个产品中废品率不 大于 0.15 的概率.
标准差为σ ξ = Dξ = 3.99 = 1.997
(2)因 np+p=5.7+0.3=6 为整数, 因此最可能值为 5 和 6.
8. 已知随机变量ξ服从二项分布, Eξ=12, Dξ=8, 求 p 和 n.
解: 由 Eξ=np=12
(1)
和 Dξ=np(1-p)=8
(2)
由(1)得 n=12/p, 代入到(2)得
废品, 求产品为废品的概率以及产品的平均价值.
解: 设ξ为产品表面上的疵点数, 则ξ服从普哇松分布, λ=0.8, 设η为产品的价值, 是
ξ的函数. 则产品为废品的概率为
∑ P{ξ > 4} = 1 − P{ξ ≤ 4} = 1 − 4 0.8i e−0.8 = 0.0014
i=0 i!
∑ P{η = 10} = P{ξ ≤ 1} = 1 0.8i e−0.8 = 0.8088
能值为[5/6]=0.
7. 事件 A 在每次试验中出现的概率为 0.3, 进行 19 次独立试验, 求(1)出现次数的平均值
和标准差; (2)最可能出现的次数.
解: 设 19 次试验中事件 A 出现次数为ξ, 则ξ~B(19,0.3), 因此
(1)ξ的数学期望为 Eξ=np=19×0.3=5.7
方差为 Dξ=np(1-p)=19×0.3×0.7=3.99
[P{ξ ≤ ]4} 100 = 0.004454
19. 某型号电子管的“寿命”ξ服从指数分布, 如果它的平均寿命 Eξ=1000 小时, 写出 ξ的概率密度, 并计算 P(1000<ξ≤1200).
解: 因 Eξ=1000=1/λ, 其概率密度为ϕ来自(x)=
⎪⎧ 1 ⎨1000
e
x −
1000
⎪⎩0
x>0 x≤0
1000
1200
−
−
P(1000 < ξ ≤ 1200) = e 1000 − e 1000 = e−1 − e−1.2 = 0.0667
20. ξ~N(0,1), Φ0(x)是它的分布函数, φ0(x)是它的概率密度, Φ0(0), φ0(0), P(ξ=0)各是什么 值?
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近似误差为0.0005, 是非常准确的.
14. 从一副朴克牌(52 张)中发出 5 张, 求其中黑桃张数的概率分布. 解: 设ξ为发出的 5 张中黑桃的张数, 则ξ服从超几何分布, 则
P{ξ
=
i} =
C C i 5−i 13 52−13
(i
=
0,1,2,3,4,5)
事件"试验成功不止一次"即事件{ξ>1}, 因此要求的是条件概率 P{ξ>1|ξ>0}, 又因事件 {ξ>1}被事件{ξ>0}包含, 因此这两个事件的交仍然是{ξ>1}, 因此
P{ξ > 1| ξ > 0} = P{ξ > 1} = 1 − P{ξ = 0} − P{ξ = 1} =
P{ξ > 0}
因此
20
∑ P{ξ = i}
P{ξ ≥ 3 | ξ ≥ 2} = P{ξ ≥ 3} = i=3
=
∑ P{ξ ≥ 2}
20
P{ξ = i}
i=2
20
∑ P{ξ = i} − P{ξ = 2}
i=2
P{ξ = 2} = 1−
20
20
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∑P{ξ = i} i=2
12(1-p)=8, 解出 p=(12-8)/12=1/3=0.3333
代回到(1)式得 n=12/p=12×3=36
9. 某柜台上有 4 个售货员, 并预备了两个台秤, 若每个售货员在一小时内平均有 15 分
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钟时间使用台秤, 求一天10小时内, 平均有多少时间台秤不够用. 解: 每个时刻构成一 n=4 的贝努里试验, 且 p=15/60=0.25, 因此, 设ξ为每个时刻要用 秤的售货员数, 则ξ~B(4, 0.25), 当ξ>2 时, 台秤不够用. 因此每时刻台秤不够用的概率为
10
∑ P{ξ ≥ 8} = C1i0 × 0.8i × 0.210−i =0.6778
i=8
16. 一批产品的废品率为 0.001, 用普哇松分布公式求 800 件产品中废品为 2 件的概率, 以及不超过 2 件的概率.
解: 设ξ为 800 件产品中的废品数, 则ξ服从超几何分布, 可以用二项分布近似, 则ξ~B(800, 0.001), 而因为试验次数很大废品率则很小, 可以用普阿松分布近似, 参数为
概率论第 4 章习题参考解答 1. 若每次射击中靶的概率为 0.7, 求射击 10 炮, 命中 3 炮的概率, 至少命中 3 炮的概率,
最可能命中几炮. 解: 设ξ为射击 10 炮命中的炮数, 则ξ~B(10,0.7), 命中 3 炮的概率为
P{ξ = 3} = C130 × 0.73 × 0.37 = 0.0090
C552
则按上式计算出概率分布如下表所示:
ξ
0
1
2
P
0.2215
0.4114
0.2743
3 0.0815
4 0.0107
5 0.0005
15. 从大批发芽率为 0.8 的种子中, 任取 10 粒, 求发芽粒数不小于 8 粒的概率. 解: 设ξ为 10 粒种子中发芽的粒数, 则ξ服从超几何分布, 但可以用二项分布近似, 其 中 p=0.8, n=10, 则
中任意抽取 3 个, 求废品数为 1 的概率. 解: 设任抽 3 个中的废品数为ξ, 则ξ服从超几何分布, 废品数为 0.1×1000=100
P{ξ
=
1}
=
C C 1 2 100 900 C3 1000
= 0.2435
而如果用二项分布近似计算, n=3, p=0.1, ξ~B(3,0.1)
P{ξ = 1} ≈ C31 × 0.1× 0.92 = 0.2430
i=0 i!
∑ P{η = 8} = P{1 < ξ ≤ 4} = 4 0.8i e−0.8 = 0.1898
i=2 i!
则产品的平均价值为
Eη = 10×P{η=10}+8×P{η=8}=10×0.8088+8×0.1898=9.6064(元)